Análise Matemática 2 FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO. Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

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1 FCULDDE DE ENGENHRI D UNIVERSIDDE DO PORTO Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores nálise Matemática 2 pontamentos das aulas teóricas - Integrais Múltiplos 29/21 Maria do Rosário de Pinho Maria Margarida Ferreira

2 INTEGRIS MÚLTIPLOS Na disciplina de M1 discutimos o integral de uma função real de variável real. considerar integrais múltiplos, integrais de funções reais de variável vectorial. Neste capítulo vamos 1 Introdução Começamos por fazer um breve resumo do que foi dito em M1 sobre integrais simples. Primeiro definimos integral indefinido. O integral indefinido ou primitiva de uma função f(x) é uma função, mais precisamente uma família de funções, cuja derivada é f(x). Várias técnicas de determinação de primitivas foram estudadas. Em seguida estudámos o integral definido de uma função f(x), definida num intervalo [a, b], limitada e não negativa. Com base na identificação deste integral com uma área, a área da região limitada inferiormente pelo eixo dos xx e superiormente pelo gráfico da função: considerámos partições do intervalo [a, b] em subintervalos [x i, x i+1 ) de amplitude x i ; tomou-se o supremo M i, de f(x) em cada subintervalo e somaram-se as áreas dos rectângulos de base x i e com altura M i. Para diferentes partições obtínhamos diferentes somas, que designamos por somas superiores. O mesmo tipo de construção foi efectuado considerando agora o ínfimo m i da função em cada subintervalo, obtendo desta forma as designadas somas inferiores. área pretendida estaria compreendida entre os valores destas somas. À medida que o número de pontos da partição aumenta, as somas superiores e inferiores vão diminuindo e aumentando, respectivamente. Se no limite das somas inferiores e superiores, obtemos o mesmo valor, dizemos que o integral definido da função f(x) estendida ao intervalo [a, b] existe e vale esse valor limite. Nesse caso, o valor limite é ainda definido como a área da região limitada inferiormente por [a, b] e superiormente pelo gráfico de f. Nada impedia que este tipo de construção (determinação de somas inferiores e superiores, passagem ao limite e verificação da igualdade dos limites), pudesse ser estendido a funções que tomassem também valores negativos. ssim foi feito e obtivemos então a definição mais geral de integral definido de uma função f, que consideramos apenas limitada. É claro que neste caso o resultado pode não estar associado a uma área e poderá mesmo ser negativo. O Teorema fundamental do cálculo permite estabelecer uma relação entre integral definido e indefinido: conhecida uma primitiva F de uma função contínua f, podemos calcular o integral definido de f estendido a [a, b] muito facilmente através da expressão F (b) F (a). 2

3 Vamos agora considerar o integral de uma função de várias variáveis estendido a uma região do domínio dessa função. Tais integrais são designados genericamente por integrais múltiplos. Dependendo depois do espaço que estamos a considerar têm designações mais particulares; integrais duplos, triplos, etc. Como iremos ver a ideia fundamental na definição destes integrais é a mesma que nos integrais simples. Teremos no entanto de a adaptar de forma a terem sentido para as funções de variável vectorial que agora vão intervir. 2 Integrais duplos Na definição de integral duplo intervém uma função de duas variáveis e uma região D R 2. Em R definimos um integral definido estendido a um intervalo. Em R 2 um conceito simples correspondendo a um intervalo será um rectângulo, produto de dois intervalos. Começamos por definir um integral duplo estendido a um rectângulo. O caso de regiões mais genéricas, cuja fronteira são curvas no plano, pode ser facilmente reduzido a este, como vamos verificar. Sejam: R 2, conjunto limitado. f : R, f(x, y), f limitada. S [a, b] [c, d] R 2 tal que S. Defina-se uma nova função g, com domínio S e que coincide com f em, valendo nos restantes pontos de S, ou seja: g(x, y) Consideremos agora uma partição P do rectângulo S: { f(x, y) (x, y) (x, y) S \ P {(x, y ), (x, y 1 ),..., (x, y m ), (x 1, y ), (x 1, y 1 ),..., (x 1, y m ),..., (x n, y ), (x n, y 1 ),..., (x n, y m )} 3

4 tal que a x < x 1 <... < x n b c y < y 1 <... < y m d Os pontos (x i, y j ) vão constituir os vértices de novos rectângulos (subrectângulos de S): De forma semelhante ao caso real vamos tomar o supremo e o ínfimo da função g em cada subrectângulo. Defina-se: M ij sup {g(x, y) : x i 1 x x i, y j 1 y y j } m ij inf {g(x, y) : x i 1 x x i, y j 1 y y j } Construímos as somas superiores e inferiores relativamente à partiçãp P : U(f, P ) L(f, P ) n m M ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) i1 j1 n m m ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) i1 j1 Soma superior Soma inferior soma superior corresponde à soma dos volumes dos paralelipípedos cuja base é o rectângulo definido pelos pontos (x i 1, y j 1 ), (x i 1, y j ), (x i, y j 1 ) e (x i, y j ) e cuja altura é M ij. Devido à forma como foi definido M ij, o gráfico da função g, e também da função f, vai estar sempre abaixo das tampas destes paralelipípedos. soma inferior corresponde à soma dos volumes dos paralelipípedos cuja base é o rectângulo definido pelos pontos (x i 1, y j 1 ), (x i 1, y j ), (x i, y j 1 ) e (x i, y j ) e cuja altura é m ij. Devido à forma como foi definido m ij o gráfico da função g, e também da função f, vai estar sempre acima das tampas destes paralelipípedos. 4

5 Note-se que m ij M ij i 1,..., n e j 1,..., m Logo, para qualquer partição P de S, temos sempre L(f, P ) U(f, P ) Seja agora P 1 um refinamento de P, ou seja, acrescentemos mais pontos ao conjunto que define P. Vamos então obter uma divisão de S num maior número de rectângulos e cada um destes rectângulos está contido nalgum rectângulo da partição P. Então, U(f, P 1 ) U(f, P ) (1) e L(f, P 1 ) L(f, P ) (2) Não esquecer que estamos a supor que a função f é limitada. Logo L {L(f, P ) : P partição de S} é um conjunto limitado superiormente; portanto existe supremo de L. Representemos esse supremo por sup L I (f) f integral inferior de f De forma análoga o conjunto U {U(f, P ) : P partição de S} é limitado inferiormente; portanto existe ínfimo de U, que representamos por: inf U I (f) f integral superior de f e a seguinte relação é sempre satisfeita: I (f) f f I (f) Se f f 5

6 dizemos que f é integrável em e o integral é esse valor comum. De acordo com o que dissemos atrás acerca do facto do gráfico de f estar entre as tampas dos paralelipípedos contruídos para as somas inferiores e superiores, é natural tomar ainda esse valor para definição do volume da região em R 3, limitada inferiormente por e superiormente pelo gráfico de f. construção efectuada, das somas superiores e inferiores, pode ser repetida passo a passo para funções mais genéricas que podem tomar valores negativos. Neste caso a noção de volume deixa de ter sentido. No entanto nada impede que possamos definir o integral da função quando, também neste caso, houver igualdade dos integrais inferior e superior. Estamos agora em condições de definir o integral duplo de f estendido a uma região. Definição 2.1 Seja f : R, R 2 limitado e f uma função limitada. função f diz-se uma função integrável (segundo Riemann) se e o integral de f em representa-se por: f ou f f(x, y) dx dy Note que na definição acima foi acrescentada a expressão segundo Riemann à designação de integral. Sem entrar em pormenores, mencionamos apenas que existem outras formas de definir função integrável, definições essas que não estão no âmbito desta disciplina. ssim, sempre que se fale em função integrável e desde que nada seja dito em contrário, designamos simplesmente por função integrável, uma função integrável segundo Riemann, ou seja uma função que obedece à definição anterior. Conclusão: f é integrável em, se e só se f f Como é fácil de imaginar, este processo de determinação do integral de uma função a partir da construção das somas superiores e inferiores pode ser muito complexo e é pouco prático. O resultado seguinte apresenta uma alternativa simples para esse cálculo. Teorema 2.2 (Teorema de Fubini) Suponha que: (i) S [a, b] [c, d], f : S R é integrável. 6

7 (ii) x [a, b], a função f x : [c, d] R definida por Então, é integrável, isto é, existe d c f x (y) dy. S f(x, y) dx dy sempre que o integral do segundo membro exista. f x (y) f(x, y) b a ( d c ) f x (y) dy dx Observação: Se substituirmos (ii) por (ii) y [c, d], f y : [a, b] R definida por é integrável, isto é, existe b a f y (x) dx f y (x) f(x, y) então podemos ainda concluir que S f(x, y) dx dy sempre que o integral do segundo membro exista. d c ( b a ) f y (x) dx dy O Teorema de Fubini fornece uma regra para o cálculo de integrais duplos. sua aplicação permite calcular integrais duplos usando duas integrações simples sucessivas. Este processo de cálculo de integração designa-se por integração iterada. Corolário 2.3 Se f : S R é contínua, então f é integrável e b ( d ) f(x, y) dx dy f(x, y) dy dx S Exemplo 2.4 Seja S [, π] [ π 2, π] e f(x, y) sin (x + y). Para cada x [, π], defina-se f x (y) sin (x + y), y [ π 2, π]. De acordo com o Teorema de Fubini, tem-se f(x, y)dx dy S a c π π π d c ( b ( ) π sin (x + y) dy dx ( π 2 [ cos (x + y)] yπ y π dx 2 [cos (x + π ] 2 ) cos (x + π) [ sin (x + π 2 ) sin (x + π)] xπ x ) a ) f(x, y) dx dy dx [ sin (π + π 2 ) sin (2π) sin π 2 + sin π]

8 O corolário acima afirma que se f é contínua então é integrável. Vamos ver agora que o integral de f também existe no caso de f ser descontínua, desde que o conjunto de pontos de descontinuidade não seja muito grande. De forma a estabelecer uma medida para os pontos de descontinuidade permitidos, apresentamos o conceito que se segue. Conjuntos de medida nula Definição 2.5 Seja R 2. Diz-se que é um conjunto de medida nula se para todo o ɛ > é possível definir uma família numerável de rectângulos (S i ) i 1 tais que: i1 S i e i1 área (S i ) < ɛ Em R, diz-se que tem medida nula se tem comprimento nulo. Se é um conjunto finito de n pontos em R 2 : {(x i, y i ) : i 1,...n}, então tem medida nula. Basta tomar para S i, o rectângulo centrado no ponto (x i, y i ) e de área É verdade ainda que qualquer recta em R 2 é um conjunto de medida nula. (Verifique!). Mais ainda: ɛ 2n. Teorema 2.6 Seja ϕ : [a, b] R, contínua. Então tem medida nula. Grafϕ { (x, y) R 2 : x [a, b], y ϕ(x) } Uma vez estabelecida a noção de conjunto de medida nula, apresentamos o resultado seguinte que afirma que uma função descontínua pode ainda ser integrável, desde que o conjunto de pontos de descontinuidade seja um conjunto de medida nula. Teorema 2.7 Seja S [a, b] [c, d] e f : S R limitada. função f é integrável se e só se o conjunto de pontos de descontinuidade de f em S for um conjunto de medida nula. 2.1 Cálculo de integrais duplos Sabemos já como calcular um integral duplo quando a região de integração é um rectângulo. O Teorema de Fubini fornece uma regra de cálculo simples nessa situação. Mas se a região de integração é uma região genérica, por exemplo um círculo, como podemos efectuar de forma simples o cálculo do integral? O resultado seguinte vai permitir fazer esse cálculo numa variedade muito grande de situações. 8

9 Teorema 2.8 (i) Seja { (x, y) R 2 : x [a, b], ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x) }. Seja f : R limitada e contínua no interior de. Então f é integrável em e ( b ) ϕ2 (x) f(x, y) dx dy f(x, y) dy dx a ϕ 1 (x) (ii) Seja B { (x, y) R 2 : y [c, d], ψ 1 (y) x ψ 2 (y) }. Seja f : B R limitada e contínua no interior de B. Então f é integrável em B e ( d ) ψ2 (y) f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy B c ψ 1 (y) opção da ordem de integração, dx dy ou dy dx, pode assim ser feita de acordo com a configuração da região de integração. Se tal região é fácilmente representada como em (i) é natural escolher a ordem dy dx, de acordo com o descrito nesta alínea. De forma análoga, se a região é mais facilmente representada por (ii) a opção natural será dx dy. Existe no entanto outro factor importante a ter em conta e que muitas vezes provoca uma opção diferente da apresentada. Trata-se da expressão que a função integranda toma. Pode ser muito mais fácil integrar f primeiro em ordem a uma das variáveis do que integrar em ordem à outra. Cada caso é um caso e uma análise destes dois factores, configuração da região de integração e expressão da função f, é necessária para efectuar o cálculo dos integrais da forma mais simplificada. Uma vez apresentados alguns resultados que permitem fazer o cálculo de integrais duplos por métodos mais simples que o da definição, vamos ver como esses métodos são aplicados em casos práticos. 9

10 1) [a, b] [c, d] f : R, contínua. f(x, y) dx dy Sejam g(x) d c f(x, y) dy e h(y) b a b a ( d c ) f(x, y) dy dx d c ( b a ) f(x, y) dx dy f(x, y)dx. Note-se que para obter g(x), integramos f como função de y considerando a variável x, para efeitos de integração, como se fosse uma constante. No caso de h(y), a integração é feita considerando y como constante. Então, f(x, y) dx dy b a g(x)dx d c h(y)dy Relembrando a interpretação geométrica do integral definido de uma função não negativa, podemos afirmar que, se f(x, y), g(x 1 ) representa a área da porção do plano vertical entre o gráfico de f e a recta x x 1. integração desta área ao longo do eixo dos xx, entre a e b, isto é, b a g(x)dx representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico de f e inferiormente por. 2) Seja R 2 não necessariamente rectangular. Suponhamos que podemos definir funções contínuas ϕ, ψ : [a, b] R tal que e ϕ(x) ψ(x) x [a, b] { (x, y) R 2 : a x b, ϕ(x) y ψ(x) } 1

11 Seja f contínua, f : R. Então f(x, y) dx dy b ( ) ψ(x) f(x, y) dy dx a ϕ(x) partir de R 2, como determinar a, b, ϕ e ψ? Projecta-se a região sobre o eixo dos xx: obtém-se os limites de integração para o integral mais à esquerda, ou seja a e b. Considera-se depois um valor de x fixo, entre a e b, e a recta vertical correspondente a este valor. Os pontos onde esta recta entra e sai na região estão nas linhas fronteira correspondentes a y ϕ(x) e y ψ(x). 3) Suponhamos agora que queremos definir o integral com a ordem de integração contrária. Ou seja, queremos calcular o integral integrando primeiro em ordem a x e depois em ordem a y. Suponha ainda que é agora a região da figura seguinte. Começamos por projectar sobre o eixo dos yy. Determinamos assim os limites y e y 1. dificuldade surge agora na determinação das funções β(y) que limitam quando consideramos y constante. Fazendo uma análise da figura somos levados a considerar três sub-áreas 1, 2 e 3, definidas da seguinte forma: 11

12 1 {(x, y) : y y y 2, α(y) x β(y)} 2 {(x, y) : y 2 y y 3, α(y) x ρ(y)} e ssim, f(x, y) dx dy 3 {(x, y) : y 3 y y 1, ω(y) x β(y)} f(x, y) dx dy + 1 f(x, y) dx dy + 2 f(x, y) dx dy 3 y2 β(y) y3 ρ(y) y1 f(x, y) dx dy + f(x, y) dx dy + α(y) y 2 α(y) y 3 y β(y) ω(y) f(x, y) dx dy Exemplo 2.9 Determinação de 2xy dx dy, onde é a região apresentada na figura: 12

13 região pode ser definida como o conjunto de pontos em R 2 tais que y 3, 4 3 y x 25 y 2 (ver figura abaixo). projecção da região no eixo dos yy é o intervalo [, 3]. Fixando um valor y neste intervalo, os valores x correspondentes a pontos de para esse valor de y é um intervalo de extremos x 1 e x 2. Mas como (x 1, y) está na recta 3x 4y, vem x y. Por outro lado, x 2 > e é tal que o ponto (x 2, y) está sobre a curva x 2 + y 2 25 e portanto vem x 2 25 y 2. ssim, 2xy dx dy y 2 2xy dx dy 4 3 ( y [x 2 y ] x 25 y 2 dy x 4 3 y ) ( (25 y 2 )y 16 [ (25 y2 ) y4 ) 9 y2 y ] y3 y dy Vejamos o que acontece quando tentamos identificar com uma região do tipo 2). projecção de no eixo dos xx é o intervalo [, 5]. Contudo, não é possível definir de forma única uma função ψ 2 (x) tal que, para cada x no intervalo [, 5], venha ψ 1 (x) y ψ 2 (x). nalisemos a figura. 13

14 Se x é um ponto do intervalo [, 4], então os valores y correspondendo a pontos de, para esse valor de x, variam entre y 1 e y 2 3x 4, uma vez que (x, y 2) está sobre a recta 3x 4y. Se, no entanto, x é um ponto que está entre 4 e 5, então os valores possíveis para y vão desde y até y 2, onde y 2 é tal que (x, y 2 ) está sobre a curva x2 + y Neste caso, y 2 25 x 2. Podemos dividir em duas regiões 1 e 2, cada uma das quais do tipo 2): 1 { (x, y) R 2 : x 4, y 3x } 4 2 {(x, y) R 2 : 4 x 5, y } 25 x 2 E neste caso vem: 1 2xy dy dx x xy dy dx [ xy 2 ] y 3 4 x y dx x 9 16 x2 dx [ x ] x4 x dx

15 e 2 2xy dy dx 5 25 x xy dy dx [ xy 2 ] y 25 x 2 y dx x(25 x 2 ) dx [ (25 x2 ) ] x5 x4 dx Então, 2xy dy dx 2xy dy dx + 1 2xy dy dx Interpretação geométrica do integral duplo Se a função f(x) é não negativa em todo o ponto de um intervalo [a, b], podemos identificar o integral b a f(x) dx com a área da região limitada inferiormente pelo eixo dos xx e superiormente pelo gráfico de f. Também é imediato verificar que no caso de f 1, x [a, b], então comprimento do intervalo [a, b]. Vamos ver como são generalizados estes resultados para o caso de integrais duplos. b a 1 dx b a, ou seja, obtemos o (i) Seja f : R 2 R tal que f(x, y), (x, y). Então f(x, y) dx dy representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da superfície de equação z f(x, y), inferiormente por e lateralmente pela superfície cilíndrica cujas geratrizes são paralelas a z e percorrem a fronteira de. 15

16 (ii) Seja f : R 2 R, f(x, y) 1, (x, y). Então f(x, y) dx dy 1 dx dy Área de 2.3 Mudança de variáveis: Coordenadas polares Qualquer ponto P do plano fica completamente definido se conhecermos a sua distância à origem e o ângulo que a semirecta com origem na origem dos eixos e que passa por P faz com o semieixo positivo dos xx. Estamos a referirmo-nos às coordenadas polares de um ponto P do plano. Podemos passar facilmente das coordenadas cartesianas para polares e, inversamente, das polares para as cartesianas, usando as relações: { x ρ cos θ y ρ sin θ { ρ x 2 + y 2 θ arctan ( y ) x Regiões do plano cartesiano xy podem ser expressas em termos das suas coordenadas polares e inversamente. 16

17 Considere-se a função F que define a relação entre coordenadas polares e cartesianas: F : R + [, 2π] R2 (ρ, θ) (ρ cos θ, ρ sin θ) O jacobiano desta função, ou seja, o determinante da matriz jacobiana da função, é: [ cos θ ρ sin θ detj F (ρ, θ) det sin θ ρ cos θ ] ρ Suponhamos que pretendemos calcular o integral de uma função f, estendida a uma determinada região do plano cartesiano. Como podemos calcular o mesmo integral utilizando coordenadas polares? Relembremos que no caso do integral real uma mudança de variável obrigava, além da expressão dos limites de integração na nova variável, que a função integranda fosse multiplicada pela derivada da função que define a mudança de variável. ssim, não é de estranhar a relação seguinte quando se considera uma mudança de variável para coordenadas polares. O conjunto representa o transformado de quando passamos de coordenadas cartesianas para polares. f(x, y) dx dy f(ρ cos θ, ρ sin θ)ρ dρ dθ s coordenadas polares são usualmente utilizadas quando a região de integração tem fronteiras ao longo das quais ρ ou θ são constantes. Suponhamos que f(x, y) dx dy x1 ψ(x) x ϕ(x) f(x, y) dy dx Para exprimir este integral em coordenadas polares, é necessário exprimir as equações da fronteira de em coordenadas polares. Para o fazer não é necessário identificar no plano ρθ: podemos fazê-lo directamente a partir de. Vejamos como. 17

18 Exemplo 2.1 Seja { (x, y) R 2 : (x a) 2 + y 2 a 2}. Pretendemos calcular o integral x 2 + y 2 dx dy utilizando coordenadas polares. resolução é constituida por três pontos essenciais: (i) Determinar a variação de θ. Neste caso, θ [ π 2, π ] 2 (ii) Fixar θ constante. Como varia ρ para esse valor de θ? Equação da fronteira de : (x a) 2 + y 2 a 2. Em coordenadas polares: (ρ cos θ a) 2 + ρ 2 sin 2 θ a 2 ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 θ + a 2 2aρ cos θ a 2 ρ 2 2aρ cos θ ρ ou ρ 2a cos θ (iii) Determinação da função integranda em coordenadas polares: f(x, y) f(ρ cos θ, ρ sin θ) ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 θ ρ O integral vai ser então: f(x, y) dx dy π 2 π 2 f(ρ cos θ, ρ sin θ)ρ dρ dθ 2a cos θ ρ 2 dρ dθ 32 9 a3 18

19 Neste caso, Suponhamos agora que queria mudar a ordem de integração, ou seja integrar primeiro em ordem a θ e só depois em ordem a ρ. Os valores mínimo e máximo de ρ que os pontos de tomam são respectivamente e 2a. ssim, ρ varia no intervalo [, 2a]. Seja então ρ constante. Para este valor de ρ fixo, os valores possíveis de θ, em, estão compreendidos entre α(ρ) e β(ρ). Note-se que α(ρ) β(ρ). Para determinar o valor de β(ρ), basta atender ao facto de que β(ρ) corresponde ao ângulo θ do ponto da curva ρ 2a cos θ. Precisamos assim de resolver esta equação em ordem a θ. ( ρ ) ρ 2a cos θ θ arccos 2a Logo, 19

20 f(x, y) dx dy 2a arccos ( ρ 2a) arccos ( ρ 2a) ρ2 dθ dρ 2.4 Mudança de variáveis: Caso Geral passagem de coordenadas cartesianas para polares nem sempre é a mais conveniente. Podem existir outras mudanças de variável mais adequadas e que simplifiquem o cálculo de um dado integral duplo. Suponhamos, por exemplo, que temos que calcular f(x, y) dx dy onde T T { (x, y) R 2 : x [, 1], x y x } { (x, y) R 2 : x [1, 2], x 2 y 2 x } Sejam Então, y u + v, x u v 2 2 u y + x v y x e, nas coordenadas uv, a região T passa a ser T : 2

21 É assim uma região de expressão simples em termos de u e v. Como exprimir f(x, y) dx dy nas coordenadas uv? O Teorema seguinte estabelece o critério geral de mudança de variáveis para integrais duplos. T Teorema 2.11 Sejam D e D subconjuntos de R 2. Seja F : D D (u, v) (x(u, v), y(u, v)) uma função de classe C 1 e bijectiva. Seja f : D R uma função integrável. Então: f(x, y) dx dy f (x(u, v), y(u, v)) (x, y) D D (u, v) du dv onde (x, y) (u, v) representa o determinante da matriz Jacobiana da função F, det JF (u, v). Repare-se que o factor que surge na função integranda é o módulo do determinante da matriz jacobiana da transformação, portanto sempre positivo. Quando consideramos a mudança de variável no caso de integrais reais surgia a derivada da transformação, sem módulo. Podia ser positiva ou negativa. No entanto, e no caso de ser negativa, a função seria decrescente e os limites de integração viriam trocados, ou seja o limite inferior seria maior que o limite superior. Para passarmos à ordem natural, ou seja, o limite inferior menor que o limite superior, teríamos de afectar o integral com o sinal -. No caso de integrais duplos e, como veremos, mais geralmente no caso de integrais múltiplos, escrevemos logo o módulo do determinante da matriz jacobiana e escrevemos os limites de integração sempre com os limites inferiores menores que os limites superiores. Voltemos ao nosso exemplo. função ( u v F (u, v), u + v ) 2 2 é bijectiva sobre T e o seu Jacobiano é: det [ ] 1 2 Logo D f(x, y) dx dy 2 2 ( u v f 2, u + v ). 1 dv du

22 3 Integrais triplos Vamos apresentar muito sucintamente o conceito de integral triplo. Como já foi referido no início a ideia fundamental é a mesma que no caso de integrais duplos e mesmo simples. Seja B um paralelipípedo regular em R 3, ou seja B [a, b] [c, d] [u, v] Seja P uma partição do paralelipípedo B: P {a x < x 1 <... < x n b; c y < y 1 <... < y m d; u z < z 1 <... < z l v} Seja B ijk o paralelipípedo de ordem ijk da partição P, e seja V ijk o seu volume, isto é, V ijk (x i x i 1 )(y j y j 1 )(z k z k 1 ) Seja f : R 3 R uma função limitada em B e consideremos: e M ijk sup {f(x, y, z) : (x, y, z) B ijk } m ij inf {f(x, y, z) : (x, y, z) B ijk } Formemos agora as somas superiores: e as somas inferiores: n m l U(f, P ) M ijk V ijk i1 j1 k1 n m l L(f, P ) m ijk V ijk i1 j1 k1 22 Soma superior Soma inferior

23 Continuando a proceder de forma análoga ao caso de integrais duplos, chegaremos também à definição de função integrável em B R 3. Toda a teoria desenvolvida para integrais duplos é facilmente generalizável a integrais triplos e para integrais em espaços de dimensão n > 3. Voltando ao caso da nossa função f, definida em B R 3, considere os conjuntos de números reais L e U definidos por L {L(f, P ) : P partição de B}, U {U(f, P ) : P partição de B}. Sejam Então diz-se que f é integrável se B f sup L, B f e, nesse caso, o integral de f em B representa-se por: fdv ou f ou B B B B B f f inf U. f(x, y, z) dx dy dz. O Teorema de Fubini, devidamente adaptado a n 3, continua a ser válido e permite-nos calcular o integral: B f(x, y, z) dx dy dz b d a c ( v u ) f(x, y, z) dz dy dx ordem de integração pode ainda ser alterada dando origem a 6 possibilidades de cálculo diferentes. Seja agora W R 3 uma região qualquer limitada, não necessariamente um paralelipípedo. Como calcular f(x, y, z)dv? Seja D a projecção de W no plano xy. W 23

24 Então, f(x, y, z)dv W D [ ] ϕ2 (x,y) f(x, y, z)dz dx dy ϕ 1 (x,y) onde z ϕ 1 (x, y) e z ϕ 2 (x, y) são as equações das superfícies que limitam W, inferiormente e superiormente respectivamente. Seja I(x, y) ϕ2 (x,y) ϕ 1 (x,y) f(x, y, z)dz Trata-se de um integral simples. Estamos a integral em ordem a z e por isso devemos considerar que x e y são constantes. No final obtemos ainda uma função de x e y. Para calcular W f(x, y, z)dv só necessitamos agora de calcular um integral duplo, o integral, I(x, y)dx dy D Se D {(x, y) : x [a, b]; γ 1 (x) y γ 2 (x)}, por exemplo, então W f(x, y, z)dv b [ ( γ2 (x) ) ] ϕ2 (x,y) f(x, y, z)dz dy dx a γ 1 (x) ϕ 1 (x,y) O integral mais interior corresponde a I(x, y). Uma vez calculado e integrando em ordem a y, obtemos uma função de x. integração restante em ordem a x dá origem a um valor numérico, independente de todas as variáveis. Exemplo 3.1 Seja W uma região limitada pelos planos x, y, z 2 e pela porção do parabolóide de equação z x 2 + y 2, correspondente a x e y. Prete-se calcular: W x dx dy dz De uma maneira geral o desenho da região de integração ajuda na determinação dos limites de integração. 24

25 função integranda é, neste caso, f(x, y, z) x. Vem então W x dx dy dz ( 2 ) x dz dx dz x 2 +y 2 D 2 2 x x Calculemos agora o integral de outra forma, isto é: onde E é a projecção de W no plano yz. W x dv E x 2 +y 2 x dz dy dx x(2 x 2 y 2 )dy dx ( ) α2 (y,z) x dx dy dz α 1 (y,z) 25

26 ssim, W x dv ( ) z y 2 x dx dy dz E 2 z z y 2 x dx dy dz 3.1 Cálculo de volumes usando integrais triplos Seja W R 3, uma região limitada. Então Volume de W W 1 dw W dx dy dz Exercício 3.2 Determinar o volume do sólido limitado pelo elipsóide de equação ( x ) 2 ( y ) 2 ( z ) a b c (verifique que o resultado é 4 3 πabc). 3.2 Mudança de Variável: Coordenadas cilíndricas e esféricas Coordenadas cilíndricas Um ponto em R 3 fica completamente definido a partir das suas designadas coordenadas cilíndricas. coordenadas cilíndricas são as coordenadas polares adaptadas a um ponto de R 3. s 26

27 relação entre coordenadas cilíndricas e cartesianas é dada pelas equações: com x ρ cos θ y ρ sin θ z z ρ x 2 + y 2 θ arctan ( y ) x z z θ [, 2π[, ρ z (, ) O lugar geométrico dos pontos para quais z constante ( θ constante ) é um plano (semiplano), paralelo (perpendicular) ao plano xy. O lugar geométrico de ρ constante é um cilindro centrado no eixo dos zz e raio ρ. Coordenadas esféricas s coordenadas esféricas são outra forma de definir um ponto R 3. Neste caso se (r, θ, ϕ), são as coordenadas esféricas de um ponto P de R 3, então (i) r- distância de P à origem dos eixos. (ii) θ- ângulo entre a semirecta com origem na origem dos eixos e que passa pela projecção de P no plano xy e o semieixo positivo dos xx. (iii) ϕ- ângulo formado pelo vector posição do ponto P e o semi eixo positivo z. ssim, r, θ [, 2π[, ϕ [, π] relação entre coordenadas esféricas e coordenadas cartesianas vem: x r sin ϕ cos θ y r sin ϕ sin θ z r cos ϕ r x 2 + y 2 + z 2 θ arctan ( y ) x z ϕ arccos x 2 +y 2 +z 2 27

28 Em coordenadas esféricas a equação r a (a > ), representa uma esfera de centro na origem e raio a >. O lugar geométrico dos pontos para os quais ϕ constante π 2, é um cone. Para ϕ π 2, esse cone degenera no plano xy. 3.3 Mudança de Variável:Caso Geral Dependendo da região em R 3, pode ser conveniente usar outro tipo de coordenadas. Também nos casos de coordenadas cilíndricas e esféricas é preciso especificar como calcular os integrais triplos quando estas coordenadas estão a ser usadas. O teorema seguinte indica-nos como se transforma o integral triplo no caso de uma mudança qualquer de variáveis. Teorema 3.3 Sejam D e D subconjuntos de R 3. Seja F : D D (u, v, w) (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) uma função de classe C 1 e bijectiva. Seja f : D R uma função integrável. Então: f(x, y, z) dx dy dz f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) (x, y, z) D D (u, v, w) du dv dw onde (x, y, z) (u, v, w) representa o determinante da matriz Jacobiana da função F, det F (u, v, w). Vejamos então como ficam os integrais triplos quando se estão a utilizar coordenadas cilíndricas ou esféricas. (i) Coordenadas cilíndricas Neste caso, a função bijectiva F é definida por F (ρ, θ, z) (ρ cos θ, ρ sin θ, z) e o módulo do determinante da matriz jacobiana da transformação vem: (x, y, z) (ρ, θ, z) ρ (verifique!) (ii) Coordenadas esféricas função bijectiva F é agora F (r, θ, ϕ) (r sin ϕ cos θ, r sin ϕ sin θ, r cos ϕ) e o módulo do determinante da matriz jacobiana da transformação vem: (x, y, z) (r, θ, ϕ) r2 sin ϕ (verifique!) 28

29 ssim, sendo D R 3, em coordenadas cilíndricas vem: f(x, y, z) dx dy dz f(ρ cos θ, ρ sin θ, z) ρ dρ dθ dz D D e em coordenadas esféricas, temos f(x, y, z) dx dy dz f(r sin ϕ cos θ, r sin ϕ sin θ, r cos ϕ) r 2 sin ϕ dr dθ dϕ D D onde D e D denotam conjuntos expressos em coordenadas diferentes. Exemplo 3.4 Suponhamos que queremos calcular o integral (x 2 + y 2 + z) dxdydz onde { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1, z [, 1] }. projecção de sobre R 2 é o círculo C de equação x 2 + y 2 1. Considere qualquer ponto (x, y, z) de. Então z [, 1] e (x, y) C. Em coordenadas cilíndricas temos {(ρ, θ, z) : z [, 1], θ [, 2π], ρ 1}. lém disso, temos ssim Ora 2π 1 1 f(x(ρ, θ, z), y(ρ, θ, z), z(ρ, θ, z)) ρ 2 + z. (x 2 + y 2 + z) dx dy dz (ρ 2 + z)ρ dz dρ dθ 2π 1 1 2π 1 1 2π 1 2π 1 2π 2π π. ( ρ dθ (ρ 2 + z)ρ dz dρ dθ. (ρ 3 + zρ) dz dρ dθ ] z1 [ρ 3 z + ρ z2 dρ dθ 2 z ( ρ 3 + ρ ) dρ dθ ρ2 4 ) ρ1 ρ dθ 29