Cálculo III-A Módulo 1

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Prezado aluno, Cálculo III-A Módulo Seja bem-vindo à nossa disciplina. Este teto possui - salvo algumas modificações - o mesmo conteúdo do material preparado pela professora Rioco para o curso de Cálculo IV do Cederj. Boa sorte! Rioco K. Barreto e M. Lucia S. Menezes Coordenadoras de Cálculo III-A Objetivos Aula Integrais uplas Compreender a noção de integral dupla; Estudar algumas de suas propriedades; Estudar o Teorema de Fubini para retângulos. Em Cálculo II-A, você aprendeu as integrais definidas. Agora, em Cálculo III-A, pretendemos que você compreenda as integrais duplas e triplas de funções de duas ou três variáveis. Então consideremos uma função f : R R, onde é um conjunto fechado e limitado (também conhecido como conjunto compacto). Como é limitado, então eiste um retângulo R = a,b] c,d], tal que R. d = n R j j R ij f ( i, j) = c R a = i i b = n Vamos dividir o retângulo R em subretângulos R ij da seguinte maneira: dividimos os intervalos a,b] e c,d] em n subintervalos de mesmo comprimento = b a e = d c, respectivamente; n n

2 Cálculo III-A Módulo ( traçamos ) retas verticais e horizontais pelas etremidades desses subintervalos. Vamos escolher i,j Rij, para formarmos a soma S n = n n f ( ) n i,j = f ( i,j) A j= i= i,j= onde f ( i, j) = se ( i, j) /. Esta soma é dita soma de Riemann de f. Se eistir o lim S n = L, dizemos que f é integrável e n que o número L é dito integral de f sobre e é indicado por f(,)dd ou f(,)da ou f da. Assim, f(,)dd = lim OBS.: n i,j= n f ( i j),.. Prova-se que se f é contínua em, então f é integrável.. Se f(,) é contínua em, então o gráfico de f (G f ) está acima do plano. Então o volume do sólido W que está abaio de G f e acima de é dado por V(W) = f(,)dd. Logo, para encontrar o volume do sólido W, integramos f(,) (o teto ) sobre (o piso ). z W G f : z = f(,) ( teto ) ( i, j ) R ij ( piso )

3 Cálculo III-A Módulo 3 3. Se f(,) = em então dd = dd = A() = área de. 4. Propriedades (i) (f +g)da = f da+ (ii) kf da = k f da, k R (iii) = gda f da = f da+ f da Um Método Prático para Calcular Integrais uplas Teorema de Fubini: Se f(,) é contínua no retângulo = a,b] c,d], então ou f(,)dd = b a d c b d ] f(,)d d = d b ] f(,)d d c a d b f(,)dd = f(,)dd= f(,)dd a c c a }{{} integrais iteradas ou repetidas Eemplo Calcule Solução: dd, sendo =,],].

4 Cálculo III-A Módulo 4 Temos dd = dd. Primeiro, calculamos a integral interna. Logo, dd = ] 3 3 = 3 ( )]d = 3 d = 3 ] =. 6 Aula Cálculo de Integrais uplas em Regiões mais Gerais Objetivos Estudar uma versão mais geral do Teorema de Fubini; Calcular área e volume. Suponhamos agora, que seja diferente do retângulo a,b] c,d]. Então vamos definir dois tipos de região. efinição izemos que é uma região do tipo I ou uma região simples vertical se for limitada à esquerda pela reta vertical = a, à direita pela reta vertical = b, inferiormente pela curva de equação = g () e superiormente pela curva = g (), onde g e g são contínuas. As figuras que se seguem ilustram regiões do tipo I. = g () = g () = g () (,) (,) (,) = g () = g () = g () a b a b a b

5 Cálculo III-A Módulo 5 Logo, = {(,) R ; a b e g () g ()}. Prova-se que: f(,)dd = b g () a g () f(,)dd. efinição izemos que é uma região do tipo II ou uma região simples horizontal, se for limitada inferiormente e superiormente pelas retas horizontais = c e = d, respectivamente, à esquerda pelacurva = h ()eàdireitapelacurva = h (),ondeh eh sãocontínuas. As figuras que se seguem ilustram regiões do tipo II: d = h () = h () d = h () = h () d = h () = h () c c c Logo, = {(,) R ;c d e h () h ()}. Prova-se que: f(,)dd = d h () c h () f(,)dd. Eemplo Calcule por meio dos dois métodos a integral de f(,) = sobre a região limitada pelas curvas = e =. Solução: As curvas se interceptam quando = ou ( ) =. Então = ou =. Assim, os pontos de interseção são (,) e (,). Logo, o esboço de é:

6 Cálculo III-A Módulo 6 = (,) = Método Enquadrando como tipo I, temos = {(,) R ; e }. Então: ] dd = dd = d = ( 4 ) d = ( 3 5 ) d Método = = 6 = 4. ] ( 4 6) = = Enquadrando como tipo II, temos = { (,) R ; e }. Então, dd = dd = ] d = ( ) d = = = = 4. ( 3 ) d ] ( 3 4)

7 Cálculo III-A Módulo 7 Eemplo Calcule, por meio de integral dupla, a área da região plana limitada pelas curvas = 3 e =. Solução: O esboço de é: = / = 3 = = / = 3 Podemos descrever por Então, : { 3 / A() = dd = / 3 dd = ( / 3) d = ] 3 3/ 4 = = 5 u.a Eemplo 3 Calcule o volume do tetraedo W com faces nos planos coordenados e no plano + +z = 3. Solução: O plano + + z = 3 passa pelos pontos A = (3,,), B = (,3,) e C = (,,3). Assim, o esboço de W é:

8 Cálculo III-A Módulo 8 z C teto de W 3 + = 3 W = 3 A (piso) B 3 = Observemos que o teto de W é a porção do plano ++z = 3 ou z = 3 = f(,) e que o piso de W é o triângulo. Então, V(W) = f(,)dd = (3 )dd = = = = = = 9 u.v. (3 )dd 3 ] 3 d 3(3 ) (3 ) (3 ) (9 6+ )d ] 3 ] d Eercício : Calcule as integrais iteradas: a) e dd b) dd Eercício : Esboce a região de integração e calcule as integrais: a) 3 dd, = {(,) R ;, };

9 Cálculo III-A Módulo 9 b) f(,)dd, = {(,) R ; π/, cos}, f(,) = sen. Eercício 3: Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em: a) b) f(,) dd c) f(,) dd d) 3 f(,) dd f(,) dd Eercício 4: Calcule 4e dd. Eercício 5: Calcule 5 5 ln dd. Eercício 6: Use a integral dupla para calcular a área da região limitada pelas curvas = 4 e =. Eercício 7: Encontre o volume do sólido W limitado pelos planos =, z = = 4 e pelo cilindro parabólico z = 4. Eercício 8: Encontre o volume do sólido W limitado pelas superfícies z =, z, =, z = e =.