Integral de funções de uma variável

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1 Integrais Múltiplas

2 Integral de funções de uma variável x = b a n a b f x dx = lim m m i=1 f(x i ) x

3 Integral Dupla Seja f uma função de duas variáveis definida no retângulo fechado. R = a, b x c, d = {(x, y) R a x b; c y d} e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y).

4 Problema: Encontrar o volume do sólido acima de R e abaixo da superfície S. S = {(x, y, z) R 3 x, y R, 0 z f(x, y)}

5 Subdividindo [a, b] em m subintervalos e [c, d] em n subintervalos, temos: b a x = m e y = d c n Área dos subretângulos : A = xy

6 6 Ilustração da interpretação geométrica da integral dupla

7 Figura 5 O volume da caixa R ij é dado pelo produto pela altura vezes a área do retângulo da base: V Rij = f(x ij, y ij)a

8 O volume procurado V é aproximadamente a soma dos volumes destes prismas: n V f ( x, y ) A i1 j1 Quanto maior o número de retângulos da região R mais próximo de V fica a soma dupla acima, podemos dizer então que Nestas condições temos a seguinte definição: m n m V lim f ( x, y ) A nm, i 1 j 1 ij ij ij ij

9 Definição: Seja f uma função contínua definida em R R com valores reais, definimos a integral dupla na região R acima por: R f ( x, y) da lim f ( x, y ) A Se f for positiva em volume do sólido S. n m nm, i 1 j 1 R ij então essa integral resulta no ij

10 Exemplo 1: O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,] x [0,] e abaixo do parabolóide elíptico z = 16 x y pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior direito de cada quadrado R ij.

11 Solução: Os quadrados estão ilustrados na figura acima e a área de cada um vale 1. O parabolóide é o gráfico de f(x,y) = 16 x y. Aproximando o volume pela soma de Riemann com m = n =, temos:

12 i1 j1 V f ( x, y ) A f 1,1 A f 1, A f,1 A f, A ij ij uv Esse é o volume das caixas que aproximam o volume V, como mostra a figura a seguir.

13 13

14 Abaixo estão ilustrados a três diferentes subdivisões z 16 x y m = n = 4 V 41.5 Figure m = n = 8 V m = n = 16 V The approximations become more accurate as m and n increase. A 14

15 Integrais Iteradas Supondo f(x, y) contínua no retângulo R = a, b x c, d. Temos que d A x = f x, y dy c b b d V = A x dx = f x, y dy dx a a c A 15

16 Integrais iteradas Teorema de Fubini: Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo: b d d b f ( x, y) da f ( x, y) dy dx f ( x, y) dx dy R a c c a vale sempre que f for limitada em R, podendo ser descontínua em um número finito de pontos de R.

17 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS i) ii) iii) [ f ( x, y) g( x, y)] da f ( x, y) da g( x, y) da D D D D cf ( x, y) da c f ( x, y) da D f ( x, y) da f ( x, y) da f ( x, y) da D D D 1 se D = D 1 D, onde D 1 e D não se sobrepõem exceto, possivelmente, nas fronteiras.

18 Exemplo : Calcule o valor da integral, onde R = [0,3] x [1,] x yda R

19 Solução: De acordo com a figura acima temos: R y 4 1 x yda x ydydx x dx x x dx x x x dx 13,5 3 R x 7 x yda x ydxdy y dy y 0 dy y , O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da função f(x,y) = x y (Veja figura ao lado)

20 Exemplo 3: Calcule R = [1,] x [0,]. Solução: R , onde ysen( xy) da ysen( xy) dxdy cosxy dy 1 ( cos y cos y) dy seny seny 1 1 sen sen sen0 sen0 0 R ysen( xy) da Note que é importante saber escolher a ordem de integração que dê menos trabalho. O resultado dessa integral representa a diferença de volume da parte do sólido positivo com a parte negativa. 0 1

21 Exemplo 4: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x + y + z = 16, os planos x = e y = e os três planos coordenados. Solução: S é o sólido que está abaixo da superfície z = 16 x y e acima do retângulo R = [0,] x [0,], como mostra a figura. Vamos calcular o volume deste sólido usando integral dupla:

22 Solução V 16 x y da x y dxdy 3 x 16x xy dy y R 88 4 y 3 dy 3 88 y y dy uv

23 Integrais duplas em regiões gerais Tipo 1 - Regiões planas inscritas em faixas verticais: Seja D = { (x,y) R a < x < b, g 1 (x) < y < g (x) } onde g 1 e g são contínuas em [a, b]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo:

24 A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: 1 ( x) f ( x, y) da f ( x, y) dydx D a g ( x) b g

25 Tipo - Regiões planas inscritas em faixas horizontais Sendo D= {(x, y) c y d, h 1 (y) < x < h (y) }

26 A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas: sempre que f for contínua em D. 1 ( x) f ( x, y) da f ( x, y) dxdy D c h ( x) d h

27 Exemplo 5: Calcule ( x y ) da onde D é a D região limitada pelas parábolas y = x e y = 1 + x. Solução: y = 1+ x y = x

28 D = { (x,y) 1 < x < 1, x < y < 1 + x } D ( ) ( ) 1 1 x 1 1 x x y da x y dydx xy y dx x -1 x x(1 x ) (1 x ) - x 4x dx x x 1 x x - x - 4x dx 4 3-3x - x x x 1 dx x x x x x

29 Exemplo 6: Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x + y e acima da região do plano xy limitada pela reta y = x e pela parábola y = x. Solução: D = { (x,y) 0 < x <, x < y < x } x 3 y V x y da x y dydx x y dx 0 3 D 0 x x x 4 x 14x 4 x 14x x x x x 3 3 dx x dx x

30 Gráfico do exemplo 6 y = x y= x Exercício: Resolva o exemplo anterior invertendo ordem de integração:

31 Exemplo 7: Calcule xyda D, onde D é a região limitada pela reta y = x 1 e pela parábola y = x + 6. Solução:

32 A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira: [y = x + 6] [y = x 1] y 6 x e x = y +1 y 6 y y 8 = 0 y 1 y = ( x = 1 ) ou y = 4 (x = 5 ) Assim, preferimos expressar D como: y 6 D x, y y 4, e x y 1

33 Fazemos agora o cálculo: D 4 y1 4 y1 x xyda xydx dy y dy y 6 y y y y y 1y 36y dy 8 1 y 16y 8y 3y dy 4 1 y y 4y 8 16y

34 Exemplo 8: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + y + z =, x = y, x = 0 e z = 0. Solução: Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido está. Igualando as equações dos planos, duas a duas, obtemos as retas que contém as arestas do tetraedro:

35 A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, o plano vertical x = y e o plano x + y + z =. Como x + y + z = intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta x + y =, vemos que T está sobre a região triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x = y, x + y = e x = 0. O plano x + y + z = pode ser escrito como z = x y e a região D como:

36 D { x, y 0 x 1, x / y 1 x / }. 1 1 x x/ x x V x y da x y dydx y xy y dx D 1 x x x x x 1 x1 1 x dx x x x x x x 1 x x dx x 1 1 x x dx x x 3 3

37 Exemplo 8: Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas que resolvem y cos xda, D onde D é a região do plano xy limitada pelos gráficos de x, y = 1, y = 3, 3y + x = 10 e x = y. 6 Solução:

38 Dividiremos a região D em duas D 1 e D. 1) Inscrita na faixa vertical /6 x 4 e, nesse caso dividi-la em D 1 = { (x,y) /6 x 1, 1 y 3 } e 10 x D = { (x,y) 1 x 4, x y } 3 ) Inscrita na faixa horizontal 1 y 3 e, nesse caso, dividi-la em D 1 = { (x,y) 1 y, /6 x y } e D = { (x,y) y 3, /6 x 10 3y }

39 Podemos então escrever de duas formas a integral. y cos xda y cos xda y cos xda D D D 1 10x y cos xdydx y cos xdydx 1 1 y cos xda y cos xda y cos xda D D D 1 x y y y cos xdxdy y cos xdxdy 1 6 6

40 Integrais Duplas em Coordenadas Polares Regiões Polares Simples: Uma região polar simples num sistema de coordenadas polares é uma região delimitada por dois raios, e r, e duas curvas polares contínuas, r 1 ( ) r r ( ) e, onde as equações dos raios e das curvas satisfazem as seguintes condições: (i) (ii) (iii) 0 r( ) r ( ) 1

41 Regiões em Coordenadas Polares y R r = f () f 1 () r f () 1 1 r 1 = f 1 () x

42 Integrais Duplas em Coordenadas y R Polares A k = (r - r 1 )( - )/ r = [(r 1 + r )/] (r) r A k unidade de área: r 1 A k x

43 Teste Faremos o volume V k do prisma k por V f r A * * k ( k, k ). k Sendo assim, o volume aproximado do sólido é: n V f r A k1 * * ( k, k ). k e definiremos a integral dupla em coordenadas polares por; n r ( ) * * lim ( k, k ). k (, ) n k 1 r ( ) f r A f r da 1

44 Observe que a unidade de área pode ser dada usando-se os centros dos sub-retângulos: e Então, Onde A {( r, ) r r r, } * * k k k k1 k k k1 k k * 1 * 1 rk ( rk 1 rk ) k ( k 1k ) rk rk rk 1 A 1 1 k rk k rk 1 k 1 ( rk rk 1 ) k 1 ( rk rk 1 )( rk rk 1 ) k r r * k k k

45 Cálculo da Integral Dupla em Coordenadas Polares R: r 1 () r r () r ( ) R f ( r, ) da f ( r, ) rdrd r 1 ( )

46 (3x 4y ) da Example 1: Calcule R, onde R é a região do semiplano y 0 delimitada pelos circulos x y 1, and x y 4. Solução: A região R pode ser descrita como R {( x, y) y 0, (3x 4y ) da R 0 1 (3r cos 1 x 0 1 4r 3 y 4} (3r cos sin r r1 ) drd {( r, ) 1 r, 0 } 4r sin ) rdrd 3 4 r cos r sin d 0 7cos 15sin d cos (1 cos ) d sin sin

47 Example : Encontre o volume do sólido limitado Pelo plano xy e pelo parabolóide z 1 x y V D {( x, y) x y 1} {( r, ) 0 r 1, 0 } (1 x y ) da D 1 (1 r d ( r r r 4 ) rdrd 1 0 r 3 ) dr

48 Para uma região do tipo Onde D é uma região do tipo D {( r, ), h ( ) r h ( D h ( ) h ( ) Temos a integral f ( x, y) da 1 f ( r cos, r sin ) rdrd 1 )}

49 Example 3 Usando a integral dupla encontre a área englobada pela pétala da rosácia r D {( r, ), 0 r cos } 4 4 cos /4 cos A( D) da rdrd D /4 0 /4 /4 cos 1 r d /4 cos /4 /4 /4 d 1cos 4 d /4 1 1 sin /4

50 Example 4 Encontre o volume do sólido que está sob o parabolóide, acima do plano e dentro do cilindro y x z xy. x y x Solution O sólido está acima do disco, limitado pelo círculo } cos 0, ), {( r r D

51 D da y x V ) ( / / cos 0 rdrd r / / cos d r / / 4 cos 4 d / 0 4 cos 8 d / 0 cos 1 8 d / 0 ] cos4 1 cos [1 1 d 3 3 sin 4 sin 3 / 0 8 1