Descrevendo Regiões no Plano Cartesiano e no Espaço Euclidiano

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1 Descrevendo Regiões no Plano Cartesiano e no Espaço Euclidiano Americo Cunha Débora Mondaini Ricardo Sá Earp Departamento de Matemática Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Regiões no Plano Nos eemplos a seguir desejamos descrever regiões como uniões de regiões onde cada uma destas será descrita em um dos dois formatos padrões: Tipo I : R = ( ) R } a b e f() g() ou Tipo II : R = ( ) R c d e h() j() } eplicitando o intervalo [a b] ou [c d] e as funções f e g ou h e j Eemplo Considere a região do plano definida por } R = ( ) R Para descrever R como uma região de Tipo I tomaremos f() = e g() = Os gráficos dessas funções se intersectam nos pontos do plano cujas abscissas satisfazem a equação = ie = ou = Assim temos que } R = ( ) R e Um esboço da região R pode ser visto na Figura A fronteira de R é a união das seguintes curvas: } C = ( ) R = e C = ( ) R = e }

2 Figura : Esboço da região R Vamos agora descrever R como uma região de Tipo II Para isso será necessário escrever as curvas de sua fronteira através de equações da forma = h(): = = ± = = ± Devemos dividir R em duas sub-regiões para poder descrevê-la no formato desejado como indicado na Figura R R Figura : Divisão horizontal da região R Então R = R R onde R = ( ) R 0 e } R = ( ) R e } Eemplo Agora vejamos a região } R = ( ) R Observe que a região R está definida por duas inequações Nessas inequações a variável é limitada inferiormente por e superiormente por Assim para descrevê-la como uma região de Tipo I tomaremos f() = e g() = Os limites do intervalo [a b] são determinados pelas abscissas dos pontos de interseção das curvas = e = ie pelos valores de que satisfazem =

3 Se 0 a última equação equivale a + = 0 a qual possui duas soluções: 5 = e = 5 Sendo não negativo a única solução válida é Se < 0 a equação de interesse se torna = 0 cujas soluções são: = + 5 e = 5 Como é negativo a única solução válida é Logo a região R (esboçada na Figura ) pode ser escrita como R = ( ) R 5 5 e } 5 5 Figura : Esboço da região R A fronteira de R é a união das seguintes curvas: C = ( ) R = e } 5 5 C = ( ) R = e 5 } 5 Podemos ainda descrever a região R como uma região de Tipo II Para isto é importante saber epressar sua fronteira através de equações do tipo = h() Observe que: = = = = = = ± Verifique que R = R R (Figura ) onde

4 R = R = ( ) R ( ) R e e } } R R Figura : Divisão horizontal da região R Eemplo Considere agora a seguinte região do plano: R = ( ) R e } Observe que R já está descrita como uma região do Tipo II (pois varia entre duas constantes e varia entre duas funções de ) Um esboço desta região é apresentado na Figura 5 Figura 5: Esboço da região R A fronteira de R é a união das seguintes curvas: } C = ( ) R = e 0

5 } C = ( ) R = e 0 C = ( ) R = } e C = ( ) R = } e Para descrever R como uma região de Tipo I vamos estudar sua fronteira (lembrando que agora queremos epressá-la através de equações da forma = f()): = = ± = = ± Este eemplo é um pouco mais complicado do que os que vimos até agora pois será necessário dividir R em três sub-regiões: R R R (Figura 6) onde R = ( ) R 0 e } R = ( ) R 0 e } R = ( ) R e } R R R Figura 6: Divisão vertical da região R Vamos agora considerar um eercício interessante: descrever a região R como união de regiões escritas na forma (r θ) α θ β e f(θ) r g(θ)} (ou seja descrever R em coordenadas polares) Lembrando que a relação entre as coordenadas cartesianas e polares é dada por = r cos(θ) e = r sin(θ) temos que a equação da reta = em coordenadas polares é r = / sin(θ) Analogamente = é reescrita como r = / sin(θ) Logo verifique que R é dada como união das seguintes sub-regiões: (r θ) π θ π e r } sin(θ) 5

6 (r θ) π θ π e r } (r θ) π θ π e r } sin(θ) Eemplo Considere a seguinte região do plano: } R = ( ) R ln( + ) ln() e 0 < O limite inferior para a variável é a abscissa do ponto de interseção entre as curvas = ln(+) e = ln() ou seja a solução da equação ln(+) = ln(): ln( + ) = ln() ( ) ln = ln() + + = + = 0 = ± 5 Como > 0 consideraremos apenas a solução positiva da equação acima Logo } R = ( ) R 5 e ln( + ) ln() Um esboço desta região é dado pela Figura 7 ln 5 ln 5 ln Figura 7: Esboço da região R 6

7 A fronteira de R é a união das seguintes curvas: } C = ( ) R 5 = ln() e } C = ( ) R 5 = ln( + ) e } C = ( ) R = e ln() ln() Para descrevê-la como uma região de Tipo II devemos epressar suas fronteiras através de equações da forma = h(): = ln() = e ( ) = ln( + ) = ln + e = + = e Para encontrar os etremos do intervalo [c d] basta procurar pelas ordenadas dos pontos de interseção das curvas = ln( + ) e = ln() com a reta vertical = Logo c = ln() e d = ln() Entretanto será ainda necessário dividir horizontalmente a região R em duas sub-regiões como ilustrado na Figura 8 R R Figura 8: Divisão horizontal da região R E então R = R R onde ( R = ( ) + ) 5 R ln() ln R = ( ) R ln ( + ) 5 e e ln() e e 7

8 Eemplo 5 Considere a seguinte região do plano: R 5 = ( ) R 0 π } sen() cos() As curvas = sen() e = cos() intersectam-se em = π Logo a região R 5 pode ser descrita como R 5 = ( ) R } π 0 sen() cos() A fronteira de R 5 é composta por três curvas: } C = ( ) R = 0 0 C = ( ) R = sen() 0 π } C = ( ) R = cos() 0 π } Para descrever R 5 como uma região do Tipo II devemos dividi-la em duas sub-regiões: R 5 = R 5 R 5 Observando que = sen() = arcsen() = cos() = arccos() ( ) ( ) π π sen = cos = temos: R 5 = ( ) R } 0 0 arcsen() R 5 = ( ) R } 0 arccos() 8

9 Eercício Calcule os centróides das regiões planas estudadas nos Eemplos a Eercício Seja R = ( ) R } Esboce esta região e calcule seu centróide Eercício Seja R = ( ) R e } Descreva esta região em coordenadas polares e calcule seu centróide Regiões no Espaço Nos eemplos a seguir desejamos descrever regiões do espaço no formato padrão U = ( z) R } F ( ) z G( ) e ( ) R eplicitando a região R e as funções F e G Eemplo Considere a região U = ( z) R + z } Nesse eemplo temos que F ( ) = + e G( ) = Os gráficos dessas funções se intersectam ao longo de uma curva no espaço cuja representação cartesiana é dada pelas equações z = + e z = Ao eliminarmos a variável z das equações anteriores obtemos + = a equação que define a fronteira da projeção ortogonal de U no plano A última equação equivale a + = / Logo a projeção ortogonal U no plano é um disco centrado na origem de raio / Assim temos que U = ( z) R + z e ( ) R } onde R = ( ) R e } A fronteira de U é a união das seguintes superfícies: S = ( z) R z = + + } S = ( z) R z = + } Um esboço da região U pode ser visto na Figura 9 9

10 z Figura 9: Esboço da região U Em coordenadas cartesianas o volume do sólido U é dado por: Vol(U ) = = = ( + ) d d Esta é uma integral muito difícil de ser calculada mas podemos simplificar nossa tarefa se usarmos o fato de que a região de integração R é um círculo centrado na origem de raio / Em coordenadas polares o volume do sólido U é dado por: Vol(U ) = π θ=0 r=0 ( r r) rdr dθ = π( ) Como eercício calcule o volume do seguinte sólido: Ũ = ( z) R + z } z Eemplo Observe a região } U = ( z) R + e z 7 que corresponde ao sólido contido no cilindro + delimitado pelos planos z = e z = 7 (veja Figura 0) A projeção ortogonal de U no plano é obviamente um círculo centrado na origem de raio Logo no formato padrão esta região é descrita como } U = ( z) R z 7 e ( ) R onde R = ( ) R e } 0

11 z Figura 0: Esboço da região U A fronteira de U é a união das seguintes superfícies: } S = ( z) R z = e + } S = ( z) R z = 7 e + } S = ( z) R + = e z 7 O volume do sólido U é dado por: Vol(U ) = = = ( 7 ( ) ) d d = 9π Assim como no eemplo anterior também seria conveniente aqui usar coordenadas polares para descrever a região de integração R O volume de U seria então dado por: π ( ) Vol(U ) = 9 r sin(θ) rdr dθ = 9π θ=0 Eemplo Considere as regiões e U = r=0 ( z) R } + + z U = ( z) R ( + ) } z

12 z Figura : Esboço da região U Seja U = U U z 0} Na Figura vemos um esboço desta região Como z 0 para encontrar a equação da curva no espaço onde o elipsóide U e o cone U se interceptam basta igualar a parte de cima do elipsóide à parte de cima do cone: = + A projeção ortogonal de U no plano é obtida simplificando-se a equação acima: + = / (um círculo centrado na origem de raio /) Logo descrevemos a região U da seguinte forma: U = onde ( z) R + z e ( ) R } R = ( ) R e } A fronteira de U é a união das seguintes superfícies: } S = ( z) R z = + + S = ( z) R z = + } O volume do sólido U é dado por: ( Vol(U ) = = = + ) d d = π

13 Usando coordenadas polares o cálculo da integral acima é bem mais simples: π ( Vol(U ) = ) r r rdr dθ = π θ=0 r=0 Eemplo Considere U a região do espaço delimitada pelos planos = 0 z = 0 e + z = 5 e pelo cilindro sobre a curva z = Um esboço de U pode ser visto na Figura z 5 Figura : Esboço da região U A maneira mais fácil de descrever esta região é no seguinte formato: } U = ( z) R F ( z) G( z) e ( z) R onde R é uma região do plano z A projeção ortogonal de U no plano z é a região delimitada pelas retas z = z = + e z = 0 Logo } U = ( z) R 0 5 z e ( ) R onde R = } ( z) R 0 z e + z z A fronteira de U é a união das seguintes superfícies: } S = ( z) R z = S = ( z) R } = 0 0 z

14 S = ( z) R S = ( z) R O volume do sólido U é dado por: Vol(U ) = } z = 0 5 z z=0 } = 5 z 0 z z = +z (5 z) d dz = 76 Como eercício calcule R z d dz Eemplo 5 Considere a região U 5 de R dada por } U 5 = ( z) R z A projeção ortogonal de U 5 sobre o plano é o disco centrado na origem de raio Logo } U 5 = ( z) R z + 0 ( ) R 5 onde R 5 = ( ) R } A fronteira de U 5 é a união das seguintes superfícies: } S = ( z) R z = + } S = ( z) R z = } S = ( z) R + = z + 0 Em coordenadas cartesianas o volume do sólido U 5 é dado por ( Vol(U 5 ) = ( + 0) ( ) ) dd R 5 ( = + ) dd = π Para facilitar o cálculo da integral acima podemos descrever a região R 5 em coordenadas polares: 0 r e 0 θ π Usando ainda que = rcos(θ) e

15 = rsen(θ) o volume de U 5 pode ser reescrito como: Vol(U 5 ) = = = π 0 0 π 0 0 ( ( r cos (θ) r sen (θ) + ) r drdθ ( r cos(θ) + ) r drdθ ) ( ) π r dr cos(θ) dθ + π 0 0 Eercício Seja = 0 + π = π R = ( z) R z } Considere a região U R obtida girando-se R em torno do eio z Descreva U usando desigualdades Eercício Seja U a região do espaço delimitada pelo parabolóide z = + e pelo plano z = + a) Escreva U usando desigualdades b) Eplicite R região do plano obtida pela projeção ortogonal de U nesse plano Eercício Considere a seguinte região U = } ( z) R + + z + + z 5 e z 0 Descreva essa região como a união de duas regiões U e U escritas no formato padrão Eercício Esboce as regiões do espaço a seguir e determine suas respectivas projeções no plano a) U = ( z) R + + z e z } + b) U = U z } c) U = U 0 e 0} Eercício 5 Considere U a região do espaço delimitada pelos planos = 0 z = 0 + z = 5 e pelo cilindro sobre uma parábola dado por z = Seja R a projeção ortogonal de U no plano z a) Esboce U eplicitando sua fronteira por equações b) Descreva R através de equações ou inequações cartesianas c) Calcule o volume de U 5