f, da, onde R é uma das regiões mostradas na

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1 Integrais Duplas em Coordenadas Polares Bibliografia básica: THOMAS, G. B. Cálculo. Vol. Capítulo 1. Item 1.3. STEWAT, J. Cálculo. Vol.. Capítulo 15. Item Sabemos que o cálculo da área de uma região no plano xy pode ser feito por meio da resolução da seguinte integral dupla: A da = Área de (esta é a área de uma região plana fechada e limitada, no plano xy) e cartesianas. = da = dxdy, quando trabalhamos no sistema de coordenadas Entretanto, existem regiões que ficam mais fáceis de serem trabalhadas se utilizarmos as coordenadas polares. Em geral, regiões com formatos circulares e outras formas curvilíneas. Se precisarmos calcular a integral dupla ( x y) f, da, onde é uma das regiões mostradas na figura 1, a descrição de é complicada em coordenadas cartesianas, sendo mais fácil utilizar coordenadas polares. 1 Figura 1: Exemplos de regiões mais fáceis de se expressar usando coordenadas polares. Fonte: STEWAT, J. Cálculo. vol., 009, p As duas regiões acima podem ser descritas por: 1 = {( r, θ )/ 0 r 1 e 0 θ } = {( r, θ )/1 r 0 θ }. e As regiões 1 e mostradas são casos especiais do retângulo polar: = {( r, θ )/ a r b e α θ β}, representado a seguir: e 1

2 Figura : etângulo polar. Fonte: STEWAT, J. Figura 3: Dividindo em subretângulos polares. Cálculo. vol., 009, p Fonte: STEWAT, J. Cálculo. vol., 009, p Utilizando Soma de iemann e o rigor matemático necessário, obtemos a seguinte relação para a mudança de coordenadas retangulares para coordenas polares e uma integral dupla: Se f é contínua no retângulo polar dado por 0 β α 0 a r b, α θ β, então: β b ( x y) da f ( r cosθ, rsenθ ) rdrdθ f =, α a, onde Percebe-se, assim que, em coordenadas polares, da será dado por e θ possuem a mesma definição já vista em coordenadas polares. Vamos entender o porquê deste da. da = rdrdθ, sendo que r a) Temos que o comprimento L de um arco cujo ângulo é α, em radianos, e raio r é dado por: L = α r. (Obs.: Esta relação pode ser deduzida fazendo uma simples regra de três considerando o ângulo de toda a circunferência radianos, e o comprimento total da circunferência r ). b) Para o retângulo polar temos:

3 Figura 4: Elemento de área (da) em coordenadas polares. Fonte: STEWAT, J. Cálculo. vol., 009, p Comprovamos, desta forma, que: da = rdrdθ Assim, para transformarmos uma integral no formato A = da = dxdy, em coordenadas cartesianas, para coordenadas polares, devemos fazer as respectivas conversões de variáveis, para delimitar a região em coordenadas polares, seguindo as relações já estudadas: x = r cosθ ; y = rsenθ ; x = + y r ; y tg θ =. x Obs.: Identidades trigonométricas necessárias para a resolução de alguns exercícios: 1 cos sen θ = θ Algumas integrais úteis: cos θ 1+ cos θ = sen ( θ ) = senθ cosθ cos( ax + b) sin( ax + b) sin( ax + b) = + c a cos( ax + b) = + c a Exemplo 1: Calcular ( x + y ) esposta: ( x + y ) da = da onde é o disco de centro em (0, 0) e raio a. 1 4 a. Obs: veja resolução em sala de aula. Exemplo : Determine o volume do sólido limitado pelo plano z = 0 e pelo parabolóide x + y + z = 1. esposta:. Obs: veja resolução em sala de aula. 3

4 Exemplo 3: Calcule ( x + 4y ) círculos x + y = 1 e x + y = 4. 3 da, onde é a região no semiplano superior limitada pelos esposta: 15. Obs: veja resolução em sala de aula. Exemplo 4: Calcular o Momento de Inércia de uma massa M distribuída uniformemente em um disco de raio a em relação ao centro do disco. Dado: O Momento de inércia ( I ) de uma massa puntual em relação a um ponto é dado por: I = massa x (distância) ou I = mr, onde r é a distância entre o ponto considerado e o ponto em relação ao qual se calcula o momento de inércia (neste caso, o centro do disco). Assim, teremos: I = r dm. esposta: Ma I =. Obs: veja resolução em sala de aula. Exemplo 5: Encontrando os limites de integração (para cálculo de áreas entre curvas polares) Encontre os limites de integração para integrar ( r,θ ) cardióide r = 1+ cosθ e fora da circunferência 1 f sobre a região que está dentro da r =. esolução: 1º Passo: fazer um esboço da região de integração, conforme mostra a figura 5: Figura 5: Esboço para o exemplo 3. Fonte: THOMAS, G. B., vol., 003, p º passo: Determinar os limites de integração de r: traçar um raio típico a partir da origem entre em r = 1 e sai em r = 1+ cosθ. Estes são os limites de r. 4

5 3º passo: Determinar os limites de integração de θ : os raios, a partir da origem, que apresentam interseção com variam de θ = e θ =. Estes são os limites de θ. / 1+ cosθ / 1 Assim, a integral a ser resolvida é: f ( r, θ ) r drdθ. Se f ( r,θ ) é a função constante cujo valor é 1, então a integral de f sobre é a área de. esumindo: Área em coordenadas polares: A = rdrdθ EXECÍCIOS: 7 1) Esboce a região cuja área é dada pela integral 4 rdrd θ e calcule-a. ) Calcule a integral xyda, onde é o disco com centro na origem e raio 3. x + y 3) Calcule e dydx, onde é a região semicircular limitada pelo eixo x e pela curva y = 1 x. + 4) Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares: ( x y) da, onde é a região que está à esquerda do eixo y e entre as circunferências x + y = 1 e x + y = 4. 5) Utilize coordenadas polares para determinar o volume de uma esfera de raio a. 6) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dentro do cilindro x + y = 4 e do elipsóide 4x + 4y + z = 64. 7) Use integral dupla para determinar a área contida em um laço da rosácea de quatro pétalas r = cos θ. 5

6 Figura para o Exercício 7. espostas: 33 1) 4 3 5) V a 3 ) 0 (zero) 3) ( e 1) 64 = 6) = ( 8 3 3) V 7) 3 A = 8 4) 6