A integral definida Problema:

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1 A integral definida Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b], e tal que f(x) 0 p/ todo x [a, b]. Problema: Calcular (definir) a área, A,da região do plano limitada pela curva y = f(x), o eixo OX e as retas x = a e x = b.

2 Tomemos números x 0, x 1, x 2,..., x n [a, b] tais que a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b e, a 1, a 2,..., a n tais que a i [x i-1, x i ]. Então

3 Definição 1: Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b]. Se existe dizemos que f é integrável em [a, b] e que sua integral definida em [a, b] é I e é um número real. Notação:

4 O processo de determinação do limite é chamado cálculo da integral Os números a e b são os limites de integração; a é o limite inferior e b éo limite superior. A expressão f(x) é o integrando.

5 Proposição: Se f (x) é contínua em [a, b] então é integrável em [a, b]. Exemplo: f(x) = x para todo x [0, 1].Mesmo sabendo tratar-se de uma função que possui integral, no momento ainda não temos recursos que facilitem calcular esta integral. Usaremos a definição e faremos uma escolha para os números x 0, x 1, x 2,..., x n e a 1, a 2,..., a n da seguinte forma: Dado n N tomemos

6 Propriedades da integral definida *Se f(x) e g(x) são funções integráveis em [a, b] e k R então f(x) ± g(x) são integráveis em [a,b] e *k.f(x) é integrável em [a, b] e *Se f(x) g(x), para todo x [a, b] então *Se f(x) 0, para todo x [a, b] então

7 Definição 2: então 2.2) Se f(x) é integrável em [a, b] Propriedade i) Sejam a, b, e c R, se

8 Propriedade ii) O Teorema da Média Se f(x) é contínua em [a, b] então existe pelo menos um número c [a, b] tal que " Se f(x) 0, a área da região limitada pela curva y = f(x) e o eixo Ox é igual a área do retângulo de base [a, b] e altura f(c)" Definição 3 ( Valor médio): f(c) é o valor médio de f em [a, b].

9 Propriedade iii) Se f(x) é contínua em [a, b] então é uma primitiva de f(x). Isto é, F (x)= f(x). Prova: X f ( )d (, ) F( x + ε ε Z X X ) - F(x) X = = + λ λ λ λ LIM f ( Z) = LIM f ( Z) = f ( X ) λ 0 Z X + λ λf(z) λ

10 O Teorema fundamental do cálculo Se f(x) é contínua em [a, b] e F(x) é uma primitiva qualquer de f(x) então b a PROVA: X A X A f ( x ) dx = F( X ) = f( ε)dε = F( X) + C f( ε)dε = F( X)-F( A) A A b a X = B F(b) - F(a) f( ε)dε = F( A) + C C = -F( A)

11 EXEMPLOS

12 Proposição 1: Sejam J um intervalo e g: [a, b] J uma função com derivada contínua e f : J R uma função contínua. Então, Propriedade i) Se f(x) é uma função par e contínua em [-a, a] então

13 Propriedade ii) Se f(x) é uma função ímpar e contínua em [-a, a] então Propriedade iii) Se f(x) é uma função contínua em R e periódica de período T então para todo a Î R temos

14 Cálculo de áreas de figuras planas (coordenadas cartesianas) Observação 1: Dada f(x) uma função contínua em [a,b], se A é a área da região do plano cartesiano limitada pelo eixo Ox e pela curva y = f(x) e tal que a x b então

15 Observação 2: Dadas f e g funções contínuas em [a,b], se A é a área da região do plano cartesiano limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e tal que a x b então Exemplo : Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas

16 Sólidos de Revolução Dados um plano α, um reta r desse plano e uma região R do plano α inteiramente contida num dos semi - plano de α determinado por r, vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r.. Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r). Seja R a região do plano limitada pela ciclóide e pela reta y = -1. Determinar uma expressão em integrais que represente o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX.

17 Método do Anel Seja a função y = y(x) tal que seu gráfico é a ciclóide. Para cada cada x [-4π, 0] a seção transversal ao eixo OX é um anel circular de raio interno igual a 1 e raio externo igual a y (veja figura abaixo). Logo possui área igual a A = π.y 2 - π 1 2 = π.y 2 - π e o volume do sólido é igual a

18 Área de um setor circular A área de um setor circular de raio r e ângulo central é igual a θ

19 Área de região em coordenadas polares Proposição : Seja a equação polar de uma curva dada pela função contínua r = r(θ) para α θ β tal que β - α 2π e r 0. A área da região do plano limitada pelas retas de equações polares θ = α e θ = β e a curva r = r(θ ) é igual a.

20 Para todo θ tal que α θ β, seja A(θ ) a área como indicada na figura abaixo. Vamos calcular Para θ> 0, tomando-se no intervalo [ θ, θ + θ], r M e r m o maior e o menor raio, as áreas dos setores circulares com ângulo central θe esses raios são

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22 Exemplo: Calcular a área limitada pela cardióide r (θ ) = a.(1 cos(θ )) Observação: São equações de cardióides: r (θ ) = a.(1 ± cos(θ )) e r (θ ) = a.(1 ± sen(θ )

23 Exemplo : Determine uma expressão em integrais que represente a área da região do plano interior a ambas as curvas de equações polares r =1 + cos( θ ) e r = 3cos( θ ) r = 1 + cos( θ ) é equação de uma cardióide e r = 3cos( θ ) é equação de um círculo. Obtendo a interseção das duas curvas : 3cos( θ ) = 1 + cos( θ ) cos( θ ) = 1/2 θ= ± π /3 + 2kπ