MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III 2a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de 2014

Transcrição

1 MAT455 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III a. Lista de Exercícios - 1o. semestre de Calcule as seguintes integrais de linha ao longo da curva indicada: x ds, (t) = (t 3, t), 0 t 1. Resp. ( )/54. xy 4 ds, é a semi-circunferência x + y = 16, x 0. Resp. 1638, 4. (c) (x y ) dy, é o arco da parábola y = x de (, 4) a (1, 1). Resp. 48. (d) (e) (f) xy dx + (x y) dy, consiste dos segmentos de reta de (0, 0) a (, 0) e de (, 0) a (3, ). Resp xyz ds, : x = t, y = 3 sen t, z = 3 cos t, 0 t π/. Resp. 9 13π/4. xy z ds, é o segmento de reta de (1, 0, 1) a (0, 3, 6). Resp Calcule o comprimento das curvas (t) = (a(t sen t), a(1 cos t)), onde 0 t π e a > 0. Resp. 8a. (t) = (t cos t, t sen t, t), onde 0 t. Resp ln( + 1). (c) (t) = (t, 3t, 3t ), onde 0 t. Resp Determine a massa de um arame cujo formato é o da curva (t) = (t, t, t ), onde 0 t 1, e a densidade de massa em cada ponto é δ(x, y, z) = x. Resp Um cabo delgado é dobrado na forma de um semi-círculo x + y = 4, x 0. Se a densidade é δ(x, y) = x, determine a massa e o centro de massa do cabo. Resp. 4π, ( 16 3π, 0). (c) Determine a massa e o centro de massa de um fio no espaço com o formato da hélice x = sen t, y = cos t, z = 3t, 0 t π, se a densidade é uma constante k. Resp. 13kπ, (0, 0, 3π). 4. Se um cabo com densidade linear δ(x, y, z) tem o formato de uma curva do espaço, seus momentos de inércia I x, I y e I z, em relação aos eixos x, y e z, respectivamente, são definidos por I x = (y + z )δ(x, y, z) ds; I y = (x + z )δ(x, y, z) ds; I z = (x + y )δ(x, y, z) ds. Determine os momentos de inércia do cabo do Exercício anterior. 5. Calcule F d r, onde F (x, y, z) = (x + y) i 7yz j + xz k e é a curva ligando o ponto (0, 0, 0) a (1, 1, 1) nos seguintes casos: (t) = (t, t, t 3 ). Resp é composta dos segmentos de reta de (0, 0, 0) a (1, 0, 0), depois a (1, 1, 0) e depois a (1, 1, 1). Resp Calcule F d r para F (x, y) = y i + (x + y ) j, onde é o arco de circunferência (x) = (x, 4 x ), ligando (, 0) a (, 0). Resp. π. 1

2 F (x, y, z) = (x + y) i + (x y) j, onde é a elipse de equação x + y = 1, percorrida uma vez em sentido a b anti-horário. Resp. πab. (c) x 3 y z dz, é dada por x = t, y = t, z = t, 0 t 1. Resp (d) z dx z dy + y dz, consiste dos segmentos de reta de (0, 0, 0) a (0, 1, 1), de (0, 1, 1) a (1,, 3) e de (1,, 3) a (1,, 4). Resp Calcule x dx + (y + x) dy + z dz, sendo a intersecção das superfícies z = x + y e z = x + y 1, orientada de modo que sua projeção no plano Oxy é percorrida uma vez no sentido horário. Resp. π. (y + 1) dx + z dy + x dz, sendo a intersecção das superfícies x + 4y = 1 e x + z = 1, com y 0, z 0, percorrida uma vez do ponto (1, 0, 0) ao ponto ( 1, 0, 0). Resp.. (c) y dx + z dy + x dz, sendo a intersecção das superfícies x + y = e x + y + z = (x + y), orientada de modo que sua projeção no plano Oxz seja percorrida uma vez no sentido horário. Resp. π. (d) x dx + (y + x) dy + z dz, sendo a intersecção das superfícies z = xy e x + y = 1, orientada de modo que sua projeção no plano Oxy seja percorrida uma vez no sentido horário. Resp. 0. (e) x dx + x dy + z dz, sendo a intersecção das superfícies z = x 9 e z = 1 y 4, orientada de modo que sua projeção no plano Oxy seja percorrida uma vez no sentido anti horário. Resp. 6π (f) y dx + 3z dy, sendo a intersecção das superfícies z = x + y e z = x + 4y, orientada de modo que sua projeção no plano Oxy seja percorrida uma vez no sentido anti horário. Resp. 10π. (g) z dy x dz, sendo a intersecção do elipsóide x 6 + y 4 + z 6 = 4 3 com o plano x + z =, orientada de modo que sua projeção no plano Oxy seja percorrida uma vez no sentido anti-horário. Resp. π Calcule x dx + (z y ) dz, onde é o arco circular dado por x = 0, y + z = 4, de (0,, 0) a (0, 0, ). Resp. 8. (x + y) dx (x y) dy x + y, onde é a circunferência x + y = a, percorrida uma vez no sentido horário. Resp. π. (c) y dx + x dy, sendo a fronteira da região limitada por x = 0, y = 1 e y = x, percorrida uma vez no sentido horário. Resp Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F (x, y) = x i + (y + ) j ao mover um ponto ao longo da ciclóide r(t) = (t sen t) i + (1 cos t) j, 0 t π. Resp. π. 10. Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha: x y dx + xy 3 dy, onde é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1), orientado positivamente. Resp. 1/1.

3 (x + y) dx + (x y) dy, onde consiste do arco da parábola y = x de (0, 0) a (1, 1) e do segmento de reta de (1, 1) a (0, 0), orientada positivamente. Resp. 1/6. (c) (y + e x ) dx + (x + cos y ) dy, onde é a fronteira da região limitada pelas parábolas y = x e x = y percorrida no sentido anti-horário. Resp. 1/3. (d) x dx + y dy, é a curva x 6 + y 6 = 1, sentido anti-horário. Resp. 0. (e) xy dx + x dy, consiste do segmento de reta unindo (, 0) a (, 0) e da semi-circunferência x + y = 4, y 0, orientada positivamente. Resp. 0. (f) xy dx + x dy, é a cardióide ρ = 1 + cos θ orientada positivamente. Resp. 0. (g) (xy + e x ) dx + (x ln(1 + y)) dy, consiste do segmento de reta de (0, 0) a (π, 0) e do arco da curva y = sen x, orientada positivamente. Resp. π. (h) F d r, onde F (x, y) = (y x y) i + xy j e consiste do arco de circunferência x + y = 4 de (, 0) a (, ), e dos segmentos de reta de (, ( ) ) a (0, 0) e de (0, 0) a (, 0). Resp. π Seja D uma região limitada de IR com D e D satisfazendo as hipóteses do Teorema de Green. Mostre que a área de D é Área(D) = x dy = y dx. Usando calcule a área de (i) D = {(x, y) IR : x a + y b 1}; (ii) D = {(x, y) IR : x /3 + y /3 a /3 }. D (c) Determine a área da região limitada pela hipociclóide dada por r(t) = cos 3 t i + sen 3 t j, 0 t π. Resp. 3π Área de um polígono irregular. Se é o segmento de reta ligando o ponto (x 1, y 1 ) ao ponto (x, y ), mostre que x dy y dx = x 1 y x y 1. No sentido anti-horário, os vértices de um polígono são (x 1, y 1 ), (x, y ),..., (x N, y N ). Mostre que sua área é dada por A = 1 [(x 1y x y 1 ) + (x y 3 x 3 y ) (x N 1 y N x N y N 1 ) + (x N y 1 x 1 y N )]. (c) Determine a área do pentágono de vértices (0, 0), (, 1), (1, 3), (0, ) e ( 1, 1). Resp Calcule x (5ydx + 7xdy) + e y dy, sendo a elipse 16x + 5y = 100, percorrida de (0, ) a (0, ) com x 0. D Resp. e 1 e + 15 π. 3

4 (xe y x y y3 3 ) dx + (x e y + sen y) dy, sendo a circunferência x + y x = 0, percorrida de (0, 0) a (, 0) com y 0. Resp. 4 3π 4. (c) vdr, sendo a fronteira do retângulo [1, ] [ 1, 1] e v(x, y) = arctg( y x ) i+ ( ln(x + y ) + x ) j, percorrida no sentido anti-horário. 14. Calcule arctg( y x ) e arctg( x y ). Resp. 4. Mostre que se f 1, f, f 3 : IR IR são funções de classe C 1 e F = (f 1 (x), f (y), f 3 (z)), então F é conservativo. 15. Calcule y dx + x dy x + y, onde é a fronteira da região limitada pelas curvas y = (x + ) e x = a, com a > 0, orientada no sentido horário; Resp. π. x dx + y dy x + y, onde é a curva y = x + 1, 1 x, percorrida do ponto ( 1, ) a (, 5). (c) y dx (x 1) dy (x 1) + y, onde é a circunferência x + y = 4, orientada no sentido horário. Resp. 1 ln 9 5. Resp. π. x y dx x 3 dy (d) (x + y ), onde é a fronteira da região R = {(x, y) IR : x 1, y 1}, orientada no sentido horário. Resp. π. 16. Verifique que a integral x sen y dx + (x cos y 3y ) dy, onde é uma curva ligando ( 1, 0) a (5, 1), é independente do caminho e calcule o seu valor. Resp. 5 sen Sejam as curvas 1 a circunferência x + y = 1 16 percorrida no sentido anti-horário, a circunferência x + y = 4, percorrida no sentido anti-horário e 3 a curva formada pela união das três seguintes circunferências: (x 1) + y = 1 9, (x + 1) + y = 1 9, ambas percorridas no sentido horário e x + y = 1 9 percorrida no sentido anti-horário. Se I k = P dx + Q dy onde k [ ] 1 P (x, y) = y (x 1) + y + 1 x + y + 1 (x + 1) + y então calcule I 1, I e I 3. Q(x, y) = x 1 (x 1) + y + x x + y + x + 1 (x + 1) + y Resp. I 1 = π; I = 6π; I 3 = π. 18. Seja uma curva plana simples, fechada e lisa por partes, percorrida uma vez no sentido horário. Dê todos os valores possíveis para y dx + x dy y dx + x dy x + y. 4x + 9y. Resp. 0 ou π; 0 ou π 3. 4

5 19. Determine todos os valores possíveis da integral sobre um caminho que não passe pela origem. (,) (1,0) y dx + x dy x + y 0. Considere o campo F (x, y) = cxy i + x 6 y j, c > 0, atuando sobre uma partícula que se move do ponto (0, 0) até a reta x = 1 sobre a curva, gráfico da função y = ax b, com a > 0 e b > 0. Determine um valor de c em termos de a e de b para que o trabalho realizado por F seja nulo. Resp. c = a b/3. 1. Calcule F d r onde ( y x ) F = + y, + 3x se x + y 9 x + y 9 é a curva (x 1) + (y ) = 4, percorrida uma vez no sentido horário. Resp. 8π. é a curva (x 1) + y = 4, percorrida uma vez no sentido horário. Resp. 14π.. Um campo de vetores F em IR se diz radial (ou central) se existe uma função g : IR IR tal que F (x, y) = g( r ) r, onde r = x i + y j. Suponha que g é de classe C 1. Mostre que F é conservativo. 3. Em cada item abaixo, determine se F é ou não um campo gradiente no domínio indicado D. Em caso afirmativo, determine um potencial de F. F (x, y) = x i + x j, D = IR ; Resp. Não. F (x, y) = (xe y + y) i + (x e y + x y) j, D = IR ; Resp. φ(x, y) = x e y + xy y. (c) F (x, y, z) = (x + 8xy ) i + (3x 3 y 3xy) j (4z y + x 3 z) k, D = IR 3 ; (d) F (x, y, z) = (x + z) i (y + z) j + (x y) k, D = IR 3 ; Resp. Não. Resp. φ(x, y, z) = x y + xz yz. (e) F (x, y, z) = (y cos x + z 3 ) i + (y sen x 4) j + (3xz + ) k, D = IR 3 ; Resp. φ(x, y, z) = y sen x + xz 3 4y + z. (f) F (x, y, z) = y i + x j x + y, D = IR {(0, 0)}; (g) F (x, y, z) = y i + x j x + y, D = IR {(x, 0) : x 0}; Resp. Não. Resp. φ(x, y) = arctg y x. (h) F (x, y, z) = x i + y j x + y, D = IR {(0, 0)}; Resp. φ(x, y) = 1 ln(x + y ). 4. Prove que o trabalho realizado pelo campo F (x, y) = x i + xy j é nulo ao longo de qualquer circunferência com centro no eixo das abscissas. Pode-se concluir que F é conservativo? 5. Calcule ( xy + x )dx + 8 y 7 dy, onde é o gráfico de y = cos x, no intervalo π x π, percorrido no sentido de x crescente. Resp. ( ) π3 1. xy x dx + (y ln(x + 1))dy, onde é o arco da elipse 4x + y = 1 do ponto (0, 1) ao ponto ( 1 + 1, 0) percorrido ( no sentido ) anti-horário. ( ) Resp. 0. y x (c) x + y dx+ x + y + xy dy onde é a fronteira da região no plano determinada pelas desigualdades y x 1 e y x + 1, orientada no sentido anti horário. Resp. π

6 (d) (xy + sen(y))dx + x cos(y)dy + x dz onde é a intersecção das superfícies 3x + y + z = 1 e y = x, no 1 o octante e orientada de forma que a sua projeção no plano yz seja percorrida no sentido horário. ( ( 1 Resp. 1 6 sen 1 ) ) 1. y (e) x + y dx + x x dy onde é a circunferência de centro (0, 1) e raio 3, percorrida no sentido horário. + y O campo F é conservativo? Justifique sua resposta. Resp. π. 6. Seja o campo F (x, y) = x i + y j x + y e a curva dada por (t) = (et, sent) para 0 t π. Calcule F d r. Resp. π. 7. Calcule as integrais 7x 6 y dx + x 7 dy sendo (t) = (t, e t 1 ), onde t [0, 1]. Resp. 1. [ln(x + y ) y] dx + [y ln(x + y ) x] dy sendo a curva (x ) + y = 1 com y 0 orientada no sentido horário. Resp. 3 ln 3. y dx x dy (c) x + y sendo a curva dada por x(t) = cos 3 t e y(t) = sen 3 t com y 0 ligando os pontos (1, 0) e (0, 1), nessa ordem. Resp. π. 8. Mostre que as integrais abaixo independem do caminho e calcule-as. (a,b) (1,1) (a,b) (0,0) xy dx + (x y ) dy. Resp. a b b sen y dx + x cos y dy. Resp. a sen b. 9. Para cada campo F encontre uma curva fechada simples α, tal que concluir que os campos não são conservativos? F = (y + xy, 3y ). F = (e xy, e xy ). 30. Calcule (3,5,0) (1,1,) Resp. α F d r 0, exibindo os cálculos. Podemos yz dx + xz dy + xy dz. Resp.. sen(yz) dx + xz cos(yz) dy + xy cos(yz) dz, sendo a hélice x(t) = cos t, y(t) = sent, z(t) = t para t [0, π 4 ]. ( π ) sen Sejam um ponto A pertencente à esfera x + y + z = 1 e um ponto B pertencente à esfera x + y + z = 4. B x dx + y dy + z dz Calcule A x + y + z. Resp. ln. 3. Se n(x, y) é vetor unitário normal ao traço da curva em (x, y), calcule F n ds sendo F (x, y) = x 10 i + (3x 10x 9 y) j e a parte da circunferência x + y = 1 contida no primeiro quadrante, n normal exterior à circunferência. Resp F (x, y) = x 3 y 3 i 3x y 4 + j e (t) = (t 3, sen(4 arctan t )), t [0, 1], n j 0. 4 Resp. 1. 6