Lista de Exercícios de Cálculo Infinitesimal II

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1 Lista de Exercícios de Cálculo Infinitesimal II 10 de Setembro de 2003 Questão 1 Determine as representações explícitas em coordenadas polares das seguintes curvas: a) O círculo de raio a centrado em (a, 0). b) O círculo de raio a centrado em (0, a). c ) A parábola x = y 2. Questão 2 Determine as equações cartesiana das curvas abaixo: a) r = a sen θ. b) r = a cos 2 (θ/2). Questão 3 Determine a curvatura (em módulo) das curvas abaixo nos pontos indicados: a) Espiral de Arquimedes r = aθ em um ponto arbitrário. b) y = x 3 em um ponto arbitário. c ) xy = 12 em (3, 4). d) b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 nos pontos (0, b) e (a, 0). Questão 4 Determine a curvatura (com sinal) das curvas abaixo nos pontos indicados: a) r = a sen θ em um ponto arbitrário. a b) r = cos 2 (θ/2) em um ponto arbitrário. Questão 5 Determine a, b, c de modo que a parábola y = ax 2 +bx+c tenha, no ponto (π/2, 1), tangente e curvatura comuns com a senóide y = sen x. Questão 6 Determine a área que se encontra no interior da curva fechada dada explicitamente em coordenadas polares por r = a sen θ (0 θ 2π). Questão 7 Considere o arco de ciclóide dado por x(t) = a(t sen t) e y(t) = a(1 cos t) com t [0, 2π]. a) Determine o seu comprimento. b) Determine a área da região compreendida entre ele e o eixo x. Questão 8 Determine o comprimento e a curvatura da curva dada parametricamente por t cos u x(t) = du, 0 u t [1, + ). t sen u y(t) = du, u 0 1

2 Questão 9 Seja σ(s) = (x(s), y(s)) a parametrização pelo comprimento de arco de uma curva. Mostre que T (s) = N (s), onde T (s) é o vetor tangente e N(s) é o vetor normal à curva. Conclua que K(s) = N (s) (K(s) é a curvatura). Questão 10 Calcule a área no interior do círculo r(θ) = 6a cos θ e exterior à cardióide r(θ) = 2a(1 + cos θ). Questão 11 Considere a tangente à astroide σ(t) = a(cos 3 t, sen 3 t) num ponto P no primeiro quadrante. Mostre que o segmento sobre esta tangente que se encontra no interior do primeiro quadrande tem comprimento constante (independente do ponto P ). Lembramos as diversas fórmulas para o cálculo da curvatura de uma curva. 1. Quando (x(t), y(t)) é uma parametrização qualquer para a curva: K(t) = y (t)x (t) x (t)y (t) ( x (t) 2 + y (t) 2). 3/2 2. Quando (x(s), y(s)) é a parametrização da curva pelo comprimento de arco: K(s) = y (s)x (s) x (s)y (s) = y (s) x (s) = (s) x y (s). Temos ainda que K(s) = T (s). 3. Quando y = f(x) é a representação explícita da curva: K(x) = f (x) ( 1 + f (x) 2) 3/2. 4. Quando r = ρ(θ) é a representação explícita da curva em coordenadas polares: K(θ) = ρ(θ)2 + 2ρ (θ) 2 ρ(θ)ρ (θ) ( ρ(θ)2 + ρ (θ) 2). 3/2 2

3 Primeiro Teste de Cálculo Infinitesimal II 22 de Setembro de 2003 Questão 1 [2 pontos] Esboce a curva dada parametricamente por σ(t) = (t 3, t 5 ) ( t R). Mostre que esta parametrização não define o vetor tangente na origem. Determine outra parametrização φ(t) para a mesma curva que defina o vetor tangente em todo ponto. Questão 2 [2 pontos] Sejam (x 0, y 0 ) R 2 e V : [0, + ) R 2 contínua. Mostre que existe uma única curva σ : [0, + ) R 2 tal que σ(0) = (x 0, y 0 ) e σ (t) = V (t). Questão 3 [2 pontos] Seja σ : R R 3 derivável. Mostre que se σ(t) é constante, então σ(t), σ (t) = 0. Questão 4 [2 pontos] Mostre que sen(x 2 y) lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 = 0. Sugestão: Mostre que x 2 y (x 2 + y 2 ) y. crescente numa vizinhança de t = 0. Lembre-se também que sen t é Questão 5 [2 pontos] Enrola-se um pedaço de arame em torno de um cilindro circular de raio 3 cm e altura 20 cm de modo a formar uma hélice. Determine o comprimento do arame sabendo que ele dá seis voltas completas. 20 cm PSfrag replacements 6 cm 20 cm PSfrag replacements 6 cm

4 Segundo Teste de Cálculo Infinitesimal II 10 de Outubro de 2003 Questão 1 [6 pontos] Determine os pontos críticos de cada uma das funções abaixo, classificando-os por meio do teste da segunda derivada. a) f(x, y) = x 2 + y 3 6xy. b) g(x, y) = x 2 y + 3xy 3x 2 4x + 2y. c ) h(x, y) = 3xy 2 + y 2 3x 6y + 7. Questão 2 [4 pontos] Seja F = {(x, y) R 2 x 2 + xy + y 2 1/2}. a) Mostre que se (x, y) F, então x 2 + y 2 + (x + y) 2 1. Conclua que F é limitado e fechado e portanto é compacto. b) Mostre que existe algum ponto de F que está mais afastado de (1, 1) que qualquer outro ponto de F. Mostre ainda que existe algum ponto de F que está mais próximo de (1, 1) que qualquer outro ponto de F. c ) Determine o ponto de F que está mais afastado e o que está mais próximo de (1, 1).

5 Primeira Prova de Cálculo Infinitesimal II 20 de Outubro de 2003 Questão 1 [2,5 pontos] Determine uma parametrização para a curva formada pela interseção do cilindro { (x, y, z) R 3 x 2 + (y 1) 2 = 1 } com a semi-espera { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 4, z 0 }. z x 2 + (y 1) 2 = 1 PSfrag replacements x 2 + y 2 + z 2 = 4 y x Questão 2 [2,5 pontos] Determine a distância entre as retas de R 3 parametrizadas por σ(t) = (t, t, t) e ϕ(t) = (t + 1, 2t, t). Questão 3 [2,5 pontos] Considere uma curva σ(s) = ( x(s), y(s) ) parametrizada pelo comprimento de arco. Suponhamos que x (s) não se anula em nenhum ponto e que a curvatura k(s) = y (s)x (s) x (s)y (s) é nula em todo ponto. Mostre que σ é uma reta. Sugestão: Mostre que y (s)/x (s) é constante. Questão 4 [2,5 pontos] Sejam a, b > 0. Mostre que se x 4 + y 4 = 1, então (a, b) (x, y) ( a 4/3 + b 4/3) 3/4

6 Terceiro Teste de Cálculo Infinitesimal II 24 de Novembro de 2003 Questão 1 [2 pontos] Em que pontos as seguintes funções são descontínuas? a) f(x, y) = 1 x y 2 ; b) f(u, v) = (3u 4v, u + 8v); x + y se x 0, sen x c ) f(x, y) = d) f(x, y) = 1 + y se x = 0. x 2 y 2 x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0). Questão 2 [2 pontos] Sejam y 0 R n e f : R n R n dada por f(x) = x + y 0 para todo x R n. Mostre que f é derivável e que Df(x) é a matriz identidade para qualquer x R n. Questão 3 [2 pontos] Mostre que a função definida por x 2 sen 1 se x 0, f(x) = x 0 se x = 0, é diferenciável para todo x mas não é continuamente diferenciável em x = 0. Questão 4 [2 pontos] Sendo dadas f(x, y) = (x 2 +xy +1, y 2 +2) e g(u, v) = (u + v, 2u, v 2 ), determine a derivada da composta g f em x = (1, 1). Questão 5 [2 pontos] Seja u = f(x, y). Faça a mudança de variáveis x = r cos θ, y = r sen θ. Sendo dados f x = x2 + 2xy y 2 calcule f θ, quando r = 2 e θ = π 2. e f y = x2 2xy + 2,

7 Segunda Prova de Cálculo Infinitesimal II 15 de Dezembro de 2003 Questão 1 [2 pontos] Seja F (x, y) = 3x 2 y 2x y ey 1. Mostre que a equação F (x, y) = 0 define y implicitamente como função de x numa vizinhança de (1, 1). Questão 2 [2 pontos] Seja f(x, y) = (x 2 y 2, 2xy). a) Mostre que, para todo x 0, exceto x 0 = (0, 0), a restrição de f a algum conjunto aberto contendo x 0 tem uma inversa. b) Mostre que, se não restringirmos o domínio, f não tem inversa. c ) Se f 1 é a inversa de f numa vizinhança do ponto (1, 2), calcule a transformação afim que aproxima f 1 numa vizinhança de f(1, 2) = ( 3, 4). Questão 3 [2 pontos] Sejam u, v : R n R diferenciáveis. Mostre que ( u ) v u u v = v v 2. Questão 4 [2 pontos] Seja f : R 2003 R 2003 de funções coordenadas f 1,..., f 2003 dadas por f 1 (x 1,..., x 2003 ) = x 2 2x 1 ; f i (x 1,..., x 2003 ) = x i+1 2x i + x i 1 i = 2,..., 2002; f 2003 (x 1,..., x 2003 ) = 2x x Diga se f é derivável, e em caso afirmativo, determine Df(x). Questão 5 [2 pontos] Sejam f : R R 2 e F : R R 2 R 2 dada por F (x, y) = (xy 1 + x 2 y 2, xy 1 y 2 ), onde y = (y 1, y 2 ). Sabendo que f é derivável, f(1) = (0, 1) e que determine f (1). F (x, f(x)) = (x, x 2 1) x R,

8 Prova final de Cálculo Infinitesimal II 19 de Dezembro de 2003 Questão 1 [2 pontos] Uma curva, chamada de Bruxa de Maria Agnesi, consiste em todos os pontos P determinados como mostrado na figura. Mostre que equações paramétricas para essa curva podem ser escritas como x = Esboce a curva. PSfrag replacementsy = 2a 2a tan θ, y = 2a sen2 θ. y a P θ x Questão 2 [2 pontos] Determine os pontos críticos de f(x, y) = x sen y classificando-os (máximo, mínimo ou sela; local ou global). Questão 3 [2 pontos] Considere o ponto P = (2, 3, 4) e a esfera S de raio 3 centrada em (0, 0, 0). a) Determine, usando o Teorema de Multiplicadores de Lagrange, o ponto de S mais próximo de P. b) Idem ao exercício anterior mas sem usar o Teorema de Multiplicadores de Lagrange. Questão 4 [2 pontos] Enuncie o Teorema da Função Inversa. Questão 5 [2 pontos] Suponhamos que a função T definida por (u, v) = T (x, y) = ( f(x, y), g(x, y) ) tem uma função inversa diferenciável S definida por (x, y) = S(u, v) = ( h(u, v), k(u, v) ) ( ). Sabendo que f(1, 2) = 3, g(1, 2) = 4 e 3 5 DT (1, 2) =, calcule h (3, 4). 4 7 v