INTEGRAIS MÚLTIPLAS. [a, b] e [c, d], respectivamente. O conjunto P = {(x i, y j ) i = 0,..., n, j = i=1

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1 Teoria INTEGRAIS MÚLTIPLAS Integral Dupla: Seja o retângulo R = {(x, y) R a x b, c y d} e a = x 0 < x 1 <... < x n = b, c = y 0 < y 1 <... < y m = d partições de [a, b] e [c, d], respectivamente. O conjunto P = {(x i, y j ) i = 0,..., n, j = 0,..., m} denomina-se partição do retângulo R. Toda partição P produz retângulos R ij. Seja X ij um ponto escolhido arbitrariamente no retângulo R ij. A integral dupla (segundo Riemann) de uma função f sobre uma região qualquer é o limite f(x, y)dxdy = lim 0 n i=1 m j=1 f(x ij) x i y j onde f(x ij ) = 0 se X ij é um ponto escolhido fora de e é o maior dos números x i, y j. Seja f(x, y) 0 em. Seja o conjunto A = {(x, y, z) R (x, y), 0 z f(x, y)}. Definimos o volume de A por V = f(x, y)dxdy. Definimos a área de um conjunto por dxdy. Sejam f e g integráveis em e seja k uma constante. Nestas condições, tem-se: 1. [f(x, y) + g(x, y)]dxdy = f(x, y)dxdy + g(x, y)dxdy. kf(x, y)dxdy = k f(x, y)dxdy. f(x, y) 0 f(x, y)dxdy f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + 1 f(x, y)dxdy, desde que 1 tenha conteúdo nulo. (Teorema de Fubini) Seja f(x, y) integrável no retângulo R = {(x, y) R a x b, c y d}. Então R f(x, y)dxdy = d c [ b a f(x, y)dx]dy = b 1 [ d a c f(x, y)dy]dx.

2 Sejam c(x) e d(x) duas funções contínuas em [a, b] e tais que, para todo x [a, b], c(x) d(x). Seja o conjunto de todos (x, y) tais que a x b e c(x) y d(x). Nestas condições, se f(x, y) for contínua em, então f(x, y)dxdy = b [ d(x) a c(x) f(x, y)dy]dx. Sejam a(y) e b(y) duas funções contínuas em [c, d] e tais que, para todo y [c, d], a(y) b(y). Seja o conjunto de todos (x, y) tais que c y d e a(y) x b(y). Nestas condições, se f(x, y) for contínua em, então f(x, y)dxdy = d Mudança de Variáveis: c [ b(y) a(y) f(x, y)dx]dy. Seja ϕ : Ω R R, Ω aberto, com derivadas contínuas, sendo ϕ dada por (x, y) = ϕ(u, v), com x = x(u, v) e y = y(u, v). Seja uv Ω, uv compacto e com fronteira de conteúdo nulo. Seja = ϕ( uv ) e suponhamos que ϕ mapeia o interior de uv no interior de. Suponhamos, ainda, que ϕ seja inversível no interior de uv e que (x, y) o jacobiano da transformação seja não nulo. Nestas condições, (u, v) se f(x, y) for integrável em, então f(x, y)dxdy = uv f(ϕ(u, v)) (x, y) (u, v) dudv. Cada ponto P = (x, y) fica determinado pelas suas coordenadas polares (ρ, θ), onde ρ é a distância entre P e a origem (pólo) O do sistema, e θ é o ângulo entre o vetor OP e o eixo polar, geralmente tomado como o semi-eixo positivo das abscissas. As coordenadas cartesianas (ou retangulares), denotadas por (x, y), se relacionam com as coordenadas polares (ρ, θ) mediante as relações x = ρ cos θ y = ρ sin θ

3 ou, equivalentemente, ρ = x + y O jacobiano (x, y) (ρ, θ) Integral Tripla: θ = arctan y x. da transformação acima é igual a ρ. Seja o paralelepípedo A = {(x, y, z) R a x a 1, b y b 1, c z z 1 } e a = x 0 < x 1 <... < x n = a 1, b = y 0 < y 1 <... < y m = b 1, c = z 0 < z 1 <... < z p = c 1 partições de [a, a 1 ], [b, b 1 ] e [c, c 1 ], respectivamente. O conjunto P = {(x i, y j, z k ) i = 0,..., n, j = 0,..., m, k = 0,..., p} denomina-se partição do paralelepípedo A. Toda partição P produz paralelepípedos A ijk. Seja X ijk um ponto escolhido arbitrariamente no paralelepípedo A ijk. A integral tripla de uma função f : R R, com limitado, é o limite f(x, y, z)dxdydz = lim 0 n i=1 m j=1 p k=1 f(x ijk) x i y j z k onde f(x ijk ) = 0 se X ijk não pertence a e é o maior dos números x i, y j, z k. Com as adaptações devidas, existem enunciados análogos do Teorema de Fubini para integrais triplas. Seja um subconjunto do R. Definimos o volume de por Mudança de Variáveis: V = dxdydz. Seja ϕ : Ω R R, Ω aberto, com derivadas contínuas, sendo ϕ dada por (x, y, z) = ϕ(u, v, w), com x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) e z = z(u, v, w). Seja uvw Ω, uvw compacto e com fronteira de conteúdo nulo. Seja = ϕ( uvw ) e suponhamos que ϕ mapeia o interior de uvw no interior de. Suponhamos, ainda, que ϕ seja inversível no interior (x, y, z) de uvw e que o jacobiano da transformação seja não nulo. (u, v, w) Nestas condições, se f(x, y, z) for integrável em, então

4 f(x, y, z)dxdydz = uvw f(ϕ(u, v, w)) (x, y, z) (u, v, w) dudvdw. Cada ponto P = (x, y, z) fica determinado pelas suas coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z), onde ρ é o comprimento do vetor OP 1 = (x, y, 0) e θ o ângulo entre esse vetor e o semi-eixo positivo Ox. As coordenadas cartesianas (x, y, z) se relacionam com as coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z) mediante as relações O jacobiano (x, y, z) (ρ, θ, z) x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z da transformação acima é igual a ρ. Cada ponto P = (x, y, z) fica determinado pelas suas coordenadas esféricas (ρ, θ, ϕ), onde θ é o ângulo entre o vetor OP 1 = (x, y, 0) e o semi-eixo positivo Ox, ρ o comprimento do vetor OP e ϕ o ângulo entre o vetor OP e o semi-eixo positivo Oz. As coordenadas cartesianas (x, y, z) se relacionam com as coordenadas esféricas (ρ, θ, ϕ) mediante as relações x = ρ sin ϕ cos θ O jacobiano y = ρ sin ϕ sin θ z = ρ cos ϕ (x, y, z) (θ, ρ, ϕ) da transformação acima é igual a ρ sin ϕ. Observação. Os conceitos e resultados apresentados aqui podem ser facilmente generalizados para funções de n variáveis reais. As integrais resultantes são chamadas de integrais múltiplas. 4

5 Exercícios Fixação: 1. Calcule kdxdy onde R é o retângulo a x b e c y d. R. Calcule (x + y)dxdy, onde R é o retângulo 1 x, 0 R y 1.. Calcule: (a) xy dxdy (b) xy dydx 4. Calcule o volume do conjunto de todos (x, y, z) tais que 0 x 1, 0 y 1 e 0 z x + y. 5. Calcule xydxdy, onde é o conjunto de todos (x, y) tais que 0 x 1, 0 y x. 6. Calcule (x y)dxdy, onde é o semicírculo x +y 1, x Calcule o volume do conjunto de todos (x, y, z) tais que x 0, y 0, x + y 1 e 0 z 1 x. 8. Calcule xydxdy, onde é o triângulo de vértices ( 1, 0), (0, 1) e (1, 0). 9. Inverta a ordem de integração e calcule 1 [ 1 y sin x dx]dy Utilizando integral dupla, calcule a área da região compreendida entre os gráficos das funções y = x e y = x + x + 1, com 1 x Calcule cos(x y) dxdy, onde é o trapézio 1 x + y sin(x + y), x 0, y Calcule sin(x + y )dxdy onde é o semicírculo x + y 1, y Calcule x dxdy onde é o conjunto x + 4y Calcule. e y x (a) dxdy onde é o conjunto de todos (x, y) tais que y x 1 + x y + x, y x + x e x 0. 5

6 (b) xydxdy onde é a região no primeiro quadrante delimitada pelas retas y = x e y = x, e pelas hipérboles xy = 1 e xy =. (use x = u v e y = v) 15. Calcule xdxdydz, onde é o conjunto de todos os (x, y, z) tais que 0 x 1, 0 y x e 0 z x + y. 16. Calcule o volume do conjunto de todos (x, y, z) tais que x + y z x y. 17. Calcule o volume do conjunto de todos (x, y, z) que estão acima do cone z = x + y e abaixo da esfera x + y + z = z. 18. Sendo o cubo de aresta 1, calcule: (a) xyzdxdydz (b) (x + y + z)dxdydz 19. Calcule sin(x + y z) dxdydz, onde é o paralelepípedo x + y + z 1 x + y + z, 0 x + y z π 4, 0 z Calcule z z. Aplicação: zdxdydz onde é o elipsoide (x 1) 4 (y 1) Uma piscina tem formato circular com um diâmetro de 1m. A profundidade é dada pela função f(x, y) = 1 8 y + 9. Encontre o volume de água na piscina.. Carga elétrica está distribuída sobre uma placa retangular, descrita por 1 x, 0 y, de modo que a densidade de carga na superfície da placa é σ(x, y) = xy + y (medida em coulombs por metro quadrado). Encontre a carga total na placa.. Ao estudar a proliferação de uma epidemia, assumimos que a probabilidade de um indivíduo infectado contaminar outro indivíduo é uma função da distância entre eles. Considere uma cidade circular D de raio 10 milhas na qual a população pode ser considerada uniformemente distribuída. Assuma que a exposição E de um indivíduo não infectado em um ponto fixo A(x 0, y 0 ) isto é, o 6

7 número de infecções da pessoa em A devido a todas as pessoas infectadas da cidade é dada pela integral dupla [ ] (x x0 ) E = 1 + (y y 0 ) dxdy. 0 D Determine a exposição de uma pessoa que mora no centro da cidade. 7

8 Respostas Fixação: 1. k(b a)(d c).. (a) 4 (b) cos(1) π 1. (1 cos 1) π (a) e e (b) ln π π (a) 1 8 8

9 (b) ( ) ln 0. 8π Aplicação: π m de água. 64. coulombs.. Aproximadamente 09 possibilidades de infecção. 9