Universidade Federal da Bahia

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1 Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática DISCIPLINA: MATA0 - CÁLCULO B UNIDADE I - LISTA DE EXERCÍCIOS Atualizada 00. Áreas de figuras planas em coordenadas cartesianas [] Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: (.) = ln, = e o eio O (.) = 8 +, =, = e = 0 (.) = 4 e + = (.4) =, =, = 0 e = (.) =, = e = (.6) = 4 e = (.7) = e = (.8) = 9, = 9 e = (.9) f() = e g() = (.0) = e = 6 Volumes por seções planas paralelas [] Utilizando seções planas paralelas, mostre que o volume de uma pirâmide quadrangular reta, com altura h e base quadrada de lado a, é igual a a h. [] Utilizando integral de seções planas paralelas, mostre que o volume do cone circular reto, de altura h e raio da base r, é igual a πr h. [4] Calcule o volume do sólido que tem para base um círculo cujo raio mede u. c. e cujas seções transversais a um diâmetro desta são quadrados, todos contidos em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm como um dos lados cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro. [] Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio r e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são triângulos retângulos isósceles, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm como um dos seus catetos cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro. [6] Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio r e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são semi-elipses, todas situadas em um mesmo

2 semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm o eio menor como cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro e a medida do eio maior igual ao dobro da medida do eio menor. (Considere a área da elipse de semi-eios maior e menor a e b, respectivamente, igual a πab ). [7] Calcule o volume de um sólido que tem para base uma elipse de semi-eios medindo cm e cm e cujas seções transversais ao eio maior são triângulos eqüiláteros, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem. [8] Calcule o volume de um sólido que tem para base uma elipse de semi-eio maior e menor a e b, respectivamente, e cujas seções transversais ao eio maior são semi-círculos, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e tendo para diâmetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eio maior. (Observe que esse volume é menor do que o volume do item anterior). [9] Calcule uma epressão, em integrais, que represente o volume do sólido que tem para base a região do plano limitada pela parábola P : = e a reta r : = + e cujas seções transversais ao eio O são triângulos retângulos isósceles, todos situados em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e tais que as hipotenusas têm etremidades no contorno da base desse sólido e são perpendiculares ao eio O. Volumes de sólidos de revolução [0] Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da função f() = e + e, com [, ], e a reta = 0, em torno do eio O. [] Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse E : 9 + = 9 em torno do: (.) Eio maior (.) Eio menor. [] Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de: (.) = ( )( ) e o eio, ao redor do eio O (.) =, = 8 e o eio, ao redor do eio O (.) = e =, ao redor da reta = 6 (.4) = ( ) e =, ao redor da reta =

3 (.) = sen, para 0 π, ao redor do eio O Centróides de Regiões Planas em coordenadas cartesianas e o Segundo Teorema do Pappos-Guldin [] Determine a posição do centróide das seguintes figuras e o volume do sólidos gerados pela rotação das mesmas em torno da reta indicada abaio de cada figura: (.) 8 (.) reta: = 0 reta: + 4 = 0 (.4) (.) reta: 7 = 0 reta: 4 = 0 [4] Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada: (4.) Região no primeiro quadrante, delimitada pela elipse a + =, ( 0, 0) b (4.) Área delimitada pela curva = 4 4 e o eio (4.) Área delimitada pela parábola = a e pela reta = a. [] Seja R a região do plano limitado pelas curvas = e = +.

4 (.) Esboce R e calcule a sua área. (.) Calcule o centróide de R. (.) A região R é girado em torno da reta = formando um sólido D. Calcule o volume de D, usando o teorema de Pappus-Guldin. [6] Seja R a região do plano limitado pelas curvas = + 6 e + = 0. (6.) Esboce R e calcule a sua área. (6.) Calcule o centróide de R. (6.) A região R é girado em torno da reta + = 0 formando um sólido D. Calcule o volume de D, usando o teorema de Pappus-Guldin. Comprimento de arco em coordenadas cartesianas e Áreas de Superfícies de Revolução [7] Determinar o comprimento das curvas dadas em coordenadas retangulares: (7.) = ln ( ) de = 4 a = 4. (7.) = de = a =. 8 (7.) = ln ( sen ) de = π 6 a = π 4. (7.4) ( ) = ( + ) de = 0 a =. (7.) = e + e de = 0 a =. (7.6) = + 4 [8] Calcule a área da supefície obtida pela rotação da curva: (8.), ao redor do eio O. (8.) =, ao redor do eio O. (8.) = e, 0 ao redor do eio O. (8.4) =, 4 9 ao redor do eio O. (8.) = 4, 0, ao redor do eio O. de = a =. Curvas na forma paramétricas [9] Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando t nas equações, achar as equações na forma cartesiana: (9.) = t = t (9.) = t 4t = t (9.) = e t = t + t (9.4) = t = t,t 0. 4

5 Derivadas de Funções dadas na forma paramétrica [0] Calcule as epressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados: (0.) = sen t = sen t, t å π, π è, d d, no ponto t = π 6 (0.) = 6t( + t ) = 6t ( + t ), 0 t, d d, no ponto de abscissa (0.) = t + sen ( π t) = t + ln t, t > 0, d, no ponto t = 8 d [] Calcule d nos seguintes casos: d (.) = sen t = sen t,t å π, π è (.) = e t = e t [] Verifique se: (.) (.) = sec (t) = ln ( cos t) = arcsen(t) = t,t è π, π å, satisfaz a equação d d + e d d = 0,t [, ], satisfaz a equação sen d d - d d = 0 [] Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da curva C, no ponto de abscissa 0 =, sendo C, definida parametricamente pelas equações 4 = cos t = sen t, t [0,π]. [4] Determine as equações das retas tangentes e normal ao gráfico da curva C, no ponto com t =, sendo C, definida parametricamente pelas equações = t = t + arctg(t).

6 Áreas de regiões planas dadas por funções na forma paramétrica [] Determine a área limitada: (.) pelo eio O, =, = e e a curva de equações paramétricas = e t = + t e (.) pelas curvas de equações = e = t + = t + t (.) pelo laço de curva = t t = t (.4) pelo laço de curva = t = t t 6

7 [6] Seja R a região do plano acima da reta = e abaio do arco da ciclóide de equações (t) = (t sen t) (t) = ( cos t), t [0, π]. Esboce R e calcule a sua área. Comprimento do arco de uma função na forma paramétrica [7] Calcule os comprimentos das curvas descritas abaio: (7.) = cos t = sen t, 0 t π (7.) = t = ln t, t (7.) = a cos t = a sen t, 0 t π, a > 0 (7.4) = t t = 0, 0 t (7.) [8] As equações = a(t sen t) = a( cos t) = 4t +, 0 t π (7.6) = e t sen t = e t cos t, 0 t π = t dão a posição (,) de uma partícula no instante t. Determine a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo 0 t. [9] Determine o comprimento de arco do laço de curva do eercício (.4). Área de superfície de rotação [0] Encontre a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eio indicado.

8 [] Respostas (.) [ln ]u.a (.) 46 å è u.a (.) 8ln u.a å (.4) 4 è å è å u.a (.) ln 4 + ln u.a (.6) (.7) 7u.a (.8) 8ln u.a (.9) 6 6 u.a (.0) 64 u.a [4] V = 44 u.v [] V = 8r [9] V = [] [] [] [4] [] [6] [7] ( + ) 4 [6] V = 4πr è u.a [7] V = 6 cm [8] V = πab d = 8 40 u.v [0] V = π(e4 + 4e ) 4e (.) V = 4π u.v (.) V = π u.v (.) V = 4π (.4) V = 7π 7 (.) (.) (4.) 4, 7 0, 4a π, 4b π (.) A = 8 u.v (.) V = 96π u.v (.) V = π u.v ; V = 64πu.v (.) u.v (.) V = 7π u.v u.v, 4 ; V = πu.v 4 0 π, ; V = π(4 π)u.v (0 π) a (4.), 0 ; V = 640 πu.v (.4) (4.) 0, 8 π u.a (.) (, ȳ) = (0, ) (.) V = u.v (6.) A = u.a (6.) (, ȳ) =, (7.) ln u.c (7.) 8 (6.) V = 6 π u.v u.c (7.) ln u.c (7.4) 7 ( ) u.c (7.) e (e ) u.c (7.6) 6 u.c [8] (8.) 8πu.a (8.) π 6 (7 7 ) u.a [9] (8.) π[e + e + ln (e + + e ) ln ( + )] u.a (8.4) π( )/6 u.a (8.) 4π u.a 8

9 (8.) = (8.) = (8.) = 8 (ln ) + ln (8.4) = [0] [] (0.) d d = cos(t) cos(t), (0.) d d = (0.) d d = + t t d d t= π 6 = t t ; para =, temos t = d, logo d t= d + (π/)cos( πt), = 9 d t= π (.) d cos (t). sen (t) 4. sen (t). cos (t) = d cos (t) = 4 (.) d d = et [] = + [4] Reta Tangente: ( + π ) = ( ) Reta Normal: ( + π) = ( ) [] (.) 9e 0 4 u.a (.) u.a (.) 8 8 u.a (.4) u.a 9

10 [6] (π + 8) u.a [7] (7.) 4π u.c (7.) + ln + + u.c (7.) 6a u.c (7.4) u.c (7.) 8a u.c (7.6) (e π/ ) u.c 4 [8] ln ( + 6) u.c [9] 4 u.c 0