CÁLCULO I - MAT Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. Faça o esboço do gráfico de cada uma das funções.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza CÁLCULO I - MAT a Lista de eercícios. Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de infleão. Faça o esboço do gráfico de cada uma das funções. (a) f() = (b) f() = (c) f() = e 2 (d) f() = 2 + (e) f() = e e 2 (f) f() = (g) f() = + 2 (h) f() = e (i) f() = ln (j) f() = (k) f() = (l) f() = (m) f() = (n) f() = e (o) f() = ln (p) f() = (q) f() = (2 + ) (r) f() = 2 + ( ) 2 2. Mostre que f() = admite dois pontos de infleão em c e c 2, com < c < 0 e 0 < c 2 <. 3. Seja f() = 4 + a 3 + b (a) Que condições devem satisfazer a e b para que eista um ponto de infleão em =? (b) Eistem a e b de modo que em = tenha ponto de infleão com tangente horizontal neste ponto? 4. Se f() = a 3 + b 2, determine a e b de modo que o esboço da gráfico de f tenha um ponto de infleão em (,2). 5. Se f() = a 3 + b 2 + c, determine a, b e c de modo (,2) seja um ponto de infleão do gráfico de f e que a pendente da reta tangente em dito ponto seja Seja f() = a 3 + b 2 + c + d, a 0. Prove que f admite um único ponto de infleão. 7. Se p for ponto de infleão de f e se f (p) = 0, então diremos que p é ponto de infleão horizontal de f. Cite uma condição suficiente para que p seja ponto de infleão horizontal de f. 8. Se p for ponto de infleão de f e se f (p) 0, então diremos que p é ponto de infleão oblíquo de f. Cite uma condição suficiente para que p seja ponto de infleão oblíquo de f. 9. Sejam f um função derivável até a 5 a ordem no intervalo aberto I e p I. Suponha f (5) contínua em p. Prove que f (p) = f (p) = f (4) (p) = 0 e f (5) (p) 0 é uma condição suficiente para p ser ponto de infleão de f. Generalize tal resultado. 0. Seja f derivável até o ordem 2 a em R e tal que (a) Mostre que f é continua em todo 0. f () + f () = 4, para todo. (b) Mostre que f não admite ponto de infleão horizontal.

2 . Seja f() = 5 + b 4 + c (a) Que condições b e c devem satisfazer para que seja ponto de infleão de f? Justifique. (b) Eistem b e c que tornam ponto de infleão horizontal? Em caso afirmativo, determine-os. 2. Suponha que f () > 0 em ]a, + [ e que eiste 0 > a tal que f ( 0 ) > 0. Prove que f() = Seja f definida e derivável no intervalo aberto I, com I, tal que f() = e f () = 2 + f 2 (), para todo em I. (a) Mostre que, para todo em I, f () eiste e que f é continua em I. (b) Mostre que eiste r > 0 tal que f () > 0 e f () > 0 em ] r, + r[. (c) Esboçe o gráfico de y = f(), ] r, + r[. 4. Seja f definida e derivável no intervalo ] r, r[ com r > 0. Suponha que f(0) = 0 e f () = 2 + f 2 (), para todo em ] r, r[. (a) Mostre que 0 é ponto de infleão horizontal. (b) Mostre que f () > 0 para todo 0. (c) Estude f com relação à concavidade. (d) Mostre que f() > 2 3! 3 para 0 < < r. (e) Faça um esboço do gráfico de f. 5. Calcule os seguintes ites usando as Regras de L Hospital-Bernoulli: (a) (b) (c) e + (d) ln + e 3 (e) sen ln (f) + +( cos ) ln (g) ( 2 + ) [ ] ln (h) ln (i) ( cos ) (j) tan 3 sen sen 3 sec 3 (k) cos (l) [ 3 ] 3 + (m) e 2 (n) [ ] [ ( (o) + e e + ) ] (p) [cos 3] sen (q) tan (r) ( ) + + ln 6. Sejam f e g deriváveis até a 2 a ordem em ]p, b[. Suponha que ou f() = f () = 0 e p + p + g() = g () = 0 p + p + f() = f () = ± e p + p + g() = g () = ±. p + p + 2

3 f () Prove que, se p + g eistir (finito ou infinito) então () f() p + g() eistirá e Geralize este resultado. 7. Calcule os seguinte ites f() p + g() = f () p + g (). (a) (d) e (f) sen(sen ) cos(sen ) (b) 2 + tan 3 + sen 3 (e) tan 3 (g) sen 2 sen( 2 ) 2 (c) 3 e 4 + (f) 5sen sen(5) (cos cos(5) (h) cos(sen ) cos 4 (i) (l) (ln ) 2/3 + ( ) 3/4 (j) 4 sen( /2 ) (k) [sen( )] 2/ arctan( [ ) ] (m) Sejam f() = 2 sen f () g () tan 2 ( ) ln 2 ( + 4 ) ( (n) ) e ( ) f() e g() =. Verifique que f() = g() = 0, g() = 0 e que não eiste. Há alguma contradição com a Regra de L Hospital-Bernoulli? 9. Esboçe o gráfico das seguintes funções eplicitando domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos críticos, concavidade, pontos de infleão e assintotas. (a) f() = (b) f() = (c) f() = 2 4 (d) f() = + (e) f() = 2 + (g) f() = e (i) f() = (f) f() = e 3 (h) f() = e (j) f() = (k) f() = 3 3 (l) f() = (m) f() = 3 2 (n) f() = e e 3 (o) f() = (p) f() = (q) f() = 2 2 (r) f() = 2 2 3

4 20. Estude a função dada com relação a máimos e mínimos locais e globais. (a) f() = + 2 (b) f() = e 2 (c) f() = e e 3 (d) f() = (e) f() = (f) f() = e (g) f() = (h) f() = sen + cos, [0, π] (i) f() = , [, 3] (j) f() = (k) f() = (l) f() = e 2, [0, π/2[ + tan (m) f() = (n) f() = Determine as dimensões do retângulo de área máima e cujo perímetro 2p é dado. 22. Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado seja máima. 23. Determine o número real positivo cuja soma com o inverso de seu quadrado seja mínima. 24. Determine a altura do cilindro circular reto, de volume máimo, inscrito na esfera de raio R dado. 25. Determine a altura do cone circular reto, de volume máimo, inscrito na esfera de raio R dado. 26. Determine a altura do cone circular reto, de volume máimo, e com geratriz a dada. 27. Considere a curva y = 2, 0. Traçar uma tangente à curva tal que a área do triâbgulo que ela forma com os eios coordenados seja mínima. 28. Determine o retângulo de área máima e lados paralelos aos eios coordenados, inscrito na elipse y 2 =. 29. Deseja-se construir uma caia, de forma cilíndrica, de m 3 de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa R$ 0 o metro quadrado e na tampa material de R$ 20 o metro quadrado. Determine as dimensões da caia que minimizem o custo do material empregado. 30. Um sólido será construído acoplando-se um cilindro circular reto, de altura h e raio r, uma semiesfera de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido seja 5π. Determine r e h para que o volume seja máimo. 3. Pede-se construir um cilindro circular reto de área total S dada e cujo volume seja máimo. 32. Determine uma reta tangente ao gráfico de y = 2, de modo que a distância da origem a ela seja a menor possível. 33. Dado o triângulo retângulo de catetos 3 e 4, determine o retângulo de maior área nele inscrito, de modo que um dos lados esteja contido na hipotenusa. 34. Determine o ponto da parábola y = 2 que se encontra mais próimo da reta y = Dois vértices de um retângulo R estão sobre o eio e os outros dois sobre o gráfico de y = + 2, > 0. Considere o cilindro que se obtém girando o retângulo R em torno do eio. Determine o retângulo R de modo que o volume do cilindro seja o maior possível. 36. Seja f derivável em R e seja g dada por g() = f(), 0. Suponha que p é ponto de máimo local de g. (a) Prove que pf (p) f(p) = 0. (b) Prove que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p passa pela origem. 4

5 37. Suponha que f seja derivável até a 2 a ordem em R e tal que para todo f () + f () =. (a) Prove que f não admite ponto de máimo local. (b) Prove que, se f admitir um ponto crítico 0, então 0 será ponto de mínimo local. (c) Prove que f poderá admitir no máimo um ponto crítico. 38. Suponha que f seja derivável até a 2 a ordem em R e tal que para todo f () + f () = 2. (a) Prove que, se 0 for ponto de máimo local, então 0 < 0. (b) Prove que, se 0 for ponto de mínimo local, então 0 > 0. (c) Prove que f () > 0 para todo. 39. (Teorema de Darbou) Suponha g derivável em [a, b], com g (a) < 0 < g (b). Prove que eiste c em ]a, b[ tal que g (c) = Seja y = f() um função derivável até a 2 a ordem no intervalo aberto I, tal que para todo I, (a) Verifique f é continua em I. f () + f () [f()] 2 = 0 e f() 0. (b) Prove que f não admite ponto de máimo local em I. Foz do Iguaçu, 05 de maio de 207 Víctor Arturo Martínez León 5

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