x 3 x3 dx = 1 + x2 u = 1 + x 2 5u 1 (u + 1)(u 1) du = A x ln xdx = x2 2 (ln x)2 x2 x2

Transcrição

1 Questão -A. (, pontos) Calcule a) arctg d = arctg() 1 d = 1 + arctg() 1 u 1 6 u du = u = arctg() du = 1 dv = d v = 1+ d u = 1 + du = d = arctg() [u ln u ] + k = arctg() + ln(1 + ) + k b) 5e e 5u 1 e 1 d = u 1 du = [ 5u 1 (u + 1)(u 1) du = A (u + 1) + B ] (u 1) du = u = e du = e d A = B = [ ] = (u + 1) + du = ln u ln u 1 + k = ln e ln e 1 + k. (u 1) c) (ln ) d = (ln ) ln d = (ln ) ln + d = u = (ln ) dv = d du = ln d v = u = ln dv = d du = 1d v = = (ln ) ln k.

2 Questão -B. (, pontos) Calcule a) arctg d = arctg() 1 d = 1 + arctg() 1 u 1 6 u du = u = arctg() du = 1 dv = d v = 1+ d u = 1 + du = d = arctg() [u ln u ] + k = arctg() + ln(1 + ) + k b) 5e + e 5u + 1 e 1 d = u 1 du = [ 5u + 1 (u + 1)(u 1) du = A (u + 1) + B ] (u 1) du = u = e du = e d A = B = [ ] = (u + 1) + du = ln u ln u 1 + k = ln e ln e 1 + k. (u 1) c) (ln ) d = (ln ) ln d = (ln ) ln + d = u = (ln ) dv = d du = ln d v = u = ln dv = d du = 1d v = = (ln ) ln k.

3 Questão -A. A região R está contida no primeiro quadrante e é limitada pela curva y = 1 + e pela reta normal a essa curva no ponto (, ). a) (, pontos) Calcule o perímetro de R. b) (1,5 pontos) Determine o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eio O. Solução. Sejam f() = 1 +, O = (, ), B = (, ) e C = (, 1). A reta normal à curva y = f() no ponto (, ) tem equação y = 1 ( ) e, portanto, o ponto em que a normal corta o eio O é A = (8, ). a) O perímetro de R é dado por p = OC + OA + AB + arco CB = d. Para calcular a ultima integral, usamos a mudança de variável = tg θ e depois integramos por partes: 1 + d = sec θ d = sec θ(1 + tg θ) dθ = ln sec θ + tg θ + tg θ tg θ sec θ dθ = ln sec θ + tg θ + tg θ sec θ sec θ dθ. Segue então que sec θ dθ = 1 [ln sec θ + tg θ + tg θ sec θ] e, portanto, p = d = [ ln ] 1 + = [ln( + 5) + 5] = ln( + 5) b) O volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eio O é

4 V = π (1 + ) d + π 8 ( + 4) d 8 = π ( ) d + π ( ) d = π ( ) + π ( ) [ = π ] = 64π 15.

5 Questão -B. A região R está contida no primeiro quadrante e é limitada pela curva y = + e pela reta normal a essa curva no ponto (, 4). a) (, pontos) Calcule o perímetro de R. b) (1,5 pontos) Determine o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eio O. Solução. Sejam f() = +, O = (, ), B = (, ) e C = (, ). A reta normal à curva y = f() no ponto (, ) tem equação y 4 = 1 ( ) e, portanto, o ponto em que a normal corta o eio O é A = (1, ). a) O perímetro de R é dado por p = OC + OA + AB + arco CB = d. Para calcular a ultima integral, usamos a mudança de variável = tg θ e depois integramos por partes: 1 + d = sec θ d = sec θ(1 + tg θ) dθ = ln sec θ + tg θ + tg θ tg θ sec θ dθ = ln sec θ + tg θ + tg θ sec θ sec θ dθ. Segue então que sec θ dθ = 1 [ln sec θ + tg θ + tg θ sec θ] e, portanto, p = d = [ ln ] 1 + = [ln( + 5) + 5] = ln( + 5) b) O volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eio O é

6 V = π ( + ) d + π 1 = π ( ) d + π = π ( ) [ = π = 88π 5. ( + 5) d 8 ( ) d + π ( ) ]

7 Questão 1-A. a) (, pontos) Esboce o gráfico da função f() = / + 5 1/, indicando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, concavidade, pontos de infleão, assíntotas, etc. b) (1,5 pontos) Um triângulo retângulo de hipotenusa gira em torno de um de seus catetos gerando um cone. Determine o raio da base, a altura e o volume do cone de maior volume que pode ser gerado dessa maneira. Solução: a) Domínio de f = R \ {}. Intervalos de crescimento e decrescimento: f () = 1/ 5 4/ = 6 5 4/. Assim, f é crescente em [ 5 6, + [ e decrescente em ], [ e ], 5 6 ]. Vemos então que = 5 6 é ponto de mínimo local. Concavidade: f () = 184/ 4 1/ (6 5) 9 8/ = 1/ ( 6) 9 8/ = ( 6) 9 7/. Logo, f tem concavidade para cima em ], 1] e para baio em ], [ e ] 1, + [. Assim, = 1 é ponto de infleão. Limites: Os limites necessários são calculados diretamente: lim f() = + ; lim f() = ; lim f() = + e lim + f() = +. + Assíntotas: f possui assíntota vertical, a reta =. f não possui assíntota horizontal, pois lim ± f() = + e nem assíntota inclinada, pois lim ± f() =. b) O volume do cone é dado por V = 1 πhr, onde h e r são os catetos do triângulo. Como r = h segue que V (h) = 1 πh( h ), com h ], [. Temos que V (h) = π ( h ) e portanto V cresce em ], 1] e decresce em [1, ]. Então o volume máimo ocorre quando h = 1. Neste caso, r = e V = π.

8 Questão 1-B. a) (, pontos) Esboce o gráfico da função f() = 5 / + 1/, indicando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, concavidade, pontos de infleão, assíntotas, etc. b) (1,5 pontos) Um triângulo retângulo de hipotenusa 5 gira em torno de um de seus catetos gerando um cone. Determine o raio da base, a altura e o volume do cone de maior volume que pode ser gerado dessa maneira. Solução: a) Domínio de f = R \ {}. Intervalos de crescimento e decrescimento: f () = 1 1/ 4/ = 1 4/. Assim, f é crescente em [, + [ e decrescente em ], [ e ], ]. Vemos então que 1 1 = é ponto de mínimo local. 1 Concavidade: f () = 4/ 4 1/ (1 ) = 1/ (1 1) 9 8/ 9 8/ = /. Logo, f tem concavidade para cima em ], 6] e para baio em ], [ e ] 6, + [. Assim, 5 5 = 6 é ponto de infleão. 5 Limites: Os limites necessários são calculados diretamente: lim f() = + ; lim f() = ; lim f() = + e lim + f() = +. + Assíntotas: f possui assíntota vertical, a reta =. f não possui assíntota horizontal, pois lim ± f() = + e nem assíntota inclinada, pois lim ± f() =. b) O volume do cone é dado por V = 1 πhr, onde h e r são os catetos do triângulo. Como r = 5 h segue que V (h) = 1πh(5 h ), com h ], 5[. Temos que V (h) = π(5 h ) e portanto V cresce em ], 5/] e decresce em [ 5/, 5]. Então o volume máimo ocorre quando h = 5/. Neste caso, r = 1/ e V = 1π 9 5.