Cálculo 3A Lista 4. Exercício 1: Seja a integral iterada. I = 1 0 y 2

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1 Eercício : Seja a integral iterada Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada Cálculo A Lista 4 I = ddd. a) Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral I. b) Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral I. Solução: a) Temos que I = ddd com onde = {,,) R ;,) D e } D = {,) R ; e }. O esboço de D, que representa a projeção do sólido no plano está representado na figura a seguir. D D Consideremos a porção da superfície =, dita cilindro parabólico, que se projeta em D. Considerando que varia de a, obtemos o esboço de na figura a seguir.

2 Cálculo A Lista 4 5 b) Como D é um retângulo então I = ddd. Projetando sobre o plano, encontramos D e esboçamos na figura que se segue. Sai em = Entra em = Sai em = D D Entra em =

3 Cálculo A Lista 4 5 Temos ou D = {,);, } D = {,);, }. Considerando um ponto P =,,) no interior de e uma reta paralela ao eio, passando por P, orientada no sentido do crescimento de, vemos que ela entra em em = e sai de em =. Então. Assim: Logo donde ou = {,,) R ;,) D e }. I = I = I = D ddd. ddd ddd. Finalmente, projetando sobre o plano encontramos o quadrado D na figura que se segue. D Considerando umponto P =,,) no interior de epor P uma reta paralela ao eio, orientada no sentido do crescimento de, vemos que ela entra em em = e sai de em =. Logo,. Então: = {,,) R ;,) D e }. Logo donde I = I = D ddd. ddd

4 Cálculo A Lista 4 54 ou I = ddd. Eercício : Seja o sólido limitado pelas superfícies + =, + = e =. a) Esboce. b) Calcule a massa de, supondo que a densidade em,,) é dada por δ,,) =. Solução: a) Inicialmente, traçamos o cilindro + =, em seguida, traçamos no plano, a reta + =, que intercepta o cilindro em A e B. Pelo ponto C =,,) da reta, traçamos uma paralela ao eio, que intercepta o cilindro em D e E. Ligando os pontos A, B, D e E, obtemos a curva interseção do cilindro com o plano. Assim, temos o sólido. B D C E = A D =

5 Cálculo A Lista 4 55 b) Temos onde D é dado por D : +. Temos: = {,,);,) D, } M = δ,,)dv = dv = = D Aplicando coordenadas polares, temos: e D rθ : { r θ π. Então: D [ ] dd = )d. D = rcosθ = rsenθ dd = rdrdθ [ M = 4 4rsenθ+r sen θ)rdrdθ = D rθ π = = π = π = = 4r 4r senθ +r sen θ) drdθ = [r 4 r ] r4 senθ+ 4 sen θ [ 4 senθ+ ] 4 sen θ dθ = [ θ+ 4 cosθ+ 4 4π + π ) = 7π 4 8 u.m. θ senθ )] π dθ = ] d dd = = Eercício : Calcule a massa do sólido limitado pelos planos =, =, =, + = e + =, sendo a densidade δ,,) =. Solução: Esboço do sólido Para esboçar o plano + =, traçamos inicialmente a reta + = no plano. Como a equação não depende da variável então por pontos da reta traçamos retas paralelas ao eio. Analogamente, esboçamosoplano+ =. ObservemosqueospontosA =,,)eb =,,)

6 Cálculo A Lista 4 56 são comuns aos dois planos. Ligando-os por uma reta, obtemos a curva interseção. Considerando que é limitado pelos planos coordenados, temos assim o esboço na figura que se segue. A sai em = sai em = D entra em = entra em = D B Devemos projetar no plano ou no plano, pois para projetar no plano devemos dividir em duas partes, usando o plano =. Então, projetemos no plano. Imaginando através de uma reta paralela ao eio, orientada como o eio, vemos que ela entra em em = e sai de em =. Portanto: : {,,) R ;,) D e } com D : { M =. A massa M do sólido é: δ,,) dv = = ) dd = D = [ ] d = D dv = ) dd = [ ) D ] ) d. ddd = ) d =

7 Cálculo A Lista 4 57 Faendo u = temos d = du. Para = temos u = e para = temos u =. Então: M = u [ u = 6 u4 u ] ) du) = = 6 = u.m. u u ) du = u u ) du = Eercício 4: Use uma integral tripla para encontrar o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelos gráficos das equações + = 4, + =, =, = e =. Solução: Esboço da superfície + = 4 cilindro circular) com,, No plano traçamos o arco da circunferência + = 4 com e. Como esta equação não depende da variável, então por pontos do arco traçemos semirretas paralelas ao eio, com. Esboço da superfície + = plano) com,, No plano traçamos a reta + = com e. Como esta equação não depende da variável, então por pontos dos segmentos da reta traçemos paralelas ao eio, com.

8 Cálculo A Lista 4 58 Esboço do sólido Observemos que o ponto A =,,) e B =,,) são comuns às duas superfícies. Ligando-os por uma curva temos a interseção. Considerando que o sólido é também limitado pelos planos =, = e =, temos o esboço de na figura a seguir. entra em = A B sai em = Temos que: V) = dv.

9 Cálculo A Lista 4 59 Para calcular a integral, vamos projetar o sólido no plano. + = 4 D Imaginemos uma reta paralela ao eio através de, orientada como o eio. Vemos que ela entra em em = e sai de em =. Então temos: Assim: : {,,) R ;,) D e }. V) = D Calculemos a integral utiliando coordenadas polares. = rcosθ = rsenθ dd = r drdθ + = r e D rθ : { r θ π/. Então: V) = π/ D rθ rcosθ) r drdθ = ddd = )dd. D π/ π/ ] = [r r cosθ dθ = 4 8 ) cosθ dθ = = [4θ 8 ] π/ senθ = π 8 ) u.v. r r cosθ ) drdθ =

10 Cálculo A Lista 4 6 Eercício 5: Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies =, = e =. Solução: Primeiramente, esboçamos o cilindro parabólico =. Em seguida, desenhamos o plano bissetor =, destacando alguns pontos comuns: A =,, ), B =,, ) e C =,,). Ligamosesses pontosporumacurvaquerepresenta ainterseção dasduassuperfícies. Considerando que o sólido é limitado pelo plano =, temos o sólido representado na figura que se segue. A = D = C = = B { Projetando sobre o plano, encontramos a região D :. Por um ponto,,) no interior de, traçamos uma reta paralela ao eio. Essa reta intercepta a fronteira inferior de no plano onde = e intercepta a fronteira superior no plano =. Logo,. Assim: = {,,);,) D, }. Então: V) = dv = D = dd = = 4 + ) d = ddd = ) dd = D [ ] [ 5 d = 5 + ] = ) d = ) = 8 5 u.v.

11 Cálculo A Lista 4 6 Eercício 6: Calcule = e =. 4 ddd, onde é o sólido limitado por ++ =, =, =, Solução: Em primeiro lugar, traçamos o plano ++ = e em seguida esboçamos o plano =. Considerando que é limitado pelos planos = e =, temos o esboço de na figura que se segue. + = = D = = = { Projetando sobre o plano temos a região D :. Considerando uma paralela ao eio por um ponto,,) no interior de, vemos que essa paralela intercepta a fronteira de no plano onde = e depois no plano + + = onde =. Logo,. Assim: = {,,);,) D e }. Então: = 4 4 dv = 4 D ddd = 4 ) dd = 4 D )dd = [ ] d =

12 Cálculo A Lista 4 6 = 4 = 4 = = = [ ) ) ] ) d = )d = ) d = ) ] d = [ = 4 ) =. Eercício 7: Encontre a massa e a coordenada do centro de massa do sólido limitado pelos gráficos das equações = 4, =, =, = e = 4 sendo a densidade δ,,) = k, onde k > é uma constante. Solução: Esboço do sólido No plano esboçamos a reta + = 4. Como esta equação não depende da variável, então por pontos da reta traçamos retas paralelas ao eio. 4 4

13 Cálculo A Lista 4 6 Considerando que é também limitado pelos planos =, =, = e = 4 temos o sólido na figura que se segue. sai em = entra em = A massa de é dada por M = δ,,) dv = k dv. Para calcular a integral, devemos projetar { sobre algum plano coordenado. Vamos projetar no 4 plano. Encontramos o quadrado D :. Imaginando uma reta paralela ao eio 4, através de, orientada como o eio, vemos que ela entra em em = e sai de em = 4. Então: Assim: M = k = k : {,,) R ;,) D e 4 }. D = 8k u.m. A componente é dada por: M = ddd = k 4 ) dd = k 4 D 4 ) dd = [ ] 4 δ,,) dv = k d = k dv. 4 d = Cálculo de dv

14 Cálculo A Lista 4 64 Temos: D 4 ddd = [ ] 4 D dd = D 4 ) dd = = ) 4 dd = = [ Logo, substituindo acima, temos donde =. ] 4 = ) +64 8k = 8k ) d = = 8. Eercício 8: Encontre o momento de inércia I do sólido no primeiro octante, limitado pelos gráficos das equações =, + =, = e = se a densidade é dada por δ,,) = k, onde k > é uma constante. Solução: Esboço do sólido No primeiro octante esboçamos o cilindro + =. Em seguida, esboçamos o plano =, destacando alguns pontos comuns como A =,,) e B =,,). Ligando-os por uma curva, temos a curva interseção. Considerando que o sólido é limitado pelos planos = e =, temos o esboço de na figura que se segue. sai em = B + = D A D entra em =

15 Cálculo A Lista 4 65 O momento de inércia I é dado por: I = + ) δ,,) dv = k + ) dv. Cálculo da integral Projetando no plano encontramos a região D : +, e. Imaginando uma reta paralela ao eio através de, orientada como o eio, vemos que ela entra em em = e sai de em =. Então. Assim: I = k + ) ddd = k + )[ ] dd = = k D D + ) dd. Passando para coordenadas polares temos e D rθ : { r θ π/. Então: D = rcosθ = rsenθ dd = r drdθ + = r I = k r rsenθ) r drdθ = D rθ = k π/ [ sen r 6 θ 6 ] dθ = k k π/ π/ sen θ sen θ dθ. r 5 drdθ = Da trigonometria temos que sen θ = cosθ. Logo: sen cosθ θ dθ = dθ = θ senθ ) +C. Assim: I = k [ θ senθ ] π/ = kπ 48.

16 Cálculo A Lista 4 66 Eercício 9: Seja um sólido limitado pelas superfícies =, =, = e + = 4. a) Esboce. b) Calcule o volume de. Solução: a) Inicialmente, encontremos os pontos de interseção das duas parábolas: { = = = = = ±. Por pontos das parábolas traçamos paralelas ao eio por eemplo,,,),,,),,,) e,,)). No plano, traçamos a reta + = 4, que intercepta as superfícies anteriores em A e B. Por,,), traçamos uma paralela ao eio, que intercepta a reta em C. Por C, traçamosuma paralela ao eio, que intercepta as superfícies anteriores em D e E. Ligando A, E, B e D por uma curva fechada, obtemos o sólido. 4 A,,),,) = D C E B = 4,,) = 4

17 Cálculo A Lista 4 67 b) Projetando sobre o plano encontramos D. = = Então descrevemos por: = {,,);,) D e 4 }. Temos: V) = ddd = D [ 4 ] d dd = D 4 )dd = = = = 4 )dd = ] [4 d = [ ) 8 4)] d = )d = [8 ] [ ] 4 = 4) = 8 u.v. d = Eercício : Seja o sólido limitado pelas superfícies + = 4, + = 4, = e =. a) Esboce. b) Calcule, por integral tripla, o volume do sólido. Solução: a) Para esboçar a superfície + = 4 dita cilindro parabólico), traçamos no plano =, a parábola = 4. Como a equação não contém a variável, então por pontos da parábola por eemplo A =,,4),,,) e,,)) traçamos paralelas ao eio. No plano =, traçamos a reta + = 4, que intercepta o cilindro em A =,,4).

18 Cálculo A Lista 4 68 A =,,4) = 4 =,,) C,,) B,4,) Para esboçar o plano, devemos traçar paralelas ao eio, por pontos da reta. Em particular, por,4,). Esta paralela intercepta o cilindro nos pontos B e C. A curva que passa por B, A e C representa a curva interseção do plano com o cilindro. Considerando os planos = e =, temos o esboço de. b) Temos V) = ddd, onde pode ser descrito por: = {,,);,) D e 4 } onde D = {,) R ;, 4 }. 4 = 4 =

19 Cálculo A Lista 4 69 Então: V) = D [ 4 ] d dd = D 4 )dd = = = = 4 4 )dd = ] 4 [4 d = ) d = ] [6 5 = 5 ) = ) d = u.v.