Cálculo III-A Módulo 10 Tutor

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo Tutor Eercício : eja a superfície parametriada por ϕ(u,v) = (u,v, v ), com u, v e u+v. a) esenhe. b) etermine o plano tangente a no ponto ϕ(/,/4). c) etermine a área de. olução: = u a) Temos : = v com (u,v) : u+v, u e v portanto, eliminando os = v parâmetros, temos : = com (,) : +, e. Logo, o esboço de está representado na figura que se segue. b) Temos ϕ(/,/4) = (/,/4,5/6), ϕ ϕ (u,v) = (,,), (u,v) = (,, v) portanto u v ϕ u ϕ v = i j k v = (, v,). Logo, ϕ u ϕ (,/,/4) = (, /,) é um vetor normal a em ϕ(/,/4). Portanto, uma v equação do plano tangente a em ϕ(/,/4) é dada por [ ( (,,) ϕ, )] ϕ ( 4 u, ) ϕ ( 4 v, ) = 4 ( ou, 4, 5 6 ) (, ), = ou, + = 3 8.

2 Cálculo III-A Módulo Tutor c) Temos A() = ϕ u ϕ dudv = v +4v dudv. v u = v u Enquadrando como tipo II, temos : A() = v v u v. Logo, +4v dudv = ( v) +4v dv = = +4v dv v +4v dv. }}}} I I Cálculo de I Faendo v = tgθ, temos dv = sec θdθ. Para v = θ = v = temos θ = arctg. Então, o Cálculo II, temos I = arctg +tg θ sec θdθ = arctg sec 3 θdθ. sec 3 θdθ = secθtgθ+ ln(secθ +tgθ)+c (Verifique!) Logo, I = [ secθtgθ + ln(secθ+tgθ) ] arctg Faendo u = arctg temos tgu =. Então sec u = + tg u = 5, portanto secu = 5 ou sec(arctg) = 5. Então, 5 I = + ( 4 ln + ) 5..

3 Cálculo III-A Módulo Tutor 3 Cálculo de I Temos I = Como d(+4v ) = 8vdv, temos Assim, I = 8 A() = I I = v +4v dv = v ( +4v ) / dv. ( ) +4v / ( ) d +4v = 8 [ (+4v ) ] 3/ = ( 5 ) ( 4 ln + ) = 5 + ( 4 ln + ) 5 + u.a. Eercício : Esboce e parametrie as superfícies abaio, indicando o domínio dos parâmetros: a) = (,,) R 3 ; + + = 4, }. b) = (,,) R 3 ; = } 3( + ), + +. c) = (,,) R 3 ; + + =, + }. d) = (,,) R 3 ; + = 4, + 4 }. e) = (,,) R 3 ; + =, + }. olução: a) A superfície está ilustrada na figura que se segue. π/3 3 Usando φ e θ como parâmetros, temos : ϕ(φ,θ) = (senφcosθ,senφsenθ,cosφ), com φ π/3 e θ π. Também podemos definir usando as coordenadas retangulares e. Temos : ϕ(,) = (,, ) 4, com (,) : + 3. Uma outra forma de definir é usando as coordenadas r e θ. Temos : ϕ(r,θ) = ( rcosθ,rsenθ, 4 r ), com r 3 e θ π.

4 Cálculo III-A Módulo Tutor 4 b) Encontremos a interseção das duas superfícies: = 3( + ) + +3( + ) = + = = = 3. Elas se interceptam segundo uma circunferência contida no plano horiontal = 3/, de centro (,, 3/ ) e raio /. 3/ / / Usando as coordenadas e para definir, temos ϕ(,) = (,, ) 3( + ), com (,) : + /4. Outra parametriação seria : ϕ(r,θ) = (rcosθ,rsenθ, 3r), com r / e θ π. c) O esboço de pode ser visto na figura que se segue. Uma parametriação é dada por : ϕ(,) = (,, ), com (,) : +. Outra parametriação seria : ϕ(r,θ) = (rcosθ, rsenθ, rcosθ rsenθ), com r e θ π.

5 Cálculo III-A Módulo Tutor 5 d) O esboço de está na figura ao lado. Adotando θ e como parâmetros, definimos por ϕ(θ,) = (cosθ, senθ, ) com θ π + cosθ senθ. 4 8 e) A superfície está ilustrada na figura ao lado. eja (,, ). Então, e satisfaem + = ou +( ) =. Logo, = cost = +sent com t [,π]. Adotando t e como parâmetros, temos a seguinte parametriação para : com ϕ(t,) = (cost, +sent, ) t π (+sent). Eercício 3: eja C = (,,) R 3 ; +( ) = }. Ache a área da superfície gerada pela rotação do conjunto C em torno do eio. olução: Uma parametriação da curva C é dada por (t) = (t) = +cost, (t) = sent t π e (,,), então (,,) pertence à circunferência de raio (t) = + cost e de centro (,,(t)) = (,,sent). Então = (+cost)cosθ = (+cost)senθ = (t) = sent

6 Cálculo III-A Módulo Tutor 6 com t π e θ π. Assim, uma parametriação de é dada por com Tem-se portanto : ϕ(t,θ) = ( (+cost)cosθ, (+cost)senθ, sent ) (t,θ) : t π θ π. ϕ t = ( sentcosθ, sentsenθ, cost) ϕ θ = ( (+cost)senθ, (+cost)cosθ, ) i j k ϕ t ϕ θ = sentcosθ sentsenθ cost (+cost)senθ (+cost)cosθ = ( (+cost)costcosθ, (+cost)costsenθ, (+cost)sentcos θ (+cost)sentsen ) θ }} = (+cost)sent = (+cost)( costcosθ, costsenθ, sent). Logo, Como temos ϕ t ϕ θ = (+cost) cos } tcos θ+cos tsen θ } +sen t = = cos t = (+cost) cos t+sen t = +cost. A() = A() = (+cost) dtdθ = = π [ ] π t+sent ϕ t ϕ θ dtdθ, π π π dθ = 4π (+cost) dtdθ = dθ = 8π u.a. Eercício 4: eja a superfície obtida girando-se o segmento de reta de (,,3) a (,3,) em torno do eio. a) ê uma parametriação de. b) Calcule a área de.

7 Cálculo III-A Módulo Tutor 7 olução: a) O segmento de reta de (,,3) a (,3,) é parametriado por γ(t) = (,,3)+t((,3,) (,,3)) = (,+t,3 t), com t. Logo, (t) =, (t) = +t e (t) = 3 t, com t. A superfície de revolução tem como parametriação ϕ(t,θ) = ((t)cosθ,(t)senθ,(t)) = ((+t)cosθ,(+t)senθ,3 t) com (t,θ) : t θ π. b) Temos A() = ϕ t ϕ θ dtdθ onde i j k ϕ t ϕ θ = cosθ senθ (+t)senθ (+t)cosθ ( ) = (+t)cosθ,(+t)senθ,(+t)cos θ +(+t)sen θ }} (+t) = (+t)(cosθ,senθ,) portanto ϕ t ϕ θ = (+t) cos θ+sen θ+ = (+t). Logo, A() = (+t)dtdθ = = 4π π (+t)dθdt = (+t)dt = 4π [ ] t+t = 8π u.a. Eercício 5: etermine a área do paraboloide = ( + ), abaio do plano = 8. olução: O esboço da superfície pode ser visto na figura que se segue.

8 Cálculo III-A Módulo Tutor 8 8 efinimos da seguinte maneira: com (,) : + 4. Como temos A() = Em coordenadas polares, temos A() = = π 3 A() = : = ( + ) = f(,), + +(4) +(4) dd = rθ +6r rdrdθ = ( ) f ( ) f + dd π dd. (+6r ) / rdθdr = (+6r ) / d ( +6r ) = π 6 [(+6r ) 3/] = 3 = π 4 (65 65 ) u.a. Eercício 6: Calcule a área da superfície, parte do plano + + = a, interior ao cilindro + = a.

9 Cálculo III-A Módulo Tutor 9 olução: A superfície está ilustrada na figura ao lado. Temos : = a = f(,), com (,) : + a. Como ( ) f ( ) f A() = + + dd temos A() = +( ) +( ) dd = 3 a a dd = 3 A() = 3πa u.a. C a Eercício 7: Calcule a área da superfície = +, ( ) +4. olução: Tem-se : = + }}, com (,) : ( ) +4. Como é o gráfico de = f(,) = f(,),com (,), usaremos a fórmula A() = +(f ) +(f ) dd. Tem-se f = + f = +. Logo, Então, +(f ) +(f ) = = =. A() = dd = dd = A(). Como é uma elipse com a =, b = /, temos Logo, A() = πab = π = π. A() = π u.a. Eercício 8: etermine a área da porção da esfera + + = 4, cortada pela parte superior do cone + =.

10 Cálculo III-A Módulo Tutor olução: e + + = 4 e + = temos + = e =. Logo, a curva interseção das superfícies é a circunferência + = contida no plano =. O esboço de está representado na figura que se segue. π/4 Uma parametriação de é: : ϕ(φ,θ) = (senφcosθ,senφsenθ,cosθ) com φ π/4 (φ,θ) : θ π a aula 9, temos d = senφdφdθ. Como A() = d temos A() = senφdφdθ = = π [ cosφ ] π/4 = π π/4 π ( senφdθdφ = π π/4 ) = π ( ) u.a. senφdφ =