Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada. Cálculo 3A Lista 7.

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1 Eercício : ada a integral dupla I Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo 3A Lista 7 f,)dd + f,)dd. a) Esboce a região. b) Inverta a ordem de integração. c) Calcule I para a função f,) +. d) Se uma lâmina tem a forma da região e se a densidade em cada ponto é proporcional à distância de P,) à origem, calcule a coordenada do centro de massa de. Solução: { a) A região de integração é dada por : +. Se + então, donde + ). Considerando que e, o esboço de está representado na figura a seguir., ), ) b) e + ), temos ), donde ± ). Portanto, podemos descrever por: { : ). ) Logo, f,)dd ) f,)dd. )

2 Cálculo 3A Lista 7 99 c) Calculemos dd. Usando coordenadas polares, temos: + rcosθ rsenθ dd rdrdθ + r e + ) ou +, temos r rsenθ ou r senθ se r. e, temos rsenθ, donde r cscθ. Então o conjunto rθ é dado por: { π rθ : θ 3π cscθ r senθ r senθ r cscθ π/ Logo: I rθ 3π/ π/ 3π/ rdrdθ r π/ senθ cscθ [ senθ cscθ) dθ [ ] ln +) drdθ ] 3π/ cosθ ln cscθ cotgθ π/ [ ] ln ) ln +)+ +ln ) +ln +ln ) ) +ln ). + d) Como a densidade em P,) é proporcional à distância de P à origem, então temos que δ,) k δ,) da +, onde k é uma constante de proporcionalidade. Como,, M k + da então. M

3 Cálculo 3A Lista 7 Observemosqueafunçãof,) + éímparnavariávelpoisf,) + f,). Além disso, tem simetria em relação ao eio. Então + da. Logo,. Eercício : Inverta a ordem de integração e calcule seu valor em I / e 3 dd + / e 3 dd. Solução: Temos I e 3 dd onde com e {,) R ;, {,) R ;, } }. Com as informações dadas acima, podemos ilustrar a nossa região. Enquadrando como tipo I, temos: {,) R ;, }. Então: I e 3 dd e ) 3 3 d e 3 e. e 3 ) d

4 Cálculo 3A Lista 7 Eercício 3: Eprima sem calcular) π/ cosθ r secθ +rsenθ drdθ como uma integral iterada em coordenadas retangulares nas duas ordens de integração. Solução: Separando o jacobiano r, a epressão rdrdθ é transformada em dd e o restante do integrando fica r +rsenθ + f,). + { θ π/ Agora, vamos reconhecer a região de integração rθ : secθ r cosθ. A fronteira r secθ /cosθ ou rcosθ corresponde à reta. A fronteira r cosθ ou r rcosθ corresponde à circunferência + ou ) +. Como θ π/, então a região de integração se encontra no primeiro quadrante, entre o eio e a reta, limitada pela reta e a circunferência +. Assim, + dd. + + escrição de como tipo I Então {,) R ;, } I + + dd.. escrição de como tipo II + ) + ± ±. Como então +. Assim: {,) R ;, + }.

5 Cálculo 3A Lista 7 Então I dd. Eercício : Uma placa fina de densidade constante δ tem a forma de um setor circular de raio a e ângulo central α. Mostre que o momento de inércia em relação à bissetri do ângulo é dada por Ma senα ), onde M é a massa da placa. α Solução: Consideremos o setor circular com vértice na origem e a bissetri coincidindo com o eio. α α a Como a densidade é constante e igual a δ então a massa M é dada por M δa) δ α a δαa ) Como I δ dd δ dd então por coordenadas polares, temos

6 Cálculo 3A Lista 7 3 isto é, I δ α δ α δa 8 e ) e ), temos: α a α [ r ] a como queríamos demonstrar. r sen θr drdθ δ sen θ dθ δa ) α senα I δa α α α a α α senα ) I Ma sen θ dθ δa 8 senα α r 3 sen θ drdθ ) ) [ θ senθ ] α α Eercício 5: Calcule e. cos) da, onde é a região limitada pelas parábolas,, Solução: Escolhemos como mudança de variáveis u / e v /. Por propriedades dos jacobianos, temos: J,) u,v) u,v),) onde Logo, J /3. u, v),) u v u v 3. Como da J dudv, então da /3 dudv. A região uv é limitada pelas retas u, v, u e v. v uv u Observe que u / e v / nos dão a relação uv. Então, pelo Teorema da Mudança

7 Cálculo 3A Lista 7 de Variáveis, temos: cos) da vcosuv) 3 dudv vcosuv) dudv 3 uv v cosuv) dudv [ ] v senuv) dv 3 3 v senv senv) dv [ ] 3 3 cosv +cosv 3 cos6+cos+ ) cos cos 5cos cos cos6). Eercício 6: Seja o sólido limitado superiormente pela superfície e inferiormente pelo plano. a) Esboce o sólido b) Calcule, por integral tripla, o volume do sólido Solução: a) O esboço de está representado na figura que se segue. b) A projeção do sólido no plano se encontra combinando as duas superfícies: { + ) +.

8 Cálculo 3A Lista 7 5 Então, é dada por : ) +. evido a simetria, temos que V) V ), onde {,,);,), } onde é dado por : ) +, com. Então, V) ddd ) dd. Passando para coordenadas polares, temos: rcosθ rsenθ. dd r drdθ + r e + temos r cosθ. Observe que em o ângulo polar θ varia de no eio polar) a π/ no ponto,). Fiado θ, tal que θ π/, o raio vetor r deve variar desde até o valor OP cosθ. P r cosθ O θ r

9 Cálculo 3A Lista 7 6 Então, rθ é dado por rθ : { θ π/ r cosθ. Podemos, pois escrever: V) π/ cosθ π/ π/ cosθ rcosθ r ) r drdθ r cosθ r 3) π/ [ r 3 dr dθ 6 3 cos θ cos θ ) dθ 8 3 π/ 3 cos θ dθ. ] cosθ r cosθ dθ Temos: cos θ cos θ ) +cosθ ) +cosθ+cos θ ). Faendo u θ du dθ dθ du θ u θ π u π temos: π/ cos θ dθ π +cosu+cos u ) du [ u+senu+ u+ senu )] π 3π 8 6. Logo, V) 8 3 3π 6 π u.v. Eercício 7: Calcule a massa do sólido limitado pelo plano, pelo cilindro + e pelo cone + se a densidade é σ,,) +. Solução: O esboço do sólido está representado na figura que se segue.

10 Cálculo 3A Lista 7 7 Sabemos que a massa M é dada por M σ,,) ddd + ) ddd. Passando para coordenadas ciĺındricas r, θ, ), tem-se: rcosθ rsenθ Jacobiano r Asvariaçõesder eθsãoencontradassobrearegião, projeçãode sobreoplano. Convertendo a equação + para coordenadas ciĺındricas, temos r rcosθ o que implica r ou r cosθ donde r cosθ. A variação de θ é obtida pela varredura em, no sentido anti-horário, isto é, π/ θ π/. A superfície cônica + se converte em r. Logo r. Assim, rθ está limitada por rθ : r r cosθ π/ θ π/.

11 Cálculo 3A Lista 7 8 Temos então: M + ) ddd r r drdθd rθ π/ cosθ r r 3 drdθd r 3 ddrdθ π/ rθ π/ cosθ r 3 r drdθ π/ cosθ π/ π/ r drdθ π/ [ r 5] cosθ π/ 5 dθ 3 π/ cos 5 θ dθ. 5 π/ Observe que: cos 5 θ cos θ ) cosθ sen θ ) cosθ sen θ+sen θ ) cosθ. Então: M π/ π/ sen θ+sen θ ) cosθ dθ [ senθ 3 sen3 θ+ 5 sen5 θ ] π/ π/ ) u.m. Eercício 8: Calcule. ) dv, onde é a região delimitada por,, + e Solução: O sólido e sua a projeção sobre o plano acham-se ilustrados nas figuras a seguir.

12 Cálculo 3A Lista 7 9 Podemos descrever como {,,) R 3 ;,,) } onde Então: {,) R ;, }. [ ] ) ddd ) d dd ) )dd ) )dd ] ) [ d ) ) ) d ) 3 ) d [ 3 ] Eercício 9: Calcule a massa do sólido limitado pelo plano, o cilindro + e pelo cone +, se a densidade é δ,,) +. Solução: O esboço do sólido está representado na figura a seguir.

13 Cálculo 3A Lista 7 O sólido é descrito por onde é o disco ) +. {,,); +,,) } A massa de é dada por: M δ,,) ddd + ) ddd. Passando para coordenadas ciĺındricas, tem-se: rcosθ rsenθ ddd r drdθd + r As equações do cone e do cilindro em coordenadas ciĺındricas são, respectivamente r e r rcosθ, ou r cosθ. Então rθ é definido por: π/ θ π/ rθ : r cosθ r.

14 Cálculo 3A Lista 7 Logo: M + ) ddd r r drdθd rθ π/ cosθ r r 3 drdθd r 3 ddrdθ π/ rθ π/ cosθ r drdθ π/ π/ π/ [ r 5] cosθ 5 dθ 3 π/ cos 5 θ dθ 5 π/ π/ π/ sen θ ) cosθ dθ 3 5 [ senθ 3 sen3 θ+ 5 sen5 θ ] π/ π/ π/ π/ sen θ+sen θ ) dsenθ) 5 75 u.m. Eercício : Calcule o momento de inércia em relação ao eio do sólido limitado inferiormente pelo cone + e superiormente pelo plano, sendo a densidade dada por δ,,). Solução: O esboço do sólido está representado na figura que se segue. Temos I + ) δ,,)dv + ) dv.

15 Cálculo 3A Lista 7 Passando para coordenadas ciĺındricas, temos: rcosθ rsenθ dv r drdθd + r. A descrição de em coordenadas ciĺındricas é: r rθ : θ π r. Então: I k rθ r ) rdrdθd r 3 drdθd rθ π π 3 π r 3 dθddr π r [ r r 3 [ 3 3 r7 7 ] ] r dr π 3 π 3 ) 7 r 3 ddr r 3 r 3) dr π 3 π. r r 3 r 6) dr Eercício : Um arame tem a forma da curva obtida como interseção da semi-esfera + + 6, com com o plano +. Sabendo que a densidade em cada ponto,,) é dada por δ,,), mostre que o momento de inércia em relação ao eio é igual a 3 M, onde M 3 é a massa do arame. Solução: e + + 6, com e +, temos que + + ) 6, com ou + 8, com ou + +) 8, com ou ) +, com semi-elipse) que representa a projeção de C sobre o plano. 8 Então cost, + sent, e sent, com π/ t π/ pois cost. Assim, uma parametriação diferenciável de C é dada por: γt) ) cost,+sent, sent com π/ t π/. Logo donde γ t) ) sent,cost, cost γ t) 8sen t+cos t+cos t 8sen t+8cos t.

16 Cálculo 3A Lista 7 3 Assim: ds γ t) dt dt. Como então: M π/ π/ M C δ,,) ds C ds ) cost [ ] π/ dt 8 sent 6 u.m. π/ Por outro lado, o momento de inércia em relação ao eio é dado por: I + ) δ,,) ds + ) ds C π/ π/ C [ +sent) + sent) ] cost) dt π/ 8 +8sent+sen t+ 8sent+sen t ) cost dt π/ Logo: π/ 6 π/ sen t ) ] π/ cost dt 6[sent+ sen3 t 3 π/ ) I 3M 3. Eercício : Um pintor deseja pintar ambos os lados de uma cerca cuja base está dada pela curva C : /3 + /3 ) /3, para e. A altura está dada por f,). Se o pintor cobra R reais por metro quadrado, quanto ele receberá? Solução: O esboço da cerca S está representada na figura que se segue.

17 Cálculo 3A Lista 7 S f,),) C Apresentemos uma parametriação para C. Faendo u /3, v /3 e a /3 e substituindo na equação de C, temos u +v a, com u e v donde u acost e v asent, com t π/. Como u 3 e v 3, então: a 3 cos 3 t cos 3 t a 3 sen 3 t sen 3 t. Logo γt) cos 3 t,sen 3 t), com t π/ é uma parametriação para C. Temos que γ t) 6cos tsent,6sen tcost), então: γ t) 6 cos tsen t+sen tcos t 6 cos tsen tcos t+sen t) 6 costsent 6costsent pois t π/. Logo, ds σ t) dt 6costsentdt. A área de um lado da superfície é dada por AS) C π/ f,)ds C ds π/ sen tcostdt sen5 t 5 Portanto, o pintor receberá R 8 R reais. sen 3 t)6costsentdt π/ m.