Cálculo IV EP12 Tutor

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1 Eercício : Calcule com u e v. Fundação Centro de Ciências e Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro Cálculo IV EP Tutor + ) d, onde é a superfície ϕu,v) u i + v j + u + ) k olução: Temos: i j k ϕ u ϕ v u u,, ) donde ϕ u ϕ + u. v Também: Então: d ϕ u ϕ dudv + u dudv. v + ) d uv + u dudv u + u ) / [ v ] [ ) ] + u / 9 du 8 8 u + u + uv ) + u dudv u + u ) / v dvdu ). + u ) / d + u ) Eercício : Calcule f,,)d, onde f,,) + e : + +, com. olução: O esboço de está representado na figura que se segue.

2 Cálculo IV EP Tutor φ Observe que tg φ / implica φ π/. Uma parametriação de é dada por ϕφ,θ) senφcos θ, sen φ sen θ, cos φ) com φ,θ) : φ π/ e θ π. Já vimos que, no caso da esfera, + + a e d a sen φ dφdθ. Logo, d sen φ dφdθ. Assim: f,,)d f ϕφ,θ)) sen φ dφdθ 6 π sen φ cos θ + sen φ sen θ) sen φ dφdθ sen φ sen φ dφdθ 6 π/ [ π ) π/ cos φ) dcosφ) π )] π. π cos φ) sen φ dθdφ [ cos φ cos φ Eercício : Calcule d, onde é o cilindro + a, com. olução: Podemos parametriar o cilindro usando{ as coordenadas ciĺındricas com r a. Então θ π : ϕθ,) a cos θ,asen θ,), com θ,) :. Calculemos ϕ θ ϕ θ,) e seu módulo. Temos ϕ θ a sen θ,acos θ, ) donde ϕ,, ) i j k ϕ θ ϕ a sen θ a cos θ ] π/ a cos θ,asen θ, ). Observe que o vetor normal em cada ponto do cilindro é paralelo ao plano e é a projeção normal de ϕθ,). Consórcio CEERJ

3 Cálculo IV EP Tutor Tem-se: Logo, Então: ϕ θ ϕ a. d ϕ θ ϕ dθd adθd. d a a [ a cos θ) a dθd cos θ dθd a θ + senθ ] π π cos θ dθd d πa [ ] πa. Obs.: Uma outra maneira de parametriar é: e,,) então e satisfaem a equação { + a e é tal que. a cos t Parametriando a circunferência + a, tem-se, com t π. Adotando a sen t { t π t e como parâmetros, tem-se : ϕt,) a cos t,asen t,), com t,) :. Eercício : Calcule d, onde é o triângulo com vértices,, ),,, ) e,, ). olução: A superfície e a sua projeção sobre o plano estão ilustradas nas figuras que se seguem. efinimos por : f,), onde,) : Então: d + { ) ) + dd + ) + ) dd dd. d dd )d dd ) d [ ] 6.. Temos que: Consórcio CEERJ

4 Cálculo IV EP Tutor Eercício : eja a porção do cone + limitado pelos planos e. a) Parametrie usando as coordenadas cartesianas. b) Parametrie usando as coordenadas polares. c) Calcule d. olução: O esboço de está representado na figura que se segue. a) Como é o gráfico da função +, com,) : + 6, então, adotando e como parâmetros, temos : ϕ,),, ) +, com,) : + 6. b) Adotando r e θ como parâmetros, temos onde r,θ) rθ : r, θ π. : ϕr,θ) r cos θ,r sen θ,r) c) Consideremos a parametriação do item a) para calcular a integral. Temos então que d + ) + ) dd onde Assim: d + e +. Então, dd d Passando para coordenadas polares, temos: dd + dd dd. + ) dd + ) dd. r cos θ r sen θ dd rdrdθ + r. Consórcio CEERJ

5 Cálculo IV EP Tutor Transformando o conjunto em coordenadas polares, temos rθ : r, θ π. Logo: d r r drdθ π r dθdr rθ π r dr [ r ] π π 6 ) π. Eercício 6: Calcule a massa da superfície parte do plano dentro do cilindro +, sendo a densidade dada por δ,,). olução: O esboço de está representado na figura que se segue. A superfície é descrita por : f,), com,) : +. Como d + f ) + f ) dd, então Temos d + ) + dd dd. M δ,,)d d dd dd. Usando coordenadas polares, temos: dd r sen θ)r drdθ rθ r sen θ drdθ rθ π sen θ [ θ senθ r drdθ ] π π. π sen θ dθ Consórcio CEERJ

6 Cálculo IV EP Tutor 6 Logo: M π u.m. Eercício 7: etermine o momento de inércia em relação ao eio da superfície parte do cone + entre os planos e, sendo a densidade constante. olução: O esboço de está representado na figura que se segue. Note que o eio de é o eio. Então I onde ρ,,) ρ. Logo: + ) ρ,,) d I ρ + ) d. A superfície pode ser descrita por : + f,), com,) : +. Tem-se: f + donde Como d f + ) + ) ) + ) dd então d dd. Tem-se: I ρ + ) d ρ + ) dd ρ + ) dd. Passando para coordenadas polares, tem-se: r cos θ { r sen θ θ π e dd rdrdθ rθ : r. + r Consórcio CEERJ

7 Cálculo IV EP Tutor 7 Então: I ρ r r drdθ ρ r drdθ rθ rθ ρ ρ r π [ r ] dθdr ρπ ρπ r dr 6 ) ρπ. Eercício 8: Uma lâmina superficial tem a forma de um cone dado por + e limitado pelo plano. Em cada ponto de a densidade é proporcional à distância entre o ponto e o eio. Mostre que o momento de inércia em relação ao eio é igual a M, onde M é a massa de. olução: O esboço de está representado na figura que se segue. Uma parametriação de é dada por : ϕ, ),) : +. Temos d + e +. Logo:,, + ), com + ) + ) dd dd + dd dd. Como a distância de,,) ao eio é igual a + então a densidade δ,,) é dada por δ,,) k + onde k é uma constante positiva. A massa M de é dada por: Consórcio CEERJ

8 Cálculo IV EP Tutor 8 M k k δ,,) d k + d + dd k kπ π [ r ] r r dθdr kπ 6 kπ u.m. O momento de inércia em relação ao eio é dado por: I + ) δ,,) d k k kπ + ) / dd k r dr [ r kπ ] π + dd r dr + ) + d 6 kπ r ) / r dθdr 6 kπ M. Consórcio CEERJ