Cálculo III-A Módulo 7

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada álculo III-A Módulo 7 Aula 13 Aplicações da Integral de Linha de ampo Escalar Objetivo Apresentar uma interpretação geométrica. Apresentar algumas aplicações à Física. Interpretação geométrica no plano Seja f,) 0 e contínua. Então o gráfico de f, G f, está acima do plano. z,,f,)) G f,) S s A partir dacurva plano, construa a superfície S de base e altura f,) em,). A integral f,) ds representa a área de um lado da superfície S. Eemplo 1 A base de uma superfície é dada por + =, 0. Se a altura da superfície em,) é f,) =, 0, obter a área de um lado da superfície.

2 álculo III-A Módulo 7 Solução: O esboço de S é: z S z = f,) = A área de um lado de S é dada por,) f,) ds = σt) = cost, sent, ), π/ t π/ pois 0). ds, onde é parametrizado por Se σ t) = sent, cost ), então σ t) = sen t+cos t = portanto, ds = σ t) dt = dt. Então ds = π/ cost ) dt = sent π/ π/ π/ = 4u.a. Interpretação Física Se δ,) representa a densidade massa por unidade de comprimento) de um arame R, então δ,) ds representa a massa total do arame: M = δ,)ds.

3 álculo III-A Módulo 7 3 OBS.: 1. O centro de massa,) do arame é dado por M = δ,)ds M = δ,)ds. O momento de inércia de R em relação a um eio E é dado por I E = r,)δ,)ds onde r,) = distância de,) ao eio E. 3. Seja uma curva R 3, representando um arame de densidade δ = δ,,z) em,,z). Então, observe as seguintes fórmulas: i) omprimento do arame: L = ds ii) Massa do arame: M = δ,,z)ds iii) entro de massa do arame,,z), onde M = δ,,z)ds M = Mz = δ,,z)ds zδ,,z)ds iv) Momento de inércia do arame em relação a um eio E: I E = r,,z)δ,,z)ds onde r,,z) = distância de,,z) ao eio E. Eemplo Um arame fino tem a forma de uma semicircunferência + = 4, 0. Se a densidade linear é

4 álculo III-A Módulo 7 4 uma constante k, determine a massa e o centro de massa do arame. Solução: O esboço de está representado ao lado. Temos k ds ds = = k ds ds ds = ds onde ds = L = 1 πr = π, pois r =. omo M = parametrização de é dada por kds então M = k ds = kπ. Uma σt) = cost,sent), 0 t π. Se σ t) = sent,cost,), então σ t) = 4sen t+4cos t =. omo ds = σ t) dt, então ds = dt. Temos π ds = cost)dt = 4 [ sent ] π = 0 0 Logo, Portanto,,) = 0,4/π). ds = 0 π 0 sent)dt = 4 [ cost ] π 0 = 8 = 0 e = 8 π = 4 π. Eemplo 3 alcule o momento de inércia em relação ao eio z de um arame cuja forma é a interseção das superfícies + +z = 4 e =, sabendo que sua densidade é uma constante. Solução: omo a interseção de uma esfera com um plano é uma circunferência, segue que é uma circunferência contida no plano =. Para esboçá-la procuremos encontrar pontos de interseção das suas superfícies. Observe que o plano = contém o eio z. Logo, os pontos A 1 = 0,0,) e

5 álculo III-A Módulo 7 5 z A 1 = 0,0,) B B 1 A = 0,0, ) A = 0,0, ) estão em. Por outro lado, a reta = do plano intercepta a esfera em dois pontos: B 1 e B. Ligando os pontos A 1, A, B 1 e B, encontramos a curva. Para parametrizar, resolvemos o sistema { + +z = 4 =. Temos +z = 4 ou /+z /4 = 1, que representa a projeção de no plano z. Portanto, se,,z), então e z satisfazem a elipse /+z /4. Logo, = cost e z = sent, com 0 t π. omo =, então = cost. Portanto, é uma parametrização de. σt) = cost, cost,sent ), 0 t π Se σ t) = sent, sent,cost ), então σ t) = sen t+sen t+4cos t =. Assim, ds = σ t) dt = dt. O momento de inércia em relação ao eio z é dado por I z = + ) δ,) ds = k + ) π ds = k cos t+cos t ) dt 0 π = 8k cos tdt 0 [ = 8k 1 = 8kπ. t+ sent ] π 0

6 álculo III-A Módulo 7 6 Aula 14 ampos Vetoriais Objetivo Apresentar os campos vetoriais. Estudar alguns operadores diferenciais. Definição de um campo vetorial: Definição: Sejam P e Q funções reais de e, definidas em D R. A função vetorial F : D R R definida por F,) = P,),Q,)) = P,) i +Q,) j é chamada de campo vetorial definido em D R. F,) D, ) Outra notação: F,) = P,Q).

7 álculo III-A Módulo 7 7 Definição: Sejam P, Q e R funções reais de, e z, definidas em D R 3. Temos que a função vetorial F : D R 3 R 3 definida por F,,z) = P,,z),Q,,z),R,,z)) = P,,z) i +Q,,z) j +R,,z) k é chamada de campo vetorial definido em D R 3. z F,,z),,z) D Os campos vetoriais são úteis para representar os campos de forças, campos de velocidades e campos elétricos. Geometricamente, visualizamos um campo vetorial F no plano esboçando vetores F,) com origem em,). Eemplo 1 O campo vetorial F,) =,) = i + j,,) R está representado por:

8 álculo III-A Módulo 7 8 Eemplo Faça a representação geométrica do campo vetorial F,) =,) = i + j,,) R. Solução: Observemos que F,) = + =,), isto é, os vetores F,) e,) têm mesmo comprimento. Além disso, F,),) =,),) = + = 0, portanto F,),). Então o esboço do campo é: Definição: Dizemos que o campo vetorial F é contínuo, de classe k, k N ou se as funções componentes P e Q ou P, Q, R) são contínuas, de classe k ou, respectivamente.

9 álculo III-A Módulo 7 9 Operadores diferenciais Se F = P,Q,R)écampovetorialdiferenciável emumconjuntoaberto D dor 3, entãoodivergente de F é um campo escalar definido por div F = P + Q + R 1) Se F = P,Q) é de classe 1 em um aberto D do R, então div F = P + Q. O rotacional de F é um campo vetorial definido por rot R F = Q ) i P + R ) j Q + P ) k ) Vamos epressar 1) e ) usando a notação de operador. Então, consideremos o operador diferencial vetorial del ) dado por = ) i + j + k =,,. O operador sobre uma função escalar f ou um campo escalar) produz o gradiente de f: f f =, f, f ). onsideremos o produto vetorial de pelo campo vetorial F = P,Q,R): i j k F = / / / P Q R / / = / / / / Q R i j + P R P Q = = ) R i Q R ) P j + Q P R Q ) k ) i + P ) R j + Q k P ) k Logo, = rot F. rot F = F. onsideremos o produto interno de pelo campo F : ) F =,, P,Q,R) = P + Q + R = div F.

10 álculo III-A Módulo 7 10 Assim, div F = F. Eemplo 1 alcule o divergente e o rotacional do campo vetorial F,,z) = i +z j +z k. Solução: Temos div F = F = )+ z)+ z) = +z +. e rot F = i j k F = / / / = 0 ) i +0 z) j +0 ) k = i z j k. z z A seguir, apresentaremos algumas propriedades para o rotacional e o divergente. Se f e F são de classe, então i) rotgradf) = 0 ou f) = 0 ii) div rot F ) = 0 ou F ) = 0 iii) divgradf) = lapf ou f) = f ou f onde lapf = f = f = f dito laplaciano de f. iv) f ) F = f F + f F. + f + f é As demonstrações de i) e ii) seguem das definições e do Teorema de Schwartz. A demonstração de iii) segue das definições. Demonstraremos a propriedade iv). Escrevendo F = P,Q,R), temos f F = fp,fq,fr). Então, f ) F = fp)+ fq)+ fr) = f P + f P +f Q + f Q+f R + f R P = f + Q + R ) f +, f, f ) P,Q,R) como queríamos demonstrar. = f F + f F

11 álculo III-A Módulo 7 11 OBS.: Se F,) = P,) i +Q,) j, então: rot F = Q k P ). Eercício 1: Use a integral de linha para encontrar a área da superfície lateral sobre a curva e abaio da superfície z = f,), onde a) : + = 1, com 0 de 1,0) a 0,1) e f,) = b) : = 1 de 1,0) a 0,1) e f,) = Eercício : Determine a massa de um fio com a forma da curva = ln, com 3 8, se a densidade em cada ponto é igual ao quadrado da abscissa do ponto. Eercício 3: Determine a massa de uma quarta parte da circunferência + = a, situada no primeiro quadrante se a densidade em cada ponto é igual a ordenada desse ponto. Eercício 4: alcule o centro de massa do fio parametrizado por r t) = t,t,t), com 0 t 1, com densidade linear δ,,z) = z. Eercício 5: Seja um fio delgado com a forma da interseção da superfície + + z = 5, com z 0 com o plano + = 1. alcule o momento de inércia de em relação ao eio z, se a densidade em cada ponto é proporcional à sua distância ao plano. Eercício 6: alcule a massa de um arame fino com o formato da hélice = 3cost, = 3sent e z = 4t, com 0 t π/, se a densidade for δ,,z) = k 1+, com k > 0. Eercício 7: alcule div F e rot F sendo: a) F,,z) = z 3,3 z, ) b) F,,z) = z +sen) i z cos) j Eercício 8: Se r =,,z) e a é um vetor constante, demonstre que rot a r ) = a e div a r ) = 0.