Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada. Cálculo 3A Lista 8

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo 3A Lista 8 Eercício : Um objeto percorre uma elipse 4 +5 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força F, 3,3. Ache o trabalho realizado. Solução: e 4 + 5, temos /5 + /4. Então, γt 5cost,sent, com t π é uma parametrização da elipse no sentido anti-horário. O trabalho é dado por W F d r 3d+3d π π [ 6sent 5sent+5costcost ] dt 3sen t+3cos t dt π 3dt 6π. Eercício : alcule F d r para F,,+ onde é a fronteira do triângulo de + vértices,,, e,, orientada no sentido anti-horário. Solução: Temos 3. Então: r F d r + r + r ,,, álculo de r

2 álculo 3A Lista 8 6 Temos :, com. Logo, d. Então: r d++ d d [ 3 d 3 ] 3. álculo de r Temos :, com. Logo, d. Então: r d++ d + d ] [ d álculo de r 3 Temos que 3 é a curva 3 percorrida no sentido contrário. Logo, 3 :, com, donde, d d. Logo: r F d r d++d d++d +d 3 3 [ 3 ] [ ] d Portanto: r Eercício 3: alcule d+3zd +dz, sendo a interseção das superfícies +4 e +z, com e z, percorrida uma vez do ponto,, ao ponto,,. Solução: Esboçando os dois cilindros, vemos que A,,, A,, e A 3,/, são pontos de interseção. Ligando-os encontramos.

3 álculo 3A Lista 8 7 z z A 3 / A / A / / Projeção de no plano +4 Se,,z então,,z satisfaz + /4 com +z com z então cost e /sent, com t π. omo z então temos que z cos t sen t sent. Logo, γt cost,/sent,sent, com t π é uma parametrização de, orientada de A para A. Temos d sent dt, d /cost dt e dz cost dt. Então d+3z d + dz π π [ sent sent+3sent cost+costcost] dt sen t+ 3 sentcost+cos t dt [ t+ 3 sen t ] π π. π + 3 sentcost dt

4 álculo 3A Lista 8 8 Eercício 4: Achar o trabalho de uma força variável, dirigida para a origem das coordenadas, cuja grandeza é proporcional ao afastamento do ponto em relação à origem das coordenadas, se o ponto de aplicação desta força descreve, no sentido anti-horário, a parte da elipse 4 + no primeiro 6 quadrante. Solução: O esboço da trajetória está representado na figura que se segue. 4 F,, omo a força F, está dirigida para a origem e seu módulo é proporcional à distancia de, à origem então os vetores F, e, têm mesma direção e sentidos contrários e F, k +, onde k > é uma constante. Assim, temos que O trabalho W é dado por W F, k,. F d r onde é parametrizada por r t cost,4sent, com t π/, donde r t sent,4cost. Logo: W r π/ F r t r t dt π/ F cost,4sent r t dt π/ k k kcost,4sent sent,4costdt π/ π/ 4sentcost+6sentcostdt [ sentcost dt k sen t ] π/ 6k u.w.

5 álculo 3A Lista 8 9 Eercício 5: O campo vetorial F,,z,,z 4 4 atua sobre uma partícula transladando-a ao longo da curva interseção das superfícies z + e z 4+4 4, orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma vez no sentido horário. alcule o trabalho realizado por F,,z. Solução: as equações z + e z temos que ou Isto significa que a projeção de no plano é a circunferência + 4. Parametrizando a projeção no sentido anti-horário, temos +cost e +sent, com t π. omo z então z 8+8cost+8+8sent 4 +8cost+8sent. Então uma parametrização da curva, com orientação oposta ao do enunciado é: com t π. Logo: e : γt +cost,+sent,+8cost+8sent γ t sent,cost, 8sent+8cost F γt +cost,+sent,+8cost+8sent 8 8cost 4 cost,sent,8sent. Então: r π F γt γ t dt π π π 64 cost,sent,8sent sent,cost, 8sent+8cost dt 4sentcost+4sentcost 64sen t+64sentcost dt 64sen t+64sentcost dt [ t sent ] π [ sen +3 t ] π 64π. Por propriedade de integral de linha de campo vetorial, temos que: r F d r 64π 64π. omo o trabalho é dado por W r, então W 64π u.w.

6 álculo 3A Lista 8 Eercício 6:Verifique oteoremadegreen calculandoasduasintegraisdoenunciadopara F, 3 + i j e a fronteira da região {,; + }. 9 4 Solução: evemos verificar que r + Q P dd onde P 3 + e Q O esboço de é: 3 3 álculo de + r Parametrizando, no sentido anti-horário, temos 3cost e sent, com t π donde d 3sentdt e d cost. Logo: r + π [3cost 3 +3costsent ] 3sent+ [ sent3cost + +sent 3 +33cost ] costdt π 8cos 3 tsent 36costsen 3 t+36cos 3 tsent+6costsen 3 t+ +8cos t dt π 45cos 3 tsent costsen 3 t+8cos t dt [ 45 cos4 t sen4 t t+ sent ] π +8π 8π

7 álculo 3A Lista 8 Por outro lado, Q P dd 3A 3πab +3 dd 3dd com a 3 e b. Logo, Q P dd 8π e e, vemos que o teorema está verificado. Eercício 7: alcule e d + e ln+ d, onde é a fronteira da região limitada por 4 + e, orientada no sentido anti-horário. Solução: A região, limitada por está ilustrada na figura a seguir. 4 + omo F e P,Q, e ln+ é de classe no aberto U {, R ; > } contendo e está orientada positivamente, então podemos aplicar o teorema de Green. Temos, então que: + F d r dd. Q P dd e + e dd escrevendo como tipo II, temos: {, R ;, 4 + }.

8 álculo 3A Lista 8 Então: + F d r 4 + [ 5 5 ] dd 4 d Eercício 8: Use a fórmula A curvas 3 e 9. Solução: e 3 e 9 temos: + + d para calcular a área da região limitada pelas ou. Logo,, e,3 são pontos de interseção. Assim, o esboço de está representado na figura a seguir. 3 Temos. Logo: A d + d. álculo de d d+ d

9 álculo 3A Lista 8 3 Temos que : 3, com, orientada de, a,3. Então uma parametrização de édadapor : γt t,3t, com t dondeγ t,3. Logo,sendo F,,: álculo de d d 3t dt d+ d F γt γ t dt [ 3t ] 3.,t,3 dt Temos que : 9, com 3, orientada de,3 a,. Então uma parametrização de orientada de, para,3 é dada por : γt t 9,t, com t 3 donde γ t t 9,. Então: onde F,,. Logo: d d 3 d 3 F γt γ t dt 3 [, t t 9 9, t dt 9 dt t 3] 3. 7 Assim: A 3 u.a. Eercício 9: Se é a região interior à elipse e eterior à circunferência + 4, calcule a integral de linha I +e d+ ++cos d onde está orientada positivamente. Solução: O esboço de está representado na figura que se segue. omo F P,Q + e, + +cos é um campo de classe em R e está orientada positivamente, podemos aplicar o Teorema de Green. Tem-se Q + P

10 álculo 3A Lista donde Q P. Então, pelo Teorema de Green, tem-se: Q I P dd dd A área da elipse - área do disco πab πr π 5 3 π 5π 4π π. Eercício : Seja com, U R {,}. F, +, + a alcule F d r, onde é a circunferência + a, a >, orientada no sentido + anti-horário. b alcule F d r, onde é a fronteira do quadrado [,] + [, ], orientada no sentido anti-horário. c alcule F d r, onde 3 é dada na figura abaio. + 3 Solução: a O campo F P,Q +, é de classe em U R {,}. +

11 álculo 3A Lista 8 5 U Observe que donde Q P Q P. O esboço de está representado na figura que se segue. a a Seja a região limitada por. omo não está contida em U, domínio de F, pois, e, / U, então não podemos aplicar o Teorema de Green. Sendo assim, usaremos a definição. Parametrizando, tem-se { acost asent, com t π donde

12 álculo 3A Lista 8 6 { d asent dt d acost dt. Então: π [ F d asent r π a sen t a a + a cos t dt a asent+ acost a π ] acost dt sen t+cos t dt π dt π. Observe que a integral não depende do raio da circunferência. b O esboço de está representado na figura que se segue. Aqui também não podemos usar o Teorema de Green pois,, está no interior do quadrado. Usar a definição é uma tarefa complicada. Então, o que fazer? A idéia é de isolar, por uma circunferência : + a, com a <, orientada no sentido horário. onsideremos a região limitada por e. omo não contém, e está orientada positivamente, podemos aplicar o Teorema de Green em. Tem-se F d Q r P dd dd ou + r + r +

13 4 5 álculo 3A Lista 8 7 ou r r π por a + + c A curva 3 deve ser olhada como Logo: r F d r + r Usando o mesmo argumento de b, mostra-se que: r π. + 4 omo a região limitada por 5 não contém, podemps aplicar o Teorema de Green e temos que: r + 5 donde r. Logo: 5 r π + π. + 3 Eercício : alcule I e 3 + d+ + 5 d

14 álculo 3A Lista 8 8 onde é formada por e,, que vai do ponto, ao ponto,. Solução: O campo F P,Q e 3 +, + 5 é de classe em R e Q P donde Q P. O esboço da curva está representado na figura a seguir.,, alcular a integral I diretamente através da definição é uma tarefa ingrata. Será que podemos aplicar o Teorema de Green? NÃO, pois não é uma curva fechada. Mas podemos fechá-la através de uma curva simples: segmento de reta que liga, a, e depois usar o teorema de Green. Seja então, que é uma curva fechada.,, Seja R, a região limitada por. omo está orientada positivamente, podemos aplicar o teorema de Green. Tem-se então F d Q r P dd dd +

15 álculo 3A Lista 8 9 onde é dado por : + {. Logo: r dd [ ] d ou álculo de r [ d 3 3 I + ] r Tem-se : {, portanto d. Então: r e 3 + d+ + 5 d + 5 d pois, e d. Logo: F d r + 5 d ] [ Assim: donde I. I , Eercício : onsidere um campo vetorial F definido em R {,,,} satisfazendo a relação F, em todos os pontos do domínio. Suponha que r 6 e F d r 9, onde é o círculo de raio e centro, e é o círculo de raio e centro,, orientados no sentido anti-horário. alcule F d r, onde é o círculo de raio 4 e centro,, orientado no sentido anti-horário. Solução: Seja a região do plano limitada por, e. O esboço de está representado na figura que se segue.

16 álculo 3A Lista Orientando positivamente a fronteira, podemos aplicar o Teorema de Green Temos então que r + F d r + F d r pois Então: F, Q P dd dd,, Q P,,. r F d r + F d r Eercício 3: Seja uma curva simétrica em relação ao eio, que vai de 4, a 4,, como mostrada na figura que se segue. Sabendo-se que a área da região delimitada por e pelo eio vale 6, calcule o trabalho realizado pela força i F, arctg j.

17 álculo 3A Lista 8 3 4, 4, Solução: Sabemos que o trabalho é dado por W r. Mas é impossível calcular diretamente a integral pois não conhecemos a equação de. omo Q P 3, então F não é conservativo. Assim, só nos resta aplicar o Teorema de Green. Para isso, devemos fechar a curva por um segmento de reta sobre o eio, de 4, a 4,. 4, 4, 4, 4, Seja a região limitada por. omo F é de classe em R e é a fronteira de e está contida em R e está orientada no sentido anti-horário, podemos aplicar o Teorema de Green. Então, temos r 4 +3 d +arctg d }{{}}{{} + + P Q Q P dd 3 dd dd 3 dd. omo f, 3 é uma função ímpar na variável e tem simetria em relação ao eio, então: 3 dd. Assim: r + r A 6 3. álculo de r

18 álculo 3A Lista 8 3 Temos :, com 4 4 donde d. Então: F d r 4 +3 d++arctg d 4 d 4 4 [ 4 d 3] Logo: W r Eercício 4: alcule F d r, onde F, +,ln+e é definido em U {, R ; > } e é a ciclóide parametrizada por rt t sent, cost, com t [π,π]. Solução Observemos que o cálculo direto é etremamente difícil! Então, pesquisemos se F P,Q +,ln+e é um campo conservativo em U. Vemos que F é de classe em U e que Q P. omo U é um conjunto simplesmente coneo então, peloteorema dasequivalências, segue que F éconservativo ondeuma funçãopotencial ϕ, é encontrada resolvendo o sistema ϕ ϕ ln+e Integrando e em relação a e, respectivamente, temos onde f e g são constantes de integração. Fazendo f e e g /, temos que ϕ, ln+ +f ϕ, ln+e +g ϕ, ln+ +e donde, U é uma função potencial de F. Logo, pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, temos F d r ϕ rπ ϕ rπ onde rπ π, e rπ π,.

19 álculo 3A Lista 8 33 Logo: F d r ϕπ, ϕπ, 4π,e lnπ + π +e 3π + lnπ e. Eercício 5: Verifique que a seguinte integral de linha independe do caminho e calcule o seu valor: 3,3 I e ln e e d+ e ln d., Solução: Seja F P,Q e ln e, e e ln para todo, {, R ; >, > }, que é um conjunto simplesmente coneo. Temos: Q e e P em. Logo, pelo Teorema das Equivalências, segue que F é conservativo. Portanto, eiste uma função potencial ϕ, para F. Por inspeção, vemos que é uma função potencial. Então ϕ, e ln e ln,, I ϕ3,3 ϕ, e 3 ln3 e 3 ln3. Outra solução: Pelo Teorema das Equivalências segue que a integral I não depende do caminho que liga, a 3,3. Então considere : σt t,t, com t 3. Temos: I 3 3 F σt σ t dt 3 e t lnt et t + et t et lnt e t lnt et t, et t et lnt, dt dt 3 dt. Eercício 6: Mostre que o campo vetorial F, [ cos sen ] i sen j é conservativo. alcule r para a curva dada por γt e t,e t+, com t. Sugestão: Prove que a integral não depende do caminho e escolha um caminho adequado.

20 álculo 3A Lista 8 34 Solução: omo dom F R conjunto simplesmente coneo e Q P 4sen 3 cos +sen + +sen + 3 cos então pelo teorema das quatro equivalências, segue que F é conservativo. Também pelo teorema das equivalências temos que a integral F d r não depende do caminho que liga γ e, a γ,e. Então, considere a poligonal conforme figura que se segue: e /e Temos que r r + r. álculo de r Temos :, com /e donde d. Então, F d r cos sen d /e [ ] sen+cos sen /e [ ] cos /e cos e cos. e

21 álculo 3A Lista 8 35 álculo de r Temos :, com e donde d. Logo, e F d r sen d [ cos ] e cose cos. Assim, r cos e e cos e. Eercício 7: onsidere o campo vetorial F, i + j. + + a alcule, caso eista, o potencial associado ao campo F. { } b alcule F d r, onde, R ; 4 +,,, orientada no sentido horário. Solução: afazendo F P,Q +, temosque Q + 3/, P + 3/. + Logo, Q P. omo dom F R {,} e R {,} não é um conjunto simplesmente coneo, não podemos usar o teorema das equivalências. Mas isto não significa que F não seja conservativo. Então tentemos encontrar ϕ, definida em R {,} tal que ϕ F ou ϕ + ϕ + Integrando em relação a, temos: ϕ, + / d. Fazendo u + du d d du

22 álculo 3A Lista 8 36 temos ϕ, u / du u/ +f ϕ, + +f 3 erivando 3 em relação a e comparando com, temos: + +f + f f c. Fazendo c, temos que ϕ, + definida em R é uma função potencial de F. b O esboço de está representado na figura a seguir.,, Pelo teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, temos: r ϕ, ϕ, + +.