Cálculo III-A Módulo 6

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1 Universidde Federl Fluminense Instituto de Mtemátic e Esttístic Deprtmento de Mtemátic Aplicd álculo III-A Módulo 6 Aul urvs Prmetrids Objetivo Prmetrir curvs plns e espciis. Prmetrição de curvs Prmetrir um curv R n n = ou 3) consiste em presentr um função vetoril σ : I R R n n = ou 3), onde I é um intervlo e σi) =. t σ σt) I Eemplo SendoA,B R n n = ou 3),prmetrieosegmentoderet deetremiddeinicilaefinlb. Se P, então OP = OB + tab, t ou P = B + tb A), t ou P = B +tb A), t. Logo, um prmetrição do segmento é dd por σt) = B +tb A), t.

2 álculo III-A Módulo 6 Eemplo Sej plno, o gráfico de um função = f), I.,f)) I Então, um prmetrição de é dd por σt) = t,ft)),t I. Eemplo 3 Sej circunferênci + =, > ; P =,) e t o ângulo em rdinos entre o eio positivo e semirret OP. t P Observe que qundo t ument de π, o ponto P =,) = cost,sent) se move, um ve sobre no sentido nti-horário prtir do ponto,). Logo, um prmetrição de é σ t) = cost,sent), t π. Observe que σ t) = sent, cost), t π é tmbém um prmetrição de, pois + =. Neste cso, qundo t ument de π, o ponto P se move um ve o longo de no sentido horário, prtir do ponto,). Observe que σ 3 t) = cosπ t), senπ t)) = cost, sent), t π é outr prmetrição de, e P se move o longo de no sentido horário prtir do ponto,).

3 álculo III-A Módulo 6 3 Eemplo 4 Sej circunferênci : ) + ) =, de centro, ) e rio. Efetundo um mudnç de vriáveis u = e v =, temos u +v = que é um circunferênci no plno uv, de centro,) e rio. Logo, { u = cost, t π. v = sent Substituindo cim, temos { = +cost = +sent Assim, um prmetrição diferenciável de é dd por, t π. σt) = +cost, +sent), t π. Eemplo 5 Sej um elipse : ) + ) é um prmetrição de. =. Fendo u = b e v =, mostrmos que b σt) = +cost, +bsent), t π Eemplo 6 Sej um curv do espço dd pel interseção do cilindro + = com o plno + =. ) Esboce. b) Apresente um prmetrição diferenciável pr. ) Inicilmente, fçmos o esboço do cilindro + =. Desenhemos, no plno, circunferênci + =. Pelos pontos,,),,,),,,) e,,) trcemos prlels o eio.,,),,),,),,)

4 álculo III-A Módulo 6 4 Pr esboçr o plno + =, trçmos ret + = no plno. Observe que equção do plno não contém vriável. Por isso, por pontos d ret trçmos prlels o eio. Agor, juntemos s dus figurs, procurndo destcr lguns pontos de interseção. A ret + = intercept ocilindro nospontosa ea. Por outro ldo, retdo plno, prlel oeio, pssndo por,,), intercept o cilindro nos pontos B e B. A curv pss por A, B, A e B. A B B A b) Sej,,). Logo, e stisfem + =. Assim, = cost, = sent, t π. omo =, então = cost. Logo, é um prmetrição de. σt) = cost,sent, cost), t π Eemplo 7 Sej curv no espço representd pel função vetoril σt) = cost,sent,bt), t 4π, >, b >. Esboce, dit hélice circulr.

5 álculo III-A Módulo 6 5 De = cost, = sent, temos + =. Isso signific que está contid no cilindro + =. omo = bt, qundo t vi de 4π, o ponto,,) percorre hélice contid no cilindro.,,4π) Aul Integrl de Linh de mpo Esclr Objetivo ompreender e noção de integrl de linh de cmpo esclr; Estudr lgums proprieddes. Nest ul definiremos um integrl similr um integrl definid. Sejm ddos um cmpo esclr em R 3 ou um função rel de três vriáveis f : R 3 R e um curv em R 3, dd por σt) = t),t),t)), t [,b], com σ de clsse. t t i t i = t σ σt i ) σt i ) σt i ) b = t n t i

6 álculo III-A Módulo 6 6 Dividimos o intervlo [,b] em n subintervlos I i, i =,,n, de mesmo comprimento t = b. Logo, curv fic dividid em n subrcos de comprimento s n, s,, s n, onde s i σ t i) t pr lgum t i I i. Formemos som n i= f σt i )) s i = Definimos integrl de linh de f sobre por se o limite eistir. f ds = OBS.: n i= f,,)ds = lim n b f σt i )) σ t i ) t, n i= f σt i )) σ t i ) t ) Se f é um função contínu, então o limite eiste e portnto b f,,)ds = f σt)) σ t) dt = = }{{} ds f t),t),t)) t)) + t)) + t)) dt. ) Se f,) é um função contínu em R e um curv em R, dd por σt) = t),t)), t [,b], com σ de clsse, então definimos b f ds = f,) ds = f σt)) σ t) dt = }{{} ds b = f t),t)) t)) + t)) dt. 3) Se f,) = ou f,,) = ), então f ds = comprimento de. B A

7 álculo III-A Módulo 6 7 4) A integrl de linh de um cmpo esclr f não depende d prmetrição de e nem de su orientção, isto é, denotndo por curv percorrid em outro sentido, então f ds = f ds. 5) Se é um curv dd por um prmetrição σ : [,b] R n n = ou 3), por prtes, isto é, σ é contínu e eiste um prtição = t < t <... < t n = b de [,b] de modo que σ i = σ é de clsse [ti, t i ], i =,,n, então n f ds = f ds i= i onde i = σ i [t i, t i ]). 3 Eemplo Sej interseção do cilindro prbólico = com prte do plno =, tl que. lcule ds. Fçmos = t. Logo, = t e = t. omo, então t. Assim, um prmetrição de é dd por σt) = t,t,t), t, logo σ t) = t,,). omo, ds = σ t) dt, então ds = 4t ++dt = +4t dt. Logo, ds = t +4t dt = ) +4t / tdt. Observe que d+4t ) = 8tdt, portnto tdt = d+4t ) 8. Logo, ds = 8 +4t ) / d+4t ) = t ) 3/ = 6 3/ 3/) ) =

8 álculo III-A Módulo 6 8 Eemplo lcule ds, onde é formdo pelo segmento de ret de,),), seguido do rco d prábol = de,),). O esboço de está representdo n figur que se segue. omo =, temos: álculo de ds ds = ds+ ds = ds+ ds. Um prmetrição de é dd por σt) =,t), t. Logo, σ t) =,), logo σ t) = e, portnto, ds = σ t) dt = dt. Assim, álculo de ds ds = dt =. Um prmetrição de é dd por σt) = t, t ), t, portnto σ t) =, t). Logo ds = σ t) dt = +4t dt. Então, ds = t +4t dt = ) +4t / dt. Observe que tdt = d+4t ) 8. Logo, ds = 8 +4t ) / d+4t ) = t ) 3/ ) = 5 5.

9 álculo III-A Módulo 6 9 Portnto, ds = 5 ) 5. Eemplo 3 Sej curv obtid como interseção d semiesfer + + = 4, com o plno + =. lcule f,,)ds, onde f,,) é dd por f,,) =. O esboço de é: Sej,,). Então + + = 4, e + =. Logo, + + ) = 4, ou 4+ =, ou ) + =, ou ) + =,. Logo, projeção de sobre o plno é semi-elipse de centro,) e semi-eios e. Então, = +cost = sent. = +cost) = cost omo, sent, portnto t π. Logo, um prmetrição pr é dd por σt) = +cost, ) sent, cost, t π. Temos portnto σ t) = sent, ) cost,sent ds = σ t) dt = sen t+cos t+sen tdt = dt.

10 álculo III-A Módulo 6 Então, f,,)ds = ds = π +cost) sent ) π dt = sent+sentcost)dt [ = = 4. cost+ sen t ] π Eercício : Apresente um prmetrição diferenciável pr s seguintes curvs plns: ) é o segmento de,),8). b) é prte d prábol = 3 de,3),). c) é o gráfico de 3 = de,),). d) é elipse 3 +8 = 4. e) é o gráfico de /3 + /3 =. f) é o rco de circunferênci + = 4, com. g) é curv =. h) é curv =. Eercício : Apresente um prmetrição diferenciável pr curv em R 3, interseção ds superfícies dds por ) + = e + =. b) + = 4 e + = 4, situd no primeiro octnte. c) 4 +9 = 36 e + =. d) + + = 4 e + =. e) + =, e = do ponto,,),, ). f) =, e +3 = 6 de 3,,) 3,,). g) = 3 + e +6 = 9. h) ) + = e + + = 4, com.

11 álculo III-A Módulo 6 Eercício 3: lcule com t. + + ) ds o longo d curv r t) = t i + t j + t) k, Eercício 4: lcule + 4) ds, onde é o triângulo de vértices,),,) e,). Eercício 5: lcule integrl + ) ds, onde é qurt prte d circunferênci + + = 4, =, situd no primeiro octnte. Eercício 6: lcule integrl 3 ds, onde é curv de interseção ds superfícies + + = 6, + = 4, situd no primeiro octnte.