CDI-II. Integrais em Variedades. Comprimento. Área. 1 Integral de Linha de um Campo Escalar. Comprimento. 1 B A dt =

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1 Instituto Superior écnico Deprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise Prof. Gbriel Pires CDI-II Integris em Vrieddes. Comprimento. Áre 1 Integrl de Linh de um Cmpo Esclr. Comprimento Sejm A e B dois pontos em R n. Designemos por ]A, B[ o segmento de rect entre os pontos A e B. É clro que o comprimento de ]A, B[ é ddo pel norm B A. O segmento de rect ]A, B[ pode ser descrito pel prmetrição γ :], 1[ R n, definid por Note-se que, sendo γ (t) = B A, temos B A = γ(t) = A + t(b A). B A dt = γ (t) dt e, portnto, o comprimento do segmento de rect [A, B] é ddo pelo integrl γ (t) dt. Sej Γ um linh descrit por um prmetrição γ : ], b[ R n. Pr definir o comprimento de Γ podemos recorrer o procedimento ilustrdo n figur 1. γ(t 1 ) γ(t ) = γ(t) γ(t 3 ) A = γ(t ) γ γ(t 4 ) B = γ(t 5 ) t t 1 t t t 3 t 4 t 5 Figur 1: Comprimento de um linh

2 Consideremos linh poligonl constituíd por segmentos de rect entre os pontos γ(t ), γ(t 1 ), γ(t ),, γ(t N ), em que = t < t 1 < t < < t N = b com N N. Note-se que n figur 1 temos N = 5. É fácil ceitr que o comprimento dest linh poligonl é um proimção por defeito do comprimento d linh Γ. Note-se tmbém que o comprimento d linh poligonl cresce à medid que N. Assim, se tomrmos o supremo dos comprimentos ds linhs poligonis obtids dest form teremos um bo definição de comprimento d linh Γ. Ddo que o comprimento d linh poligonl é ddo por N γ(t k ) γ(t k 1 k=1 o comprimento d linh Γ será definido por l(γ) = sup{ N N N γ(t k ) γ(t k 1 }. k=1 Note-se que, pelo eorem Fundmentl do Cálculo, temos e, portnto, γ(t k ) γ(t k 1 = tk t k 1 γ (t)dt N γ(t k ) γ(t k 1 k=1 N tk t k 1 γ (t) dt = b k=1 γ (t) dt. Assim, teremos seguinte definição de comprimento de um linh Γ. Definição 1.1 Chm-se comprimento de um linh Γ R n descrit pel prmetrição γ : ], b[ R n o integrl definido por l(γ) = b γ (t) dt. endo em cont s plicções, vmos doptr seguinte definição de integrl de linh de um cmpo esclr (c.f. [, 3, 1]).

3 Definição 1. Sej φ : R n R um cmpo esclr e consideremos um linh Γ R n descrit pel prmetrição γ : ], b[ R n. Chm-se Integrl de Linh do Cmpo Esclr φ o longo d linh Γ o integrl definido por b φ = φ(γ(t)) γ (t) dt Γ 1.1 Aplicções ) Comprimento de um Linh Sej φ 1. Então, o integrl de linh de φ é o comprimento d linh Γ. b) Mss de um fio Γ φ = b γ (t) dt = l(γ) Sej φ : S R densidde de mss por unidde de comprimento do mteril que constitui um fio descrito por um prmetrição γ : ], b[ R n. Então, o integrl de linh de φ b φ = φ(γ(t)) γ (t) dt = M é mss M do fio. c) Centro de mss Γ Sej δ : S R densidde de mss por unidde de comprimento do mteril que constitui um fio de mss M descrito por um prmetrição γ : ], b[ R n e sej φ() = 1 M iδ(); i = 1,,..., n O centro de mss é o ponto de coordends ( 1,,..., n ) clculds d form seguinte i = 1 M d) Momento de inérci b g i (t)δ(γ(t)) γ (t) dt ; i = 1,,..., n Sej L um linh rect e designemos por d L () distânci do ponto R n à linh L. 3

4 O momento de inérci d linh Γ reltivo à rect L é o integrl de linh d função φ() = δ()d L (), ou sej, 1. Eemplos I L = b δ(γ(t))d L(γ(t)) γ (t) dt 1. Sej Γ um circunferênci de rio R e centro n origem de R, (ver Figur ) e descrit por γ(t) = (R cost, R sen t) ; < t < π C R Figur : Um circunferênci de rio R em R Então, o comprimento de Γ é ddo por l(γ) = γ (t) dt = Γ π Rdt = πr. Consideremos prábol P definid pel equção =, com 1 < < 1 e que se present n Figur 3. Sej γ : ] 1, 1[ R prmetrição de P definid por g(t) = (t, t ). Então, γ (t) = (1, t) = 1 + 4t e, portnto, o comprimento de P será ddo por l(p) = t dt = 1 + 4t dt. Pr clculr este integrl recorremos à mudnç de vriável definid por t = sh θ, em que sh θ = eθ e θ. 4

5 Sbendo que é fácil ver que se tem e ch θ = eθ + e θ, ch θ sh θ = 1 sh θ = ch θ ; ch θ = sh θ. Note-se que e Portnto, teremos l(p) = sh θ = e θ = e θ θ = sh θ = e θ 4e θ 1 = e θ = + 5 θ = ln( + 5) t dt = = 1 4 ln(+ 5) ch θdθ [ ( + 5) 1 ( + 5) + ln( + ] 5). P 1 1 Figur 3: Um prábol em R 3. Sej Γ um fio de um mteril cuj densidde de mss é dd por δ(, ) = e tem configurção de um espirl descrit por (ver Figur 4) Então γ(t) = (t cost, t sen t) ; < t < 4π. γ (t) = (cost t sen t, sen t + t cost) = 1 + t ; δ(γ(t)) = t 5

6 Γ Figur 4: Um espirl em R e, portnto, mss de Γ será dd por M = 4π δ(γ(t)) γ (t) dt = 4π t dt = 4π 1 + t A coordend do centro de mss é dd por = 1 δ(, ) = 1 4π 1 t sen t 1 + t dt = 1 M 4π 1 + t 4π Γ 4π t sen tdt = 1 4. Sej Γ R 3 um fio de um mteril com densidde de mss δ(,, ) = e cuj configurção é de um hélice cilíndric descrit por (ver Figur 5) γ(t) = (cost, sen t, t) ; < t < 4π Γ Figur 5: Hélice cilíndric em R 3 Então γ (t) = e o momento de inérci de Γ reltivo o eio é ddo pelo integrl de linh I (Γ) = ( + ) = 4π tdt = 8 π Γ 6

7 Not 1.1 A fórmul do comprimento de um linh Γ, prmetrid por um função γ : ], b[ R n, pode ser escrit noutr form. De fcto, l(γ) = b γ (t) dt, γ (t) = γ (t) γ (t) e, se tivermos em cont que derivd γ (t) é representd por um mtri com n linhs e um colun, teremos γ (t) = γ (t) γ (t) = γ (t) t γ (t), em que γ (t) t design mtri trnspost de γ (t). Sbendo que γ (t) t γ (t) é um mtri com um linh e um colun, teremos e, portnto, γ (t) t γ (t) = det(γ (t) t γ (t)) l(γ) = b det(γ (t) t γ (t))dt. Veremos, mis dinte, que pr o cálculo d áre de um superfície ou, mis gerlmente, pr o cálculo do volume-m de um vriedde-m teremos um fórmul semelhnte. 1.3 Áre de um superfície Sej {e 1, e } um bse ortonormd em R e consideremos o prlelogrmo determindo por dois vectores {t 1, t }. É sbido, d Álgebr Liner, que áre do prlelogrmo é dd pelo determinnte d mtri cujs coluns são os vectores t 1, t escritos n bse {e 1, e }. Por eemplo, considerndo bse cnónic em R, áre do prlelogrmo definido pelos vectores t 1 = (, ) e t = (1, 1) é dd por [ ] 1 det = 1 Consideremos dois vectores linermente independentes {t 1, t } em R 3 e o prlelogrmo por eles determindo. Note-se que este prlelogrmo é um subconjunto do plno gerdo pelos dois vectores t 1 e t. Sej P esse plno. Pelo processo de ortogonlição de Grm-Schmidt plicdo {t 1, t } obtemos um bse ortonormd {e 1, e } de P d seguinte mneir: e 1 = t 1 t 1 e = v v 7

8 em que v = t t, e 1 e 1 Note-se que v, e 1 = e, portnto v = v, t = t, t t, e 1 = t t, e 1 Assim, podemos eprimir t 1 e t n bse ortonormd {e 1, e }, d seguinte form ou sej, t 1 = t 1 e 1 t = t, e 1 e 1 + t t, e 1 e t 1 = t 1 e 1 t = t, t 1 t 1 e 1 + t t, t 1 t 1 e e, portnto, áre do prlelogrmo definido por t 1 e t é o determinnte t t 1,t 1 t 1 det = t 1 t t, t 1 t t,t 1 t 1 Por outro ldo, sej mtri cujs coluns são os vectores t 1 e t. Então t 1, t 1 t 1, t det t = = t 1 t t, t 1 t, t 1 t, t Assim, concluimos que áre do prlelogrmo determindo pelos vectores t 1 e t é dd por det t. Ests observções motivm seguinte definição de áre de um vriedde de dimensão (superfície) em R 3. Definição 1.3 Sej S R 3 um vriedde de dimensão e sej g : R 3 respectiv prmetrição. Então vol (S) = det Dg(t)t Dg(t)dt 8

9 Integrl de um Cmpo Esclr sobre um Vriedde Sej S R n um vriedde de dimensão p e g : R n um prmetrição de S. Sej φ : R n R um cmpo esclr. A definição de áre de um vriedde de dimensão em R 3 é um bo motivção pr definir o integrl de um cmpo esclr sobre um vriedde. Definição.1 Define-se o integrl do cmpo esclr φ sobre S como sendo o integrl φ = φ(g(t)) det Dg(t) t Dg(t)dt S Os csos importntes são queles em que p = 1 em R ou R 3 (linhs) ou p = em R 3 (superfícies). É fácil verificr que no cso em que p = 1 temos det Dg(t)t Dg(t) = g (t) e, portnto, definição.1 tem como cso prticulr definição de integrl de linh de um cmpo esclr. De seguid presentm-se csos de cmpos esclres com interesse ns plicções em que S R 3 é um superfície descrit por um prmetrição g : R 3. ) Áre: Sej φ = 1. Então, o integrl de φ é áre de S vol (S) = φ = det Dg(t)t Dg(t)dt S b) Mss: Suponhmos que S represent um folh de um mteril com densidde de mss por unidde de áre φ. Então, o integrl de φ é mss de S M = φ = φ(g(t)) det Dg(t) t Dg(t)dt S c) Centro de Mss: Sej S um folh de um mteril com densidde de mss α. Então, o centro de mss de S é o ponto de coordends (,, ) determinds por = 1 α = 1 g 1 (t)α(g(t)) det Dg(t) M S M t Dg(t)dt = 1 α = 1 g (t)α(g(t)) det Dg(t) M S M t Dg(t)dt = 1 α = 1 g 3 (t)α(g(t)) det Dg(t) M M t Dg(t)dt S 9

10 d) Momento de Inérci reltivo um linh rect: Sej L um linh rect e S um folh de um mteril com densidde α. Então, o momento de inérci de S reltivo L é o integrl I L (S) = αd L = α(g(t))d L (g(t)) det Dg(t) t Dg(t)dt em que d L design distânci à linh L..1 Eemplos S i) Consideremos superfície esféric de rio R e centrd n origem que designremos por S. S = {(,, ) R 3 : + + = R } Sej g : R 3 função dd por g(θ, φ) = (R sen φ cosθ, R sen φ sen θ, R cosφ) em que =], π[ ], π[ R Então g é um função de clsse C 1, injectiv, cuj derivd R sen φ sen θ R cosφcosθ Dg(θ, φ) = R sen φ cosθ R cos φ sen θ R sen φ tem crcterístic igul dois e g() = S \ {(,, ) S : = ; } = S \ N ou sej, g é um prmetrição de S \ N. (Ver figur 6). Note-se que Dg(θ, φ) t Dg(θ, φ) = [ R sen φ R e, portnto det Dg(θ, φ)t Dg(θ, φ) = R sen φ ] Sendo N um semicircunferênci sobre S, temos vol (S ) = vol (S \ N) = det Dg(θ, φ)t Dg(θ, φ)dθdφ π ( π ) = R sen φdφ dθ π = πr sen φdφ = 4πR 1

11 S N Figur 6: Prmetrição d esfer ii) Consideremos superfície definid por P = {(,, ) R 3 : + = < 1} Em coordends cilíndrics, P é descrit pel equção = ρ. Portnto, consideremos função g : R 3 definid por g(ρ, θ) = (ρ cosθ, ρ sen θ, ρ ) em que =], 1[ ], π[ R Est função é de clsse C 1, injectiv e su derivd cosθ ρ sen θ Dg(ρ, θ) = sen θ ρ cosθ ρ tem crcterístic igul dois. Pr lém disso, g() = P \ {(,, ) P : ; = } = P \ N Portnto, função g é um prmetrição de P \ N. (Ver figur 7). Note-se que Dg(ρ, θ) t Dg(ρ, θ) = [ ] 1 + 4ρ ρ e, portnto, det Dg(ρ, θ)t Dg(ρ, θ) = ρ 1 + 4ρ 11

12 P N Figur 7: Prmetrição de um prbolóide Sendo N um linh sobre P, temos, vol (P) = vol (P \ N) = iii) Sej C superfície cónic definid por = = π 6 π det Dg(ρ, θ)t Dg(ρ, θ)dρdθ ( = π 6 (53/ 1) ρ ) 1 + 4ρ dρ dθ 1ρ 1 + 4ρ dρ C = {(,, ) R 3 : < + = < 1} Em coordends cilíndrics C é descrit pel equção = ρ e, portnto, tl como no eemplo nterior, consideremos função g : R 3 definid por g(ρ, θ) = (ρ cosθ, ρ sen θ, ρ) em que =], 1[ ], π[ R Est função é de clsse C 1, injectiv e su derivd cosθ ρ sen θ Dg(ρ, θ) = sen θ ρ cosθ 1 tem crcterístic igul dois. Pr lém disso, g() = C \ {(,, ) M : ; = } = C \ N 1

13 C N Figur 8: Prmetrição de um cone Portnto, função g é um prmetrição de C \ N. (Ver figur 8). Note-se que det Dg(ρ, θ) t Dg(ρ, θ) = ρ Sendo N um segmento de rect sobre C, temos, vol (C) = vol (C \ N) = det Dg(ρ, θ)t Dg(ρ, θ)dρdθ π ( ) = ρdρ dθ = π = π ρdρ iv) Consideremos porção do plno, representdo n figur 9, definido por Π = {(,, ) R 3 : + + = 1 ; > ; > ; > } e respectiv prmetrição g : R 3 dd por g(, ) = (,, 1 ) em que Sendo = {(, ) R : < < 1 ; < < 1 }. Dg(, ) =

14 Π Figur 9: Prmetrição de um plno obtemos vol (Π) = = 3dd ( = 3 3 = 3d ) d (1 )d v) Consideremos o toro com rios R e r definido por = {(,, ) R 3 : ( + R) + = r } ou sej, superfície que se obtém fendo rodr em torno do eio circunferênci no plno com centro em (R, ) e rio r e descrit pelo ângulo φ, contdo prtir do plno = no sentido positivo. Designemos por θ o ângulo de rotção em torno do eio e medido prtir do eio no sentido positivo. Sej e g : D R 3 definid por D = {(θ, φ) R : < θ < π, < φ < π} g(θ, φ) = ((R + r cosφ) cosθ, (R + r cosφ) sen θ, r sen φ) Fcilmente se verific que g é de clsse C 1 e injectiv e respectiv derivd (R + r cosφ) sen θ r sen φ cosθ Dg(θ, φ) = (R + r cosφ) cosθ r sen φ senθ r cosφ 14

15 N φ Figur 1: Prmetrição de um toro tem crcterístic igul dois. Portnto, g é um prmetrição de em que tl como se represent n figur 1. \ N N = {(,, ) : = } {(,, ) : = } Sendo N união de dus linhs em, temos vol ( ) = vol ( \ N) = det Dg(θ, φ)t Dg(θ, φ)dθdφ D π ( π ) = r(r + r cosφ)dθ dφ vi) Consideremos superfície dd por = 4π Rr H = {(,, ) R 3 : + = + 1, < < 1} e que represent um folh de um mteril com densidde de mss dd por α(,, ) = Em coordends cilíndrics (ρ, θ, ) est superfície é descrit pel equção ρ = + 1 e, portnto, consideremos função g : R 3 definid por g(θ, ) = (( + 1) sen θ, ( + 1) cosθ, ) em que = {(θ, ) R : < θ < π ; < < 1} 15

16 H N Figur 11: Prmetrição de um hiperbolóide Então, g é de clsse C 1, injectiv e respectiv derivd ( + 1) sen θ cos θ +1 Dg(θ, ) = ( + 1) cosθ sen θ +1 1 tem crcterístic igul dois, ou sej é um prmetrição de H \ N em que tl como se represent n figur 11. A mss de C é dd por M = α = C = N = {(,, ) : =, } π π = π ( α(g(θ, )) ) det Dg(θ, ) t Dg(θ, )d dθ ( ) 1 + 1d dθ + 1 A coordend do centro de mss de C é dd por = 1 α = 1 π ( g 3 (θ, )α(g(θ, )) ) det Dg(θ, ) M C π t Dg(θ, )d dθ = 1 π ( ) d dθ π = 1 16

17 Sej d (,, ) = + distânci o eio. O momento de inérci de C reltivo o eio é ddo por I = αd = α(g(θ, ))d L (g(θ, )) det Dg(θ, ) t Dg(θ, )dθd C π ( ) = ( + 1)d dθ = 8π 3 *** Referêncis [1] om M. Apostol. Clculus II. Editoril Reverté, SA, [] Luís. Mglhães. Integris em Vrieddes e Aplicções. eto Editor, [3] J. E. Mrsden nd A. J. romb. Vector Clculus. W. H. Freemn nd Compn,