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1 Proª Cristine Guedes 1 DERIVADA Cristineguedes.pro.br/ceet

2 Ret Tngente Como determinr inclinção d ret tngente curv y no ponto P,? 0 0 Proª Cristine Guedes

3 Pr responder ess pergunt considermos um ponto Q 1, 1 sobre curv e clculmos inclinção d ret secnte PQ. 3 Proª Cristine Guedes

4 O quociente ornece inclinção d ret secnte, portnto zendo o ponto Q se proimr do ponto P o longo d curv y =, implic que 1 se proim de 0, isto é Qundo esse limite eiste, ele ornece inclinção d ret tngente à curv no ponto 0, m t lim lim Proª Cristine Guedes

5 Velocidde Médi 5 Suponhmos que um corpo se move em linh ret e que S = St represente o espço percorrido pelo móvel té o instnte t. Então, no intervlo de tempo entre t e t t, o corpo sore um deslocmento S S t t S t. Deinimos Velocidde Médi nesse intervlo de tempo como o quociente: v m S t t t S t Proª Cristine Guedes

6 Velocidde Instntâne 6 Pr obter Velocidde Instntâne, clculmos velocidde médi em intervlos de tempo cd vez menores. Desse modo, temos: t v inst lim t0 S t lim t0 S t t t S t Proª Cristine Guedes

7 Acelerção Instntâne 7 Pr obter Acelerção Instntâne, clculmos celerção médi em intervlos de tempo cd vez menores. Desse modo, temos: t inst lim t0 v t lim t0 v t t t v t Proª Cristine Guedes

8 Derivd em um ponto 8 A derivd de um unção no ponto 1, denotd por 1 é deinid pelo limite: lim 0 Este limite nos dá inclinção d ret tngente à curv y= no ponto de bsciss 1. Proª Cristine Guedes

9 A Derivd de um unção 9 A derivd de um unção y = é unção denotd por, tl que o seu vlor em qulquer ponto do seu domínio é dd por lim 0, se esse limite eistir. Dizemos que um unção é derivável qundo eiste derivd em todos os pontos de seu domínio. y dy d Proª Cristine Guedes

10 Eemplos: 10 Clcule s seguintes derivds pel deinição: 5 6 1, encontre. b 3, encontre. c Encontre equção d ret tngente à curv, que sej prlel à ret 8-4y+1=0 d Encontre equção d ret norml à curv y =, no ponto P, 4. y Proª Cristine Guedes

11 Derivds lteris 11 Se unção y = está deinid em 1, então derivd à direit de em 1, denotd por + 1 é deinid por: lim 0 Se unção y = está deinid em 1, então derivd à esquerd de em 1, denotd por - 1 é deinid por: lim 0 Um unção é derivável em um ponto, qundo s derivds lteris nesse ponto são iguis. Proª Cristine Guedes

12 Teorem: Tod unção derivável num ponto 1, é contínu nesse ponto. OBS: A recíproc não é verddeir. E : se se Proª Cristine Guedes

13 Regrs de Derivção Derivd de um unção constnte Se k é um constnte e = k pr todo, então = 0. - Derivd de um unção potênci Se n é um número inteiro positivo e = n, então: = n. n-1 Eemplo: Sej = 5 = Derivd de um unção multiplicd por k Sejm um unção, k um constnte e g unção deinid por g = k., então: g = k.. Eemplo: = 8 = 8. = 16 Proª Cristine Guedes

14 Eemplo Determinr equção d ret norml o gráico de = + 1, no ponto de bsciss 1. 1 = 0 = 1 14 Proª Cristine Guedes

15 4 - Derivd d Som Sejm e g dus unções e h unção deinid por h = + g. A derivd d som é: h = + g. Eemplo: = Derivd do Produto = = = Sejm e g dus unções e h unção deinid por h =. g. A derivd do produto é: h =. g +.g y = u.v + u.v OBS: A derivd do produto não é o produto ds derivds. Eemplo = = Proª Cristine Guedes

16 6 - Derivd do quociente Sejm e g dus unções e h unção deinid por h = / g. A derivd do quociente é: h' g. '. g' [ g ] y' v. u' u. v' v Eemplo: ' ' Proª Cristine Guedes

17 Proª Cristine Guedes Derivd d Função Eponencil.ln 1. lim 1. lim. lim lim ln e e

18 Eercícios Proª Cristine Guedes 18 e e d c e b Encontre equção d ret tngente à curv no ponto 1, e/. 1 e y

19 Derivd ds unções trigonométrics Proª Cristine Guedes 19.cot cos sec cos sec. sec sec cos sec cot sec cos cos g tg g tg sen sen

20 Eercícios 0 1 Encontre equção d ret tngente à curv sec cos no ponto π/3, 1. Que vlores de zem com que o gráico de = +. sen tenh um tngente horizontl? cos 3 Encontre os pontos d curv y que possuem sen tngente horizontl. Proª Cristine Guedes

21 4 Um escd com 10 m de comprimento está poid em um prede verticl. Sej o ângulo entre o topo d escd e prede e distânci d bse d escd té prede. Se bse d escd escorregr pr longe d prede, com que rpidez vi vrir em relção qundo? 3 1 Proª Cristine Guedes

22 Derivd ds Funções Composts Regr d Cdei Se e g são unções dierenciáveis, então derivd d unção compost g é dd por: [g] = g. g Eemplo Clcule derivd de h = A unção h é compost, = 10 e g = + 1. Pel regr d cdei, temos h = g. g = = Proª Cristine Guedes

23 Eercícios 3 b c y y y d e y y y Proª Cristine Guedes

24 Proª Cristine Guedes 4 sec cot 8 cos g m tg l e k e j e i sen h sen g sen

25 Derivd d Função Invers 5 Sej inversível e derivável no número = -1 b, com 0. Então su unção invers -1 é derivável em b, com 1 1 b 1 b 1 Eemplo: Considere unção =3 + 1 n vizinhnç do ponto =. Clcule derivd d unção invers de no ponto b = = 13. Proª Cristine Guedes

26 1 ln.ln 1 log Derivd ds Funções Logrítmics Proª Cristine Guedes 6.ln 1.ln 1 log 1 1 log log 1 1 1

27 Eercícios Proª Cristine Guedes 7 y y e y d sen c b sen 3 1 ln log 1 ln ln 5 4 3/ 10 3

28 Derivds Sucessivs 8 No estudo de máimos e mínimos, vmos precisr não pens d derivd de um unção, ms de sus demis derivds ds derivds ds derivds. A derivd de um unção é chmd de primeir derivd de e é denotd por. A derivd de é chmd de segund derivd de e é denotd por. A derivd de é chmd d terceir derivd de, e é denotd por ; e ssim sucessivmente. Proª Cristine Guedes

29 9 DERIVADAS DE ORDENS SUPERIORES A derivd de um unção é tmbém um unção de. conseqüentemente, podemos clculr su derivd. Teremos derivd segund d unção. y dy d d dy d y d d d Generlizndo, podemos clculr n-ésim derivd de um unção y n d y d n n Proª Cristine Guedes

30 Eemplos: A derivd segund d unção y=sen é: y sen dy cos d d y d sen A derivd segund d unção y=e é: y e dy d d y d e 4e 30 Proª Cristine Guedes

31 Eercícios Proª Cristine Guedes 31 Encontre tods s derivds ds unções bio: ln 3 3 d sen c e b

32 Ts Relcionds 3 1 Está sendo bombedo r pr dentro de um blão esérico e seu volume cresce um t de 100 cm 3 /s. Quão rápido o rio do blão está crescendo qundo o diâmetro é 80 cm? Um tnque de águ tem orm de um cone circulr reto invertido, com bse de r = m e h = 4m. Se águ está sendo bombed pr dentro do tnque um t de m 3 /min, encontre t de vrição do nível d águ, qundo águ estiver 3m de proundidde. Proª Cristine Guedes

33 Derivção Implícit 33 Dd um equção envolvendo s vriáveis e y, muits vezes não conseguimos isolr o y. Qundo isso contece, dizemos que y é um unção implícit de. Por eemplo:.y + y. = y Pr clculr derivd de um unção n orm implícit temos que derivr os dois membros d equção em relção pr encontrr dy/d, não esquecendo de usr Regr d Cdei pr derivr os termos que contêm y, já que y é unção de. Proª Cristine Guedes

34 Eercícios Proª Cristine Guedes 34 1 Encontre dy/d: y y y b Encontre equção d ret tngente e d ret norml à curv no ponto 1, y y y y y c 3

35 Máimos e Mínimos 35 Considere unção y = e suponh que 1 é um ponto do domínio de. I O ponto 1 é um ponto de máimo locl ou reltivo d unção se eiste um intervlo berto contendo 1, tl que 1, pr todo D. II O ponto 1 é um ponto de mínimo loclou reltivo d unção se eiste um intervlo berto contendo 1, tl que, pr todo D. 1 Eemplos: = 3, 3. = 0, 0. Dí, = 3 é ponto de máimo locl. Dí, = 0 é ponto de mínimo locl. Proª Cristine Guedes

36 Eemplos: = 6, 6. Dí, = 6 é ponto de mínimo locl. = 13, 13, dí, = 13 é ponto de máimo locl. = 15, 15, dí, = 15 é ponto de mínimo locl. Se 1 é um ponto de mínimo locl dizemos que 1 é um vlor de mínimo d unção. Vlores de mínimo d unção : -6 e 3. Se 1 é um ponto de máimo locl dizemos que 1 é um vlor de máimo d unção. Vlores de máimo d unção : 3 e 6. III - Diz-se que 1 é um ponto de máimo globl ou bsoluto d unção se, pr todo D. 1 IV - Diz-se que 1 é um ponto de mínimo globl ou bsoluto d unção se 1, pr todo D. Observe que unção não possui ponto de máimo globl. Os pontos de mínimos globis d unção são: = 0 e = 6 36 Proª Cristine Guedes

37 Eemplo 3 - Encontrndo Etremos Absolutos Função y y b y c d, Domínio D Etremos Absolutos em D Ausênci de máimo bsoluto. Mínimo bsoluto 0 qundo = 0. [0, ] Máimo bsoluto 4 qundo =. Mínimo bsoluto 0 qundo = 0. 0, ] Máimo bsoluto 4 qundo =. Ausênci de mínimo bsoluto. y 0, Ausênci de etremos bsolutos. 37 Proª Cristine Guedes

38 38 Teorem do Vlor Etremo pr Funções Contínus Se é contínu pr todos os pontos do intervlo echdo I, então ssume tnto um vlor máimo M como um vlor mínimo m em I. Ou sej, há números 1 e em I tis que 1 = m e = M e m M pr qulquer outro vlor de em I. Figur bio Proª Cristine Guedes

39 39 Proª Cristine Guedes

40 Teorem de Etremos Locis 40 Se um unção possui vlores máimo ou mínimo locis em um ponto c interior de seu domínio e se eiste em c, então c = 0 OBS: A recíproc desse Teorem não é verddeir, ou sej, o to d derivd em c ser zero, não implic necessrimente em c ser um etremo locl. Proª Cristine Guedes

41 Ponto Crítico 41 Um ponto de um unção onde = 0 ou não eiste é um ponto crítico de. Os pontos críticos são os cndidtos etremos locis de um unção. Proª Cristine Guedes

42 Função Crescente / Função Decrescente 4 Sej um unção deinid em um intervlo I. Então, 1. é crescente em I se, pr todos os pontos 1 e em I, 1 1. é decrescente em I se, pr todos os pontos 1 e em I, 1 1 Proª Cristine Guedes

43 Proª Cristine Guedes Teste d Primeir Derivd Crescimento 43 Suponh que sej contínu em [, b] e derivável em, b: Se > 0 em todos os pontos de, b, então é crescente em [, b]. Se < 0 em todos os pontos de, b, então é decrescente em [, b].

44 Teste d 1ª Derivd pr Etremos Locis Se é negtiv à esquerd de c e positiv à direit de c, então possui um mínimo locl em c.. Se é positiv à esquerd de c e negtiv à direit de c, então possui um máimo locl em c. 3. Se possui o mesmo sinl em mbos os ldos de c, então c não é um etremo locl de. Proª Cristine Guedes

45 Eemplos 45 Eemplo 1 - Determine os vlores máimo e mínimo bsolutos e reltivos de: = 10 - ln no intervlo [1, e ]. Proª Cristine Guedes

46 Eemplo - Determine os vlores etremos de Proª Cristine Guedes

47 Teorem de Rolle 47 Suponh que y = sej contínu em todos os pontos de [, b] e derivável em todos os pontos de, b. Se b 0 Então há pelo menos um número c em, b onde c = 0. O Teorem de Rolle diz que um curv derivável tem o menos um tngente horizontl entre dois pontos quisquer onde curv cruz o eio. Ess curv tem três. Proª Cristine Guedes

48 Teorem do Vlor Médio 48 Suponh que y = sej contínu em um intervlo echdo [, b] e derivável no intervlo berto, b. Então há pelo menos um ponto c em, b em que b b ' c Geometricmente, o Teorem do Vlor Médio diz que, em lgum lugr entre A e B, curv present pelo menos um tngente prlel à cord AB. Proª Cristine Guedes

49 Estudo d Concvidde 49 O gráico de = 3 é côncvo pr bio em <0 e e côncvo pr cim em >0 Proª Cristine Guedes

50 O gráico de um unção derivável y = é côncvo pr cim em um intervlo berto I, se y é crescente em I >0 b côncvo pr bio em um intervlo berto I, se y é decrescente em I <0 Um ponto onde o gráico de um unção mud de concvidde é um Ponto de Inleão. =0 ou não eiste 50 Proª Cristine Guedes

51 Teste d ª Derivd pr Etremos Locis 51 Teorem 5 - O Teste d Segund Derivd pr Etremos Locis 1. Se c = 0 e c < 0, então possui um máimo locl qundo = c.. Se c = 0 e c > 0, então possui um mínimo locl qundo = c. Eemplo: Determine os etremos de = Proª Cristine Guedes

52 Problems de Mimizção e Minimizção 5 Eemplo1 - Um retângulo deve ser inscrito em um semicircunerênci de rio. Qul é mior áre que o retângulo pode ter e quis são sus dimensões? Resp: áre máim =, dimensões: Eemplo - A potênci de um bteri é dd P 100i 5i, e P em wtts. Determine corrente i em que ocorre potênci máim. Qul o vlor d potênci pr ess corrente Resp: 10A e 500W Proª Cristine Guedes

53 Eemplo3: O custo de construção de um ediício de escritórios de pvimentos ndres é ddo, em milhões de reis, por: y Se o custo médio por pvimento é C médio, encontre o vlor mínimo do custo médio por pvimento. Resp: 80 milhões de reis. y 53 Eemplo 4: O preço de um produto no mercdo, em unção do tempo decorrido pós o seu lnçmento é ddo por : 3 t t em meses e P em reis. Pt 3 3t 5t 9 Determine em que momento esse produto obteve os vlores máimo e mínimo, em 8 meses no mercdo. Resp: má em 8 meses e mín em 5 meses Proª Cristine Guedes

54 Pt 3 t 3t 3 [0,8] 5t 9 54 Proª Cristine Guedes

55 Regr de L Hospitl 55 Regr de L Hôpitl 0 Indeterminção d orm ou 0 Sejm e g unções dierenciáveis num intervlo berto I em torno de um ponto, eceto possivelmente no ponto. Suponh que g 0 pr I, : Se lim 0, lim g 0 e lim ' g' L, então: lim g L, Proª Cristine Guedes

56 Se lim ou, lim g ou, e lim ' g' L, então: lim g L, Eemplos: 1 9 lim ln b lim 56 OBS: Qundo tivermos indeterminções do tipo temos que mnipulr epressão pr chegr em 0/0 ou /, pr plicr L Hospitl. Proª Cristine Guedes 1, 0.,

57 Eemplos: lim 1 Re sp: 3/ b lim Re sp: e c lim Re sp:1/ 57 Proª Cristine Guedes

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