FUNÇÕES EM IR n. . O conjunto D é o domínio de f. O contradomínio de f consiste em todos os números. a função de domínio D dada por:

Transcrição

1 FUNÇÕES EM IR n Deinição: Sej D um conjunto de pres ordendos de números reis Um unção de dus vriáveis é um correspondênci que ssoci cd pr em D ectmente um número rel denotdo por O conjunto D é o domínio de O contrdomínio de consiste em todos os números reis com em D Eemplo: Determine o domínio d seuinte unção 5 Eemplo: Sej unção de domínio D dd por: 9 D { IR : + 9} Esoce ráico de e ei os trços pr 4 6 e 8 Deinição: Chm-se curv de nível de ltur cot k à projecção sore o plno d equção k Deinição: Sej um unção de dus vriáveis As derivds prciis de 1ª ordem de em relção e são s unções e tis que desde que estes ites eistm h 0 h 0 + h h + h h Cpítulo II Funções em IR n 1

2 Cpítulo II Funções em IR n Notção pr derivds prciis de primeir ordem: Sej Notção pr derivds prciis de seund ordem: Teorem: Schwr Sej um unção de dus vriáveis e Se são contínus num conjunto erto A então A Eemplo: Clcule s derivds prciis de ª ordem de 3 3 +

3 Cpítulo II Funções em IR n 3 LIMITES E CONTINUIDADE Deinição: Sej um unção de dus vriáveis deinid no interior de um círculo de centro ecepto possivelmente em O ite de qundo tende pr é L e escreve- se L se e só se > 0 ε 0 δ > : 0 < < δ + ε < L Proprieddes: Sejm e unções de dus vriáveis Se e têm ites qundo tende pr então veriicm-se s seuintes proprieddes: i [ ] ± ± ii iii se 0 iv se 0

4 Deinição: Um unção de dus vriáveis é contínu num ponto interior do seu domínio se e só se Eemplo: Clcule se possível os seuintes ites: c 00 + d Cpítulo II Funções em IR n 4

5 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA Deinição: Sejm e h unções de dus vriáveis tis que u v com u e v h Se pr cd pr pertencente um suconjunto D de IR o pr correspondente u v pertencer o domínio de então h deine como um unção compost de e com domínio D Deinição: Se u v com u v h e e h são dierenciáveis então: u u + v v u u + v v Eemplo: Sendo u v u + usen v com e u e e v otenh Sendo r s r + s com e p q 3 r p q pq e s p q p sen q otenh Cpítulo II Funções em IR n 5

6 c Considere v 3 w r s t v r + sv + t com r + + w s e e t determine d Sej Mostre que + 0 e Um circuito eléctrico simples consiste num resistênci R e num orç electromotri V Num certo instnte V é de 80 volts e ument à t de V ohms/min Use lei de Ohm I pr clculr t à qul corrente I R em mperes vri Cpítulo II Funções em IR n 6

7 ACRÉSCIMOS E DIFERENCIAIS Deinição: Sej e sejm e créscimos incrementos de e O créscimo incremento totl ou de é ddo por Eemplo: Sej 3 i Se e são créscimos de e respectivmente determine ii Use pr clculr vrição de qundo vri de 1 pr Deinição: Sej e sejm e créscimos de e respectivmente i os dierenciis d e d ds vriáveis independentes e são d e d ii o dierencil totl de ou dierencil totl de d ou d é ddo por d d + d d + d Eemplo: Sej 3 Determine d Use d pr proimr vrição de qundo vri de 1 pr Compre o resultdo com vrição ect de Cpítulo II Funções em IR n 7

8 Deinição: Sej A unção é dierenciável em 0 0 se se pode escrever n orm ε1 + ε em que ε 1 e ε são unções de e que têm ite 0 qundo 00 Eemplo: Suponhmos que s dimensões em cm de um ci rectnulr vrim de 9 6 e 4 pr e 401 respectivmente Otenh usndo dierenciis um proimção d vrição do volume d ci Clcule vrição ect do volume Teorem: Se se e são contínus num reião R então é dierenciável em R Teorem: Se um unção de dus vriáveis é dierenciável em 0 0 então é contínu em 0 0 Cpítulo II Funções em IR n 8

9 DERIVADA DE FUNÇÕES DEFINIDAS IMPLICITAMENTE Teorem: Se um equção F 0 deine implicitmente um unção dierenciável de um vriável tl que então d d F F Eemplo: Clcule d se é deinid implicitmente por d Teorem: Se um equção F 0 deine implicitmente um unção dierenciável de dus vriáveis e tl que então F F F F Eemplo: Clcule e se é deinid implicitmente por Cpítulo II Funções em IR n 9

10 Derivds Direccionis Deinição: Sejm e u u1i+ u j um vector unitário A derivd direccionl de em n direcção de u é D u + su su 1 + s s0 Teorem: Se um unção dierenciável e u u1i+ u j um vector unitário então D u u1 + u Eemplo: Sej 3 i Clcule derivd direccionl de no ponto P-1 n direcção do vector 4i-3j ii Discut o siniicdo d líne se é tempertur em Clcule derivd direccionl de π 3 + n direcção de 3 Cpítulo II Funções em IR n 10

11 Deinição: Sej então o rdiente de é unção vectoril deinid por i + j Eemplo: Sej 4 Clcule o rdiente de no ponto P1 e esoce o vector ] P Use o rdiente pr clculr derivd direccionl no ponto P1 n direcção de P1 pr Q5 Clcule ind derivd direccionl no ponto P1 n direcção de ] P Teorem: Sej um unção dierenciável em Se 0 então tods s derivds direccionis de em são nuls Se 0 então de tods s possíveis derivds direccionis de em derivd n direcção e sentido tem o vlor máimo O vlor dess derivd direccionl é c Se 0 então de tods s possíveis derivds direccionis de em derivd no sentido oposto de tem o vlor mínimo O vlor dess derivd direccionl é Cpítulo II Funções em IR n 11

12 Deinição: Sejm w e u u1i+ u j+ u 3 k um vector unitário A derivd direccionl de em n direcção de u é D u + su su su s s0 Deinição: Sej w então então o rdiente de é unção vectoril deinid por i + j + k Teorem: Sej w um unção dierenciável em Se 0 então tods s derivds direccionis de em são nuls Se 0 então de tods s possíveis derivds direccionis de em derivd n direcção e sentido tem o vlor máimo O vlor dess derivd direccionl é c Se 0 então de tods s possíveis derivds direccionis de em derivd no sentido oposto de tem o vlor mínimo O vlor dess derivd direccionl é Cpítulo II Funções em IR n 1

13 Eemplo: Num sistem coordendo tempertur T no ponto 100 é dd pel órmul T + + Clcule t de vrição de T em relção à distânci no ponto P11- n direcção do vector i j+k Em que direcção prtir de P T ument mis rpidmente? Qul t máim de vrição de T em P? Cpítulo II Funções em IR n 13

14 Etremos de Funções de Váris Vriáveis Deinição: Di-se que tem um máimo reltivo no ponto 0 0 se há um círculo centrdo em 0 0 tl que D que está situdo dentro do círculo 0 0 e di-se que tem um máimo soluto em D se Deinição: Di-se que tem um mínimo reltivo no ponto 0 0 se há um círculo centrdo em 0 0 tl que D que está situdo dentro do círculo 0 0 e di-se que tem um mínimo soluto em D se Deinição: Sej de se um ponto i e ii ou não eiste 0 0 di-se ponto crítico Deinição: A superície 0 0 se e eiste um círculo centrdo em 0 0 tl que 0 0 > pr luns pontos do círculo e 0 0 < pr outros pontos do círculo tem um ponto sel em Cpítulo II Funções em IR n 14

15 Deinição: Sej um unção de dus vriáveis com derivds prciis de seund ordem contínus O discriminnte de é unção D [ ] Teorem: Sej um unção de dus vriáveis com derivds prciis de seund ordem contínus num círculo centrdo num e sej ponto crítico 0 0 D [ ] i Se D>0 e 0 0 > 0 locl em então tem um mínimo reltivo 0 0 ii Se D>0 e 0 0 < 0 locl em então tem um máimo reltivo 0 0 iii Se D<0 então tem um ponto sel em 0 0 iv Se D0 então nd se pode concluir 0 Eemplo: Sej Crcterie os etremos locis de 3 Cpítulo II Funções em IR n 15

16 Multiplicdores de Lrne Teorem: Sejm e unções de dus vriáveis com derivds prciis de primeir ordem contínus e suponhmos que 0 num reião do plno Se tem um etremo em 0 0 sujeito um vínculo 0 então eiste um número rel λ tl que 0 0 λ 0 0 Ao número rel λ chm-se multiplicdor de Lrne Corolário: Os pontos em que um unção de dus vriáveis tem etremos reltivos sujeitos o vínculo 0 estão incluídos entre os pontos determindos pels dus primeirs coordends ds soluções λ do sistem de equções + λ + λ Eemplo: Clcule os etremos de restrito à elipse se está Cpítulo II Funções em IR n 16

17 Cpítulo II Funções em IR n 17 Not: O Teorem de Lrne pode ser estendido unções de dus ou mis vriáveis em como envolver mis que um vínculo Em prticulr consideremos o prolem de determinr os etremos de sujeitos dois vínculos 0 e 0 h Se unção tem etremos reltivos sujeitos estes vínculos então esses pontos estão incluídos entre os pontos determindos pels três primeirs coordends ds soluções γ λ do sistem de equções + γ + λ + γ + λ + γ + λ h h h h Eemplo: Clcule o volume d mior ci rectnulr de ces prlels os plnos coordendos que poss ser inscrit no elipsóide