Atividade Prática como Componente Curricular

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1 Universidde Tecnológic Federl do Prná Gerênci de Ensino e Pesquis Deprtmento Acdêmico de Mtemátic Atividde Prátic como Componente Curriculr - Propost - Nome: Mtrícul: Turm: Justique su respost, explicitndo seu rciocínio, n folh própri dest tividde.. As funções polinomiis, s rcionis, s de potênci x, s exponenciis x, s logrítmics, s trigonométrics e sus inverss, s hiperbólics e sus inverss e tods quels que podem ser obtids desss pels operções de dição, subtrção, multiplicção, divisão e composição são chmds funções elementres. Se ψ é um função elementr, então ψ é um função elementr, ms ψ x, não necessrimente é um função elementr. E, de fto, miori ds funções elementres não tem ntiderivds elementres. Isso, por su vez, impõe um sever restrição o uso do Teorem Fundmentl do Cálculo n determinção de integris denids. Pode-se mostrr, por exemplo, que s funções f x = e x e g x = x e x não têm primitivs expresss por meio de funções elementres. Todvi, φ x = x + e x, tem. Prove ess últim rmção, clculndo φ x. Sugestão: Observe relção existente entre f x e φ x.. O Teorem do Vlor Médio pr Integris rm que, pr um função contínu λ, em x [, b], o vlor médio de λ nesse intervlo, λ, é efetivmente tingido por lgum ponto c [, b]. Pr ilustrr isso, considere um bstão de 8 m de comprimento, cuj densidde liner, em quilogrms por metro, é dd por λ x = x +, onde x [, 8] é medido em metros d pont do bstão. Mostre que densidde médi do bstão é efetivmente tingid em c = Pr um função contínu e positiv f em [, b], um interpretção geométric do Teorem do Vlor Médio pr Integris é que existe um número c [, b] tl que o retângulo de ltur f c e de bse [, b] tem mesm áre que região sob o gráco de f de té b. Pr ilustrr isso, determine c de modo que áre sob o gráco de f x = + x, x [, ] sej igul à áre do retângulo de ltur f c e bse 3 =.

2 4. Mostre que 7 + x Se f for contínu em [, b], mostre que b b f x f x. 6. Use desiguldde do máximo e do mínimo pr determinr limites superior e inferior pr o vlor de + x. 7. O vlor de b x x, é mximizdo por quis vlores de e b? 8. O vlor de b x 4 x, é minimizdo por que vlores de e b? 9. Encontre o vlor médio de ϕ x = x, x [, 7]. x. Ache um função f e um número tl que, pr todo x >, 6 + x f t t dt = x.. A lei do uxo lminr, descobert em 84 pelo físico frncês Jen-Louis-Mrie Poiseuille, estbelece que velocidde v do sngue que circul em um vei com rio R e comprimento l um distânci r do eixo centrl é v = P R r, 4ηl onde P é diferenç de pressão entre s extremiddes d vei e η é viscosidde do sngue. Considere v como função de r com domínio no intervlo [, R]. Determine: A velocidde médi, v, do sngue em relção r nesse intervlo. b A relção entre v e velocidde máxim do sngue.. Considere função f x = Determine f x. x 4 x, x R {,, }. b Verique, por derivção, o resultdo obtido no item.

3 3. Se um corpo em qued livre prte do repouso, então o seu deslocmento é ddo por s = gt /. Sej velocidde pós um tempo T igul v T. Mostre que, se clculrmos médi ds velociddes em relção t, obteremos v = v T /. Todvi, se clculrmos médi ds velociddes em relção s, teremos v = v T /3. 4. Integris envolvendo função rcionl de seno e cosseno precem no cálculo d velocidde ngulr médi do eixo de síd de um junt universl qundo os eixos de entrd e de síd não estão bem linhds. O mtemático lemão Krl Weierstrss notou que mudnç de vriável u = tg x, converte este tipo de função em um função rcionl ordinári de u. Utilize está técnic pr resolver integrl dd. Em seguid, use derivção pr vericr o resultdo obtido.. 3 cos x sen x b sen x + sen x. tg x c + 3 cos x. d + sen x + cos x. 5. Sej k R um constnte. Utilize dus técnics de integrção distints e proprids pr deduzir que s funções ϕ x = cotg x cossec x + k, e são primitivs d função ψ x = cotg x + k, f x = cos x. 6. Se f é um função contínu, determine o vlor d integrl I = f x f x + f x, fzendo substituição u = x e somndo integrl resultnte I. 7. Use técnic do exercício 6 pr determinr o vlor de onde n é um inteiro positivo rbitrário. π/ sen n x sen n x + cos n x, 3

4 8. Clcule integrl dd. π/ b lim x x 3. + tg x Sugestão: considere o intervlo de integrção d form [, π/4] [π/4, π/]. x t + t 4 dt. 9. Determine f se f x = e gx e g x =. Fç o que se pede. Use substituição hiperbólic pr mostrr que x t + t 4 dt. x = senh t, x x + = senh + k, k R. b Prove que, pr todo x R, senh x = ln x + x +. c Conclu que x + = ln x + x + + c, pr lgum constnte c R.. Pr x >, use substituição hiperbólic pr mostrr que x = cosh u, x = ln x + x + k, onde k R é um constnte de integrção qulquer.. Clcule 3. Fç o que se pede. x x sen t lim dt. x 3 x 3 3 t Use mudnç de vriável u = π x pr mostrr que π xf sen x = π π f sen x. b Clcule integrl π x sen x + cos x. 4

5 4. Regr de Leibniz Prove que f for contínu em [, b] e se u x e v x forem funções deriváveis de x cujos vlores situm-se em [, b], então d vx ux f t dt = f v x dv du f u x. 5. Use regr de Leibniz pr determinr o vlor de x que mximiz o vlor d integrl 6. Se x+3 x t 5 t dt. Problems como esse surgem n teori mtemátic ds eleições polítics. Vej The entry problem in politicl rce, de Steven J. Brms e Philip D. Strn Jr., em Politicl Equilibrium, editdo por Peter Ordeshook e Kenneth Shepe Boston: Kluwer-Nijho, 98, p onde f é um função contínu, che f Prove que se f for contínu, então x x sen πx = f u x u du = 8. Um luno precipitdo, o clculr integrl I = x x f t dt, u + x, f t dt du. rciocinou d seguinte form: fzendo mudnç de vriável u = + x, os novos extremos de integrção serim iguis x = u = ; x = u = e ssim integrl obtid pós mudnç de vriável seri igul zero e, portnto, I =!! Pergunt-se: O vlor de I é, de fto, zero? b Onde está o erro, se existente lgum, no rciocínio do luno? 9. Fórmuls de redução são expressões que permitem substituir um integrl que contém cert potênci de um função por um integrl d mesm form, ms com um potênci menor. Fórmuls de redução são tmbém chmds de relções de recorrênci pr integris. Deduz s seguintes fórmuls de redução: sen n x cos m x = senn x cos m+ x + n sen n x cos m x, n m. m + n m + n b tg n x = n tgn x tg n x, n >. 3. Aplicndo repetids vezes fórmuls de redução, mis cedo ou mis trde, obtém-se integrl originl em termos de um potênci bix o bstnte pr ser clculd diretmente. Determine: tg 5 x. b sen 3 x cos x. 5

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