Cálculo Diferencial e Integral II

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1 Cálculo Diferencil e Integrl II List 1 - Técnics de Integrção 1 Técnics de Integrção 1. Integrção por Substituição. 3cosx 1 + 3senx sec x tgx sen 4 xcos 5 x sen (πx)cos (πx) cotg 3 xcossc x x( x + 1) 1 1 θ cossec θ dθ xcos(lnx) (x + 1) (j), π/ x π/ sec x x 1 (k) 5 + x (l) (m) (n) (o) 5 + (x + ) 4 t dz e z + e z x 16 + x. Resolv s integris dθ secθ + tgθ 1 + sent 3. Sej um constnte. Verifique que + x = 1 rctg x + C x = 1 ln x x + + C 4. Integrção por Prtes. Obs. Em lgums integris pode ser necessário relizr um substituição de vriável ntes de utilizr o método de integrção por prtes. x 3 ln(x ) e θ senθdθ x 3 e x rcsenydy 1

2 p 4 e p dp e x cos(3x) e αx sen(βx), sendo α e β constntes não nuls. sen(lnx) x 3 e x 5. Resolv equção diferencil dy = x lnx. 6. Usndo integrção por prtes mostre que f(x) = xf(x) xf (x). 7. Use integrção por prtes pr mostrr s seguintes fórmuls de recorrênci pr n inteiro positivo e mior que. sen n x = 1 n senn 1 xcosx + n 1 sen n x n cos n x = 1 n cosn 1 xsenx + n 1 cos n x n sec n x = 1 n 1 secn xtgx + n sec n x n 1 tg n x = 1 n 1 secn 1 xtgx tg n x 8. Use o método de integrção por prtes pr mostrr que x x f (x) = f f + f f() [ ] e y y dy = e x e x 1 x x 9. Substituição trigonométric x 16 x 7 4t t 4 x 4 x x 3 16 x x x 7x 3 (4x + 9) 3 x x x 1 x + 3x

3 1. Frções prciis (x 3)(x + ) x + x + x x + 1 (x + 9) x (x + 1)(x + ) (x x ) x 3 1 x (x + 1) x x 3 x x x 4 + x 8x + 4 x A substituição z=tg(x/) 1 + senx + cosx senx cosx 1. Outrs integris trigonométrics sen 4 xcos x cosxcosx π/ sen 5 (x/) 1 cosx sec 4 x sen7xcosx sen3xsen5x tg 5 xsec x tg 3 (x)sec(x) A Integrl Definid: Proprieddes e Aplicções. Problems diversos. 13. Esboce região delimitd pels curvs y = cosx e y = cosx, no intervlo de π. Clcule áre d região compreendid entre o gráficos ds dus curvs no intervlo ddo. 14. Se w (t) represent tx de crescimento de um crinç em quilogrms por no, o que 1 w (t) signific? 3

4 15. A corrente I(t) em um fio elétrico é definid como derivd d crg Q(t), isto é, I(t) = Q (t). O que b I(t) represent? 16. A função erro definid por E(x) = x e t é muito usd em probbilidde, π esttístic e engenhri. b π Mostre que e t = [E E]. Mostre que função y = e x E(x) stisfz equção diferencil y = xy+ 3 Integris de Funções Simétrics π. Dizemos que um função f é um função pr se f( x) = f(x) pr todo x em seu domínio. Anlogmente, dizemos que um função f é um função ímpr se f( x) = f(x) pr todo x em seu domínio. Por exemplo, s funções f(x) = x e g(x) = cosx são exemplos de funções pres, enqunto h(x) = x 3 e p(x) = senx são exemplos de funções ímpres. De fto, f( x) = ( x) = x = f(x) pr todo x rel; g( x) = cos( x) = cos(x) = g(x) pr todo x rel; h( x) = ( x) 3 = x 3 = h(x) pr todo x rel; p( x) = sen( x) = sen(x) = p(x) pr todo x rel. O cálculo de integris definids envolvendo funções pres e funções ímpres pode ser simplificdo se utilizmos o seguinte resultdo: Se um função f contínu no intervlo [, ] é tl que: f é pr, então f é ímpr, então 17. Justifique porque 1 1 f(x) = f(x) =. tgx 1 + x =. + x4 f(x). 18. Sej f um função contínu no intervlo [ π, π]. Os coeficientes de Fourier de f são definidos por: c = 1 π f(x), n = 1 π f(x)cos(nx) e b n = π π π π 1 π f(x)sen(nx) pr n 1 e inteiro. Tis coeficientes são úteis pr π π decomposição de funções quisquer em termos de funções trigonométrics simples. 4

5 Ess idei é utilizd, por exemplo, nos estudos d nálise de sinis e sistems digitis. Clculr os coeficientes de Fourier ds seguintes funções: f(x) = x f(x) = x f(x) = cosx 5

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x.

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x. 6. Primitivs cd. 6. Em cd cso determine primitiv F (x) d função f (x), stisfzendo condição especi- () f (x) = 4p x; F () = f (x) = x + =x ; F () = (c) f (x) = (x + ) ; F () = 6. Determine função f que

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