CÁLCULO III - MAT Encontrar o vetor gradiente em cada ponto em que ele exista para os campos escalares definidos pelas seguintes equações:

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Ltino-Americno de Ciêncis d Vid e d Nturez Centro Interdisciplinr de Ciêncis d Nturez CÁLCULO III - MAT List de exercícios 1. Encontrr o vetor grdiente em cd ponto em que ele exist pr os cmpos esclres definidos pels seguintes equções: () f(x, y) = x + y sen(xy) (b) f(x, y, z) = x y + z (c) f(x, y) = e x cos y (d) f(x, y, z) = ln(x + y 3z ) (e) f(x, y, z) = x y 3 z 4 (g) f(x, y) = cos(πx y) ( ) x (i) f(x, y) = rctn y (k) f(x, y, z) = (x + y + z ) 1/ + ln(xyz) (f) f(x, y, z) = x yz (h) f(x, y, z) = xsen y cos z (j) f(x, y, z) = z 3 3(x + y )z + rctn(xz) (l) f(x, y, z) = e x+y cos z + (y + 1)sen x. Clculr s derivds direcionis dos seguintes cmpos esclres no ponto P 0 n direção de v. () f(x, y, z) = x + y + 3z, P 0 = (1, 1, 0), v = i j + k (b) f(x, y, z) = ( ) z x, P 0 = (1, 1, 1), v = i + j y k (c) f(x, y) = xy 3y, P 0 = (5, 5), v = 4 i + 3 j (d) f(x, y) = x + y, P 0 = ( 1, 1), v = 3 i 4 j (e) f(x, y) = x y xy +, P 0 = (1, 1), v = 1 i + 5 j ( y (f) f(x, y) = rctn + x) ( xy ) 3rcsen, P 0 = (1, 1), v = 3 i j (g) f(x, y, z) = xy + yz + xz, P 0 = (1, 1, ), v = 3 i + 6 j k (h) f(x, y, z) = x + y 3z, P 0 = (1, 1, 1), v = i + j + k (i) f(x, y, z) = 3e x cos(yz), P 0 = (0, 0, 0), v = i + j k (j) f(x, y, z) = cos(xy) + e yz + ln(xz), P 0 = (1, 1, 1/), v = i + j + k 3. Encontre os pontos (x, y) e s direções pr s quis derivd direcionl de f(x, y) = 3x + y tem o vlor máximo, se (x, y) está no círculo x + y = Um cmpo esclr diferenciável f tem, no ponto (1, ) s derivds direcionis n direção o ponto (, ) e - n direção o ponto (1, 1). Determinr o vetor grdiente em (1, ) e clculr derivd direcionl n direção o ponto (4, 6). 5. Encontre os vlores ds constntes, b e c tis que derivd direcionl de f(x, y, z) = xy + byz + cz x 3 no ponto (1,, 1) tenh o vlor máximo 64 n direção prlel o eixo Z. 1

2 6. Ddo um cmpo esclr diferenciável no ponto de R. Suponhmos que f (; v) = 1 e f (; w) =, sendo v = i + 3 j e w = i + j. Fç um esboço mostrndo o conjunto de todos os pontos (x, y) pr os quis f (; x i + y i) = 6. Clculr tmbém o grdiente f(). 7. Sejm f e g dois cmpos esclres diferenciáveis num conjunto berto S. Deduzir s seguintes proprieddes do grdiente: () f = 0 se f é constnte em S. (b) (f + g) = f + g. (c) (λf) = λ f se λ é constnte. (d) (fg) = f g + g f. ( ) f g f f g (e) = g g, nos pontos em que g Em R 3 consideremos r(x, y, z) = x i + y j + z k, e sej r(x, y, z) = r(x, y, z). () Demostrr que r(x, y, z) é um vetor unitário n direção de r(x, y, z). (b) Demostrr que (r n ) = nr n r se n é um inteiro positivo. (c) É válid fórmul do item (b) qundo n é inteiro negtivo ou zero? (d) Encontre um cmpo esclr f tl que f = r. 9. Suponhmos que f é diferenciável em cd ponto de um n-bol B(). Se f (x; v) = 0 pr n vetores linermente independentes v 1, v,..., v n e pr todo x em B(), mostrr que f é constnte em B(). 10. Suponhmos que f é diferenciável em cd ponto de un n-bol B(). () Se f(x) = 0 pr todo x em B(), mostre que f é constnte em B(). () Se f(x) f() pr todo x em B(), mostre que f() = Considerr s seis proposições que seguem reltivs um cmpo esclr f : S R, sendo S R n e um ponto interior S. () f é continu em. (b) f é diferenciável em. (c) f (; v) existe pr todo v de R n. (d) Existem tods s derivds prciis de f num vizinhnç de e são continus em. (e) f() = 0 (f) f(x) = x pr todo x de R n. Dig quis proposições implics s outrs. 1. Sej f(x, y) = x xy + y y. Encontre s direções v e os vlores de f 1, 1); v) pr os quis () f 1, 1); v) é máximo (b) f 1, 1); v) = 4 (c) f 1, 1); v) é mínimo (d) f 1, 1); v) = 3 (e) f 1, 1); v) = Sej f(x, y) = x y. Encontre s direções v e os vlores de f 1 x + y, 3 ) ) ; v pr os quis () f 1, 3 ) ) ; v é máximo (b) f 1, 3 ) ) ; v = 0 (c) f 1, 3 ) ) ; v (d) f 1, 3 ) ) ; v = (e) f 1, 3 ) ) ; v = 1 é mínimo 14. Em cd item expresse dw/dt como um função de t, utilizndo regr d cdei e tmbém expressndo w em termos de t e diferencindo diretmente em relção t.

3 () w = x + y, x = cos t, y = sen t (b) w = x + y, x = cos t + sen t, y = cos t sen t (c) w = x + y, x = cos t, y = sen t (d) w = e xy cos(xy ), x = cos t, y = sen t (e) w = ln(x + y + z ), x = cos t, y = sen t, z = 4 t (f) w = ye x ln z, x = ln(t + 1), y = rctn t, z = e t (g) w = z sen(xy), x = t, y = ln t, z = e t Em cd item expresse z/ u e z/ v como funções de u e v utilizndo regr d cdei e tmbém expressndo z diretmente em termos de u e v ntes de diferencir. Em seguid, clcule z/ u e z/ v no ponto ddo (u, v). ( () z = 4e x ln y, x = ln(u cos v) e y = u sen v, (u, v) =, π ( ) 4 x (b) z = rctn, x = u cos v e y = u sen v, (u, v) = y ). ( 13 10, π Em cd item expresse w/ u e w/ v como funções de u e v utilizndo regr d cdei e tmbém expressndo w diretmente em termos de u e v ntes de diferencir. Em seguid, clcule w/ u e w/ v no ponto ddo (u, v). ( ) 1 () w = xy + yz + xz, x = u + v, y = u v e z = uv, (u, v) =, 1. (b) w = ln(x + y + z ), x = ue v sen u, y = ue v cos u e z = ue v, (u, v) = (, 0). 17. Em cd item expresse u/ x, u/ e u/ z como funções de x, y e z utilizndo regr d cdei e tmbém expressndo u diretmente em termos de x, y e z ntes de diferencir. Em seguid, clcule u/ x, u/ e u/ z no ponto ddo (x, y, z). () u = p q q r, p = x + y + z, q = x y + z e r = x + y z, (x, y, z) = ( 3,, 1). (b) u = e qr rcsen(p), p = senx, q = z ln y e r = 1 ( π z, (x, y, z) = 4, 1 ), Assum que w = f(s 3 + t ) e f (x) = e x. Encontre w/ t e w/ s. 19. Assum que w = f ( ts, s ) t, x (x, y) = xy e ). x (x, y) =. Encontre w/ t e w/ s. 0. Vrições de voltgem em um circuito. A voltgem V em um circuito que stisfz lei V = I R vi cindo lentmente à medid que bteri descrreg. Ao mesmo tempo, resistênci R vi umentndo conforme o resistor esquent. Utilizei equção dv dt = V I I t + V R R t pr descobrir como corrente está vrindo no instnte em que R = 600 ohms, I = 0, 04 A, dr/dt = 0.5 ohm/s e dv/dt = 0, 01 V/s. 1. Vrições ds dimensões de um cix. Os comprimentos, b e c ds rests de um cix retngulr vrim com o tempo. No instnte em questão, = 1 m, b = m, c = 3 m, d/dt = db/dt = 1 m/s e dc/dt = 3 m/s. A quis txs o volume V e áre S d cix vrim nesse instnte? As digonis do interior d cix estão umentndo ou diminuindo de comprimento?. Se f(u, v, w) é diferenciável e u = x y, v = y z e w = z x mostre que x + + z = 0. 3

4 3. Coordends polres. Suponh que substitumos s coordends polres x = ρ cos θ e y = ρ sen θ em um função derivável w = f(x, y). () Mostre que w ρ = f x cos θ + f y sen θ e 1 w ρ θ = f x sen θ + f y cos θ. (b) Resolv s equções no item () pr expressr f x e f y em termos de w/ ρ e w/ θ. (c) Mostre que 4. Equções de Lplce. (f x ) + (f y ) = ( ) w + 1 ρ ρ ( ) w. θ () Mostre que, se w = f(u, v) stisfz equção de Lplce f uu + f vv = 0 e se u = (x y )/ e v = xy, então w stisfz equção de Lplce w xx + w yy = 0. (b) Sej w = f(u) + g(v), onde u = x + iy, v = x iy e i = 1. Mostre que w stisfz equção de Lplce w xx + w yy = 0 se tods s funções necessáris forem diferenciáveis. 5. Curv no espço. Sej w = x e y cos 3z. Encontre o vlor de dw/dt no ponto (1, ln, 0) n curv x = cos t, y = ln(t + ), z = t. 6. Tempertur em um circunferênci. Sej T = f(x, y) tempertur no ponto (x, y) n circunferênci x = cos t, y = sen t, 0 t π e suponh que T x = 8x 4y e T = 8y 4x. () Descubr onde ocorrem s temperturs máxim e mínim n circunferênci exminndo s derivds dt/dt e d T/dt. (b) Suponh que T = 4x 4xy+4y. Encontre os vlores máximo e mínimo de T n circunferênci. 7. Tempertur em um elipse. Sej T = g(x, y) tempertur no ponto (x, y) n elipse x = cos t, y = sen t, 0 t π e suponh que T x = y e T = x. () Loclize s temperturs máxim e mínim n elipse exminndo dt/dt e d T/dt. (b) Suponh que T = xy. Encontre os vlores máximo e mínimo de T n elipse. 8. Diferencindo integris. Sob certs condições com relção à continuidde, é verdde que, se então F (x) = de fzendo b F (x) = b g(t, x) dt, g x (t, x) dt. Utilizndo esse fto e regr d cdei, podemos encontrr derivd F (x) = G(u, x) = f(x) u g(t, x) dt g(t, x) dt, onde u = f(x). Encontre s derivds ds seguintes funções. () F (x) = x 0 t4 + x 3 dt. (b) F (x) = 1 x t3 + x dt. 9. A substituição t = g(x, y) converte F (t) em f(x, y), sendo f(x, y) = F (g(x, y)). 4

5 () Mostrr que x = F (g(x, y)) g x e = F (g(x, y)) g. (b) Considere o cso prticulr F (t) = e sin t, g(x, y) = cos(x + y ). Clculr / x e / utilizndo prte (). Comprovr o resultdo, determindo f(x, y) explicitmente em função de x e y, e clculndo diretmente / x e / prtir de f. 30. A substituição u = (x y)/, v = (x + y)/ mud f(u, v) em F (x, y). Aplicr em form dequd regr d cdei pr expressr s derivds prciis F/ x e F/ em função ds derivds prciis / u e / v. 31. As equções u = f(x, y), x = X(s, t), y = Y (s, t) definem u como função de s e t, u = F (s, t). () Aplicr um form dequd d regr d cdei pr expressr s derivds prciis F/ s e F/ t em função de / x, /, F/ s, X/ s, X/ t, Y/ s e Y/ t, (b) Se f x = f, mostrr que x F s = X x s + f x ( ) X + X Y s s s f x + Y s ( ) + f Y. s (c) Encontrr fórmuls precids pr s derivds prciis F/( s t) e F/ t. 3. Resolver o Exercício 31 em cd um dos seguintes csos prticulres: () X(s, t) = s + t, Y (s, t) = st. (b) X(s, t) = st, Y (s, t) = s t. (c) X(s, t) = s t s + t, Y (s, t) =. 33. A introdução ds coordends polres mud f(x, y) em ϕ(ρ, θ), onde x = ρ cos θ e y = ρ sen θ. Expressr s derivds prciis de segundo ordem ϕ ρ, ϕ ρ θ e ϕ em função ds derivds θ ρ prciis de f. 34. As equções u = f(x, y, z), x = X(r, s, t), y = Y (r, s, t) e Z = Z(r, s, t), definem u como função de r, s e t, digmos u = F (r, s, t). Aplicr form dequd regr d cdei pr expressr s derivds prciis F/ r, F/ s e F/ t em função ds derivds prciis de f, X, Y e Z. 35. Resolver o Exercício 34 em cd um dos csos prticulres seguintes: () X(r, s, t) = r + s + t, Y (r, s, t) = r s + 3t, Z(r, s, t) = r + s t. (b) X(r, s, t) = r + s + t, Y (r, s, t) = r s t, Z(r, s, t) = r s + t. 36. As equções u = f(x, y, z), x = X(s, t), y = Y (s, t) e z = Z(s, t) define u como função de s e t, digmos u = F (s, t). Aplicndo um form dequd d regr d cdei expressr s derivds prciis F/ s e F/ t em função ds derivds prciis de f, X, Y e Z. 37. Resolver o Exercício 36 em cd um dos csos prticulres seguintes: () X(s, t) = s + t, Y (s, t) = s t, Z(s, t) = st. (b) X(s, t) = s + t, Y (s, t) = s t, Z(s, t) = st. 38. As equções u = f(x, y), x = X(r, s, t), y = Y (r, s, t) definem u como função de r, s e r, digmos u = F (r, s, t). Aplicr um form dequd d regr d cdei e expressr s derivds prciis F/ r, F/ s e F/ t em função ds derivds prciis de f, X e Y. 39. Resolver o Exercício 38 em cd um dos csos prticulres seguintes: () X(r, s, t) = r + s, Y (r, s, t) = t. (b) X(r, s, t) = r + s + t, Y (r, s, t) = r + s + t. 5

6 (c) X(r, s, t) = r s, Y (r, s, t) = s t. 40. Sej h(x) = f(g(x)), onde g = (g 1,..., g n ) é um cmpo vetoril diferenciável em, e f um cmpo esclr diferenciável em b = g(). Utilizr regr d cdei pr mostrr que o grdiente de h pode expressr-se como combinção liner dos vetores grdientes ds componentes de g, ssim h() = n D k f(b) g k (). k=1 41. () Se f(x, y, z) = x i + y j + z k mostrr que mtriz jcobin Df(x, y, z) é mtriz identidde de ordem 3. (b) Encontrr todos os cmpos vetoriis diferenciáveis f : R 3 R 3 pr os que mtriz jcobin Df(x, y, z) é mtriz identidde de ordem 3. (c) Encontrr todos os cmpos vetoriis diferenciáveis f : R 3 R 3 pr os que mtriz jcobin é um mtriz digonl d form dig(p(x), q(y), r(z)), onde p, q e r são funções continus dds. 4. Sejm f : R R e g : R 3 R dois cmpos vetoriis definidos d seguente mneir: f(x, y) = e x+y i + sen (y + x) j, g(u, v, w) = (u + v + 3w 3 ) i + (v u ) j. () Clculr cd um ds mtrizes jcobins Df(x, y) e Dg(u, v, w). (b) Clculr função compost h(u, v, w) = f(g(u, v, w)). (c) Clculr mtriz jcobin Dh(1, 1, 1). 43. Sejm f : R 3 R e g : R 3 R 3 dois cmpos vetoriis definidos como segue: f(x, y, z) = (x + y + z) i + (x + y + z ) j, g(u, v, w) = uv w i + w sen v j + u e v k. () Clculr cd um ds mtrizes jcobins Df(x, y, z) e Dg(u, v, w). (b) Clculr função compost h(u, v, w) = f(g(u, v, w)). (c) Clculr mtriz jcobin Dh(u, 0, w). 44. Definmos f(x, y) = xy 0 e t dt pr x > 0, y > 0. Clculr / x em função de x e y. 45. Suponhmos que s equções u = f(x, y), x = X(t), y = Y (t) definem u como função de t, u = F (t). Clculr derivd terceir F (t) em função ds derivds de f, X e Y. 46. A mudnç de vriáveis x = u + v e y = uv trnsform f(x, y) em g(u, v). Clculr o vlor de g/( v u) no ponto em que u = 1 e v = 1, sbendo que em dito ponto. = f x = f = f x = f x = A mudnç de vriáveis x = uv e y = 1 (u v ) trnsform f(x, y) em g(u, v). () Clculr g/ u, g/ v e g/( u v) em função ds derivds prciis de f. (Pode supor iguldde ds derivds prciis mists.) (b) Se f(x, y) = pr todo x e y, determinr s componentes e b tis que ( ) ( ) g g b = u + v. u v 48. Dus funções F e G de um vriável e um função z de dus vriáveis estão ligds pel equção (F (x) + G(y)) e z(x,y) = F (x)g (y). com F (x) + G(y) 0. Mostrr que derivd prcil mist D,1 z(x, y) nunc é zero. (Pode supor existênci e continuidde de tods s derivds que preçm.) 6

7 49. Um cmpo esclr f é limitdo e contínu no retângulo R = [, b] [c, d]. Definimos um novo cmpo esclr g definido em R como segue: g(u, v) = v c [ u ] f(x, y) dx dy. () Pode-se mostrr que pr cd u em [, b] função A definid em [c, d] pel equção c A(y) = u f(x, y) dx é contínu em [c, d]. Use este fto pr mostrr que g existe e é contínu no retângulo berto v S = (, b) (c, d) (interior de R). (b) Assum que v [ u ] u [ v ] f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx pr todo (u, v) em R. Mostre que g é diferenciável em S e que s derivds prciis mists D 1, g(u, v) e D,1 g(u, v) existem e são iguis f(u, v) em cd ponto de S. 50. Em relção o Exercício 49. Suponhmos que u e v são expressdos prmetricmente como segue: u = A(t), v = B(t) e sej ϕ(t) = g(a(t), B(t)). () Determine ϕ (t) em termos de f, A e B. (b) Clcule ϕ (t) em termos de t qundo f(x, y) = e x+y e A(t) = B(t) = t. (Assum que R encontr-se no primeiro qudrnte) 51. Se f(x, y, z) = (r A), (r B), onde r = x i + y j + z k e A e B são vetores constntes, mostre que f(x, y, z) = B (r A) + A (r B). 5. Sej r = x i + y j + z k e sej r = r. Se A e B são vetores constntes, mostre que: ( ) 1 () A, = A, r r r 3. ( ( ) ) 1 (b) B, A, = 3 A, r B, r r r 5 A, B r Encontre o conjunto de todos os pontos (, b, c) em R 3 pr os quis s esfers (x ) + (y b) + (z c) = 1 e x + y + z = 1 intersectm ortogonlmente. (Seus plnos tngentes são perpendiculres em cd ponto de interseção.) 54. Um cilindro cuj equção é y = f(x) é tngente à superfície z + xz + y = 0 em todos os pontos comuns às dus superfícies. Encontre f(x). 55. Um função f é dit homogêne de gru n se stisfz equção f(tx, ty) = t n f(x, y) pr todo t, onde n é um inteiro positivo. () Verifique que f(x, y) = x y + xy + 5y 3 é homogêne de gru 3. (b) Mostre que, se f é homogêne de gru n e existem s primeirs derivds prciis, então x x + y c = nf(x, y). (c) Mostre que, se f é homogêne de gru n e existem s primeirs derivds prciis, então x e são homogênes de gru n 1. (d) Mostre que, se f é homogêne de gru n e existem s segunds derivds prciis e são continus, então x f x + xy f x + y f = n(n 1)f(x, y). Foz do Iguçu, 8 de outubro de 017 Víctor Arturo Mrtínez León 7