Cálculo integral. 4.1 Preliminares

Save this PDF as:

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Cálculo integral. 4.1 Preliminares"

Transcrição

1 Cpítulo 4 Cálculo integrl 4. Preinres Considere um decomposição do intervlo [, ] R em su-intervlos d orm [x, x ], [x, x ],..., [x n, x n ], onde = x < x < < x n < x n = e n N. Por um questão de simplicidde, decomposição é designd por P e é representd pens pelos seus pontos, do seguinte modo P : = x < x < < x n < x n =. Us-se x i pr representr mplitude do intervlo [x i, x i ], isto é, x i = x i x i com i =,...,n e deine-se diâmetro d decomposição como o número rel positivo ddo por P = mx i =,...,n x i. Deinição 4. (Som de Riemnn). Considere um unção deinid e itd no intervlo [, ], P um decomposição de [, ], e c i um ponto qulquer de cd intervlo [x i, x i ] com i =,...,n. À expressão mtemátic n S(, P) = (c i ) x i = (c ) x + + (c n ) x n (4.) i= chm-se som de Riemnn d unção pr decomposição P e escolh dos pontos c i, i =,...,n. É importnte oservr qul o signiicdo geométrico de um som de Riemnn. Pr cd prcel d som (4.) pode concluir-se o seguinte, se (c i ) > então (c i ) x i represent o vlor d áre de um rectângulo R i cujo comprimento d se é x i e cuj ltur é dd por (c i ). (c i) x i R i c i x i -

2 Se (c i ) < então (c i ) x i é o simétrico do vlor d áre do rectângulo R i de se x i e ltur (c i ). (c i) x i c i R i x i Assim, um som de Riemnn consiste n dierenç entre som do vlor ds áres dos rectângulos que estão cim do eixo ds cisss e som do vlor ds áres dos rectângulos que estão ixo do eixo ds cisss. x c x x x3 x 4 c c 3 c 4 Pr est igur pode considerr-se som de Riemnn S(, P) = (c ) x + (c ) x + (c 3 ) x 3 + (c 4 ) x 4 = A + A A 3 A 4 = A + A (A 3 + A 4 ) onde A i é áre do rectângulo de se x i = x i x i e ltur (c i ). Considere unção (x) = x deinid no intervlo [, ] = [, ] e sej P um decomposição de [, ] em n su-intervlos de igul mplitude. Existem n + pontos n decomposição; mplitude de cd su-intervlo é dd por x i = n = n, com i =,..., n; decomposição é dd por P : = x < x < < x n < x n = onde x = x = x + n = n x = x + n = n. x i = i n. x n = n n =. Engenhri Civil -

3 Escolhe-se c i = x i em cd su-intervlo [x i, x i ]. A som de Riemnn correspondente é dd por S(, P) = n i= (c i) x i = n n i= (x i) = n n i= ( ) i n = n n i= i = n n(+n). Otém-se S(, P) = + n n Exercício: com n. Considere os ddos do exemplo nterior e clcule S(, P) escolhendo c i = x i em cd intervlo [x i, x i ]. É conveniente recordr lgums órmuls que podem ser utilizds pr simpliicr cálculos semelhntes. n i= i = n (+n), n i = i= n i 3 = i= n(n+) (n+) 6, ( ) n(+n). Considere s seguintes igurs. R R R Se o diâmetro d decomposição do intervlo [, ] é muito pequeno, ou de um orm equivlente, se o número de su-intervlos é muito grnde, então o vlor d som de Riemnn correspondente prece proximr-se do vlor d áre d região R (re(r)) no cso d igur mis à esquerd ou do vlor d expressão re(r ) re(r ) no cso d igur mis à direit. Engenhri Civil 3-

4 4. Integrl deinido Deinição 4. (Integrl de Riemnn ou Integrl deinido). Ao vlor do ite S(, P), (4.) p qundo existe e é inito, chm-se Integrl de Riemnn ou Integrl deinido, d unção no intervlo [, ], e represent-se do seguinte modo Ou sej, tem-se (x)dx. (4.3) (x)dx = p i= n (c i ) x i. É conveniente clriicr o que signiic dizer que o ite (4.) existe. Este existe se o seu vlor é o mesmo pr tod decomposição P de [, ] e pr tod escolh dos pontos c i em cd intervlo [x i, x i ]. N expressão do integrl (4.3), e designm os extremos de integrção e é unção integrnd. Deinição 4.3. Um unção é integrável no intervlo [, ] se existe o integrl deinido (x)dx. O próximo resultdo cuj demonstrção é omitid present um condição suiciente pr que o integrl exist. Teorem 4.. Se é um unção contínu no intervlo [, ] então é integrável em [, ]. Vle pen oservr que um unção pode ser descontínu e no entnto integrável. Pretende-se clculr o vlor do integrl (x)dx pr unção (x) = x no intervlo [, ] = [, ]. Como é um unção contínu o teorem nterior indic que unção é integrável, isto é, que o ite (4.) existe, é inito e tem o mesmo vlor pr tod decomposição e pr tod escolh de pontos. Ou sej, pode escolher-se qulquer decomposição. Escolhe-se um decomposição de [, ] em n su-intervlos de igul mplitude e tom-se c i = x i em cd su-intervlo [x i, x i ]. Usndo os resultdos contidos no exemplo d págin -, tem-se P = mx i=,...,n x i = n e S(, P) = + n n. Engenhri Civil 4-

5 Qundo P contece tmém n +. O recíproco tmém é verdde. Assim, tem-se por deinição xdx = S(, P) p = S(, P) n + = n + =. + n n Ou sej, o resultdo pretendido é xdx =. Usndo deinição de integrl e interpretção geométric ds soms de Riemnn concluise que, se é um unção contínu e não negtiv no intervlo [, ] então o vlor do integrl é exctmente igul o vlor d áre d região itd pelo gráico de, pelo eixo ds cisss e pels rects verticis de equção x = e x =. Conirme este cto com o exemplo nterior. Teorem 4. (Teorem undmentl do cálculo). Se é um unção contínu em [, ] e se F é um primitiv de em [, ], então (x)dx = F() F(). É costume usr o seguinte ormlismo F() F() [F(x) x= x= [F(x). O teorem nterior é stnte importnte. É gor em mis simples (pelo menos teoricmente) o cálculo do integrl deinido. O resultdo estelece ind ligção entre o Cálculo dierencil (por meio d primitivção) e o Cálculo integrl. Demonstrção. (teorem undmentl do cálculo) Sej P : = x < x < < x n = um decomposição de [, ] e sej F um primitiv d unção no intervlo [, ] (isto é, F (x) = (x) pr todo o x em [, ]). Veriic-se de imedito que F() F() = n [F(x i ) F(x i )]. (4.4) i= Como é um unção contínu em [, ] deduz-se que F é dierenciável em [, ]. O teorem de Lgrnge grnte existênci de um ponto c i em cd intervlo ]x i, x i [ de tl orm que F(x i ) F(x i ) x i x i = F (c i ), isto é, F(x i ) F(x i ) = (c i ) x i, pois x i = x i x i e F =. Logo, por (4.4), tem-se F() F() = n (c i ) x i. i= Engenhri Civil 5-

6 Se pr cd decomposição P de [, ] os pontos c i orem escolhidos como oi descrito, pode deduzir-se que p i= n (c i ) x i = F() F(). Como é integrável conclui-se inlmente (x)dx = F() F(). Exemplos: Considere unção contínu (x) = x. Um primitiv de é F(x) = x. Logo, [ xdx = =. [ xdx = x x = 8 = 3 8. Interprete geometricmente estes resultdos! Teorem 4.3. Se é um unção contínu então o vlor do integrl (x)dx não depende d primitiv de que é escolhid. Demonstrção. Sejm F e G dus primitivs d unção no intervlo [, ]. Pode concluir-se de imedito que existe c R tl que F(x) = G(x) + c no intervlo [, ]. Assim, e (x)dx = [G(x) = G() G() (x)dx = [F(x) = F() F() = G() + c (G() + c) = G() G(), o que conclui demonstrção. 4.3 Proprieddes do integrl deinido Propriedde 4. (Lineridde). Sejm e g dus unções integráveis no intervlo [, ] e α R. Nests condições tem-se (x) ± g(x)dx = (x)dx ± α (x)dx = α (x)dx. g(x) dx, Engenhri Civil 6-

7 e e + 3 (lnx) dx = xlnx e e e xlnx dx + 3 lnx e x dx [ = [ln (lnx) e e + 3 (ln x) e e = ln () + 9. Propriedde 4.. Se é um unção integrável no intervlo [, ] então veriic-se.. 3. (x)dx = ; (x)dx = (x)dx = c (x)dx; (x)dx + 4. Se (x) em [, ] então c (x)dx, pr todo c [, ]; (x)dx. Teorem 4.4. Sejm e g dus unções integráveis no intervlo [, ]. Se (x) g(x) pr todo x [, ] então (x)dx g(x) dx. Demonstrção. Considere unção h(x) = (x) g(x). Deduz-se de imedito que h(x) em [, ]. Logo, pelo ponto 4 d propriedde 4., pode concluir-se (x) g(x)dx. Usndo propriedde 4. otém-se (x)dx g(x) dx. Considere s unções (x) = x e g(x) = x. Como no intervlo [, ] contece x x pode concluir-se que No intervlo [, ] contece x x e portnto xdx < xdx > x dx. x dx. Engenhri Civil 7-

8 Teorem 4.5. Se é um unção contínu no intervlo [, ], m é o vlor mínimo e M é o vlor máximo de em [, ] então m( ) (x)dx M( ). Demonstrção. Como é contínu num intervlo echdo e itdo, está grntido pelo teorem de Weierstrss que tem um vlor máximo M e um vlor mínimo m em [, ], isto é, m (x) M pr todo x em [, ]. Aplicndo o teorem 4.4, conclui-se Logo, m dx m( ) (x)dx M dx. (x)dx M( ). Oserve que iguldde só z sentido se or um unção constnte no intervlo [, ]. Teorem 4.6 (do vlor médio pr integris). Se é um unção contínu no intervlo [, ] então existe um ponto c ], [ tl que (c) = (x)dx. (4.5) Oserve-se qul interpretção geométric do resultdo nterior no cso. Considere igur. (c) c A equção (4.5) pode reescrever-se como (c)( ) = (x)dx. Ou sej, existe sempre pelo menos um ponto c ], [ pr o qul o vlor d áre d região itd pelo gráico d unção, pelo eixo ds cisss e pels rects verticis x = e x =, é exctmente igul o vlor d áre de um rectângulo de se igul e ltur igul (c). Demonstrção. Se é constnte e igul k então c pode ser qulquer ponto do intervlo [, ]. De cto, (x)dx = k dx = k( ) = (c)( ), qulquer que sej c em [, ]. Suponh que não é um unção constnte. Como existe u e v em [, ] tis que (u) = m e (v) = M, o teorem 4.5 permite concluir o seguinte (u) < (x)dx < (v). Engenhri Civil 8-

9 Considere o número rel θ = (x)dx. Como é contínu e θ é um número entre (u) e (v), o teorem de Bolzno grnte existênci de um ponto c entre u e v tl que (c) = θ, como se pretendi. Teorem 4.7. Se é um unção contínu em [, ] então (x)dx Demonstrção. Como (x) (x) (x), deduz-se pelo teorem 4.4 (x) dx (x)dx que é equivlente (x)dx (x) dx. (x) dx, (x) dx. E inlmente, Teorem 4.8. Se é integrável em [, ], então é itd em [, ]. Integrção por sustituição É possível demonstrr vlidde d seguinte órmul x x (x)dx = t t (g(t))g (t)dt qundo se plic mudnç de vriável x = g(t) pr clculr o vlor de x x (x)dx. Exige-se que unção g sej um unção dierenciável e invertível no intervlo [t, t ], que t = g (x ) e t = g (x ). Assume-se que unção é contínu no intervlo [x, x ], que unção compost (g(t)) está em deinid e que g (t) é um unção contínu no intervlo [t, t ]. Pretende-se clculr x + x dx. Consider-se mudnç de vriável x = t com t. Otém-se dx = t dt, t = x = e t = x =. Assim, x + dx = x t + t [ t = t = t dt Engenhri Civil 9-

10 Integrção por prtes Mostr-se sem diiculdde que u(x)v (x)dx = [u(x)v(x) u (x)v(x)dx, onde se ssume que tods s unções são contínus. Vej-se um exemplo d plicção dest órmul. lnxdx = [ x lnx dx = ln (). 4.4 Outrs proprieddes Pretende-se mostrr que não é necessário exigir continuidde de um unção pr concluir que é integrável de cordo com deinição 4.. Considere-se o seguinte resultdo. Teorem 4.9. Se é um unção itd no intervlo [, ] e descontínu num número inito de pontos de [, ], pr os quis existem e são initos os ites lteris, então é ind integrável no intervlo [, ]. Considere unção { x, x [, ] (x) = x +, x ], ]. Est unção é itd no intervlo [, ], é descontínu pens pr x = ms existem e são initos os ites lteris (x) = e (x) =. Assim, pelo teorem x x + nterior, é possível concluir que é um unção integrável. Flt ind ser como clculr o integrl d unção. O próximo resultdo ornece um respost. Teorem 4.. Sejm e g unções integráveis no intervlo [, ]. Se (x) g(x) num número inito de pontos de [, ] então Considere unção do exemplo nterior. Tem-se (x)dx = (x)dx + (x)dx. (x)dx = Usndo o teorem nterior com g(x) = x + deinid no intervlo [, ] otém-se (x)dx = (x)dx + g(x)dx. g(x) dx. Engenhri Civil -

11 Logo, [ (x)dx = x + [ x + x = 3. Exercício: {, x Veriique que (x) =, x = é um unção integrável e clcule (x)dx. 4.5 Aplicções do cálculo integrl Cálculo d áre de regiões plns Assume-se que e g são unções contínus. () N seguinte situção R o vlor d áre d região R é ddo pel expressão () N situção (x)dx. R g o vlor d áre d região R é ddo pel expressão (x)dx g(x)dx = ((x) g(x))dx. Engenhri Civil -

12 (c) N situção m R g o vlor d áre d região R é tmém ddo pel expressão ((x) g(x))dx. De cto, re(r) = ((x) + m)dx (g(x) + m)dx (d) N situção = ((x) g(x))dx. R áre d região R é dd por (e) N situção (x)dx. g R R c deduz-se sem diiculdde que o vlor d áre d região R = R R é ddo pel expressão re(r) = re(r ) + re(r ) = c ((x) g(x))dx + c (g(x) (x))dx. Engenhri Civil -

13 Pretende-se determinr o vlor d áre d região R que result d reunião d região itd pels rects x =, x = e pels curvs = x e = x e d região itd pels mesms curvs e pels rects x = e x =. re(r) = x xdx + x x dx =. Cálculo do volume de sólidos de revolução Assume-se que e g são unções contínus. Considere seguinte igur. R Mostr-se que o vlor do volume V do sólido gerdo pel rotção em torno do eixo ds cisss d região R itd pelo gráico de, s rects x =, x = e o eixo ds cisss é ddo por V = π (x) dx. () N situção R g o volume V do sólido gerdo pel rotção em torno do eixo ds cisss d região R itd pelo gráico ds unções e g, s rects x = e x = é ddo por V = π (x) dx π g(x) dx = π (x) g(x) dx. Engenhri Civil 3-

14 () N situção R g Comprove que o volume V do sólido gerdo pel rotção em torno do eixo ds cisss d região R itd pelo gráico ds unções e g, s rects x = e x = é ddo por V = π g(x) (x) dx. Oservção 4.. Pr clculr o volume do sólido gerdo pel rotção de um região pln em torno do eixo ds ordends plic-se um rciocínio semelhnte. Neste cso, é preciso inverter s unções e interpretr o prolem trocndo o ppel do eixo ds cisss e do eixo ds ordends. Exemplos: Determinr o volume de um eser de rio r. Consider-se circunerênci de centro no ponto (, ) e rio r deinid pel equção x + = r. A rotção em torno do eixo x d região pln itd pels curvs = e = r x ger um eser de rio r. O seu volume é V = π = π r r r r = 4 3 π r3. ( r x ) dx r x dx Pretende-se determinr o volume do sólido gerdo pel rotção em torno do eixo ds ordends d região pln itd pel curv = x, pel rect horizontl = e pel rect verticl x =. Otém-se o seguinte resultdo. V = π ( ) d = π d = π. Engenhri Civil 4-

15 Cálculo do comprimento de um rco de um curv = (x) Sej um unção dierenciável no intervlo [, ]. Mostr-se que o vlor d expressão + ( (x)) dx é igul o comprimento d curv representd pelo gráico de do ponto de coordends (, ()) o ponto de coordends (, ()). Qul o comprimento do gráico d unção (x) = x no intervlo [, ]? O comprimento pretendido é ddo por C = + ( (x)) dx = dx =, como se pode comprovr trvés do teorem de Pitágors. 4.6 Integrl indeinido Se é um unção integrável no intervlo [, ] então é tmém integrável no intervlo [, x], qulquer que sej x [, ]. Logo, é possível deinir um nov unção rel de vriável rel cujo domínio é [, ] do seguinte modo G(x) = x (t)dt. Considere unção (t) = G(x) = x (t)dt 3t t com t [, ]. é contínu e por isso integrável. Logo, + = = 3 x 3t t + dt [ ln (t + ) x = 3 ln (x + ). Isto é, G(x) = 3 ln (x + ) com x [, ]. Engenhri Civil 5-

16 Teorem 4.. Se é um unção contínu no intervlo [, ] e G(x) = x então G (x) = (x), isto é, G é um primitiv de em [, ]. (t)dt pr todo x [, ] A unção G(x) = x (t)dt é designd por integrl indeinido de. A relção estelecid entre o integrl indeinido e unção integrnd explic porque (x)dx é notção usd pr primitivção de um unção. Demonstrção. (do teorem nterior) Pretende-se mostrr que G (x) = (x), isto é, que G(x + h) G(x) = (x), h h onde x e x + h pertencem o intervlo [, ]. Pr h tem-se ( G(x + h) G(x) = x+h ) x (t)dt (t)dt h h = h x+h x (t)dt. O teorem do vlor médio pr integris grnte existênci de um ponto c pertencente o intervlo de extremos x e x + h tl que Ou sej, (c) = h x+h x G(x + h) G(x) h (t)dt. = (c). Aplicndo ites qundo h mos os memros d equção nterior otém-se seguinte equivlênci. G(x + h) G(x) h h = h (c) G (x) = h (c) G (x) = (x), pois o zer h contece sempre c x. Engenhri Civil 6-

17 Considere o exemplo nterior. Se (t) = x [, ]. 3t t + com t [, ] e G(x) = x (t)dt então G (x) = 3x x + pr todo Exercício: Determine os extremos d unção F(x) = x t (e t e)dt. Corolário 4... Se é um unção contínu no intervlo [, ], u é um unção dierenciável que tom vlores em [, ] pr todo x [, ] e G(x) = Demonstrção. u(x) Bst oservr que G(x) = F(u(x)) onde F(u) = de um unção compost, otém-se G (x) = [F(u(x))] = F (u)u (x) = (u)u (x) = u (x)(u(x)). u (t)dt então G (x) = u (x)(u(x)). (t)dt. Usndo regr d derivd Exercício: Considere unção G(x) = x x cos(t )dt e determine um expressão pr G (x). 4.7 Integris impróprios Apresent-se um extensão d deinição de integrl deinido. Integris em intervlos não itdos Considerm-se integris em que o intervlo de integrção é iitdo e unção integrnd é contínu e itd nesse intervlo. Estes designm-se usulmente por integris impróprios do primeiro tipo. Considere o integrl + (x) dx (4.6) onde é um unção contínu e itd no intervlo [, + [. Se o ite t t + (x)dx Engenhri Civil 7-

18 existe e é inito então o integrl impróprio (4.6) diz-se convergente e escreve-se + (x)dx = t + t (x)dx. Cso o ite não exist ou sej ininito o integrl impróprio diz-se divergente e não tem vlor. De orm semelhnte se estud o cso (x)dx. Qundo se tem um integrl impróprio d orm + (x) dx (4.7) deve-se em primeiro lugr escolher um ponto conveniente e depois nlisr os ites t t (x)dx e t + t (x)dx. O integrl impróprio (4.7) só é convergente se estes ites existirem e orem initos. Nesse cso tem-se + ( ) ( t ) (x)dx = (x)dx + (x)dx. t t t + Bst que um dos ites não exist ou não sej inito pr concluir que o integrl impróprio é divergente. Convém oservr que ests conclusões não decorrem d nálise do ite t (x)dx. t t Bst escolher um unção ímpr, como por exemplo (x) = x 3, pr oservr ests dierençs. Exemplos: Pretende-se determinr nturez do integrl impróprio Clcul-se o ite t + t + t t e x dx. e x dx = [ e x t + = t + =. e t Ou sej, o integrl impróprio é convergente e pode escrever-se t + e x dx. + e x dx =. Engenhri Civil 8-

19 π sen xdx. Este integrl impróprio é divergente e não tem vlor porque t não existe. π t sen xdx = [ t cosx π t = ( + cost) t + x dx. Como o integrl impróprio o integrl principl é divergente. Exercícios: xdx é divergente deduz-se de imedito que. Determine pr que vlores de p R é convergente o integrl impróprio. Determine nturez do integrl impróprio + e 3 x dx. + x p dx. Integris de unções não itds Considerm-se integris impróprios d orm (x)dx onde é um unção deinid ms não itd no intervlo [, [ e é contínu em qulquer intervlo d orm [, t] com < t <. Estes integris são designdos usulmente por integris impróprios do segundo tipo. O integrl impróprio (x)dx só é convergente se o ite t t (x)dx existe e é inito. Neste cso, escreve-se (x)dx = t t (x)dx. O integrl é divergente no cso contrário. N situção em que é um unção deinid ms não itd no intervlo ], ] e é contínu em qulquer intervlo d orm [t, ] com < t <, o integrl impróprio (x)dx Engenhri Civil 9-

20 só é convergente se existir e or inito o ite t + e neste cso t (x)dx (x)dx = t + t (x)dx. Se é iitd n vizinhnç de um ponto c ], [ então o integrl impróprio (x)dx só será convergente se orem convergentes os integris impróprios c (x)dx e o seu vlor é ddo por e c (x)dx (x)dx = t c t (x)dx + t c + t (x)dx. Exercícios:. Mostre que. Mostre que x lnxdx é um integrl impróprio convergente. dx é um integrl impróprio divergente. (x ) Engenhri Civil -

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i Integrl Noção de Integrl. Integrl é o nálogo pr unções d noção de som. Ddos n números 1, 2,..., n, podemos tomr su som 1 + 2 +... + n = i. O integrl de = té = b dum unção contínu é um mneir de somr todos

Leia mais

3. CÁLCULO INTEGRAL EM IR

3. CÁLCULO INTEGRAL EM IR 3 CÁLCULO INTEGRAL EM IR A importâni do álulo integrl em IR reside ns sus inúmers plições em vários domínios d engenhri, ms tmém em ísi, em teori ds proiliddes, em eonomi, em gestão 3 Prtição de um intervlo

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude

Leia mais

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana Integrl Definid Interpretção Geométric Áre de um figur pln Interpretção Geométric Áre de um figur pln Sej f(x) contínu e não negtiv em um intervlo [,]. Vmos clculr áre d região S. Interpretção Geométric

Leia mais

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que: Cpítulo 8 Integris Imprópris 8. Introdução A eistênci d integrl definid f() d, onde f é contínu no intervlo fechdo [, b], é grntid pelo teorem fundmentl do cálculo. Entretnto, determinds plicções do Cálculo

Leia mais

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli Introdução à Integrl Definid Aul 04 Mtemátic II Agronomi Prof. Dnilene Donin Berticelli Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento

Leia mais

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 Aul 7 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Objetivo Conhecer dois critérios de convergênci de integris imprópris:

Leia mais

(B) (A) e o valor desta integral é 9. gabarito: Propriedades da integral Represente geometricamente as integrais para acompanhar o cálculo.

(B) (A) e o valor desta integral é 9. gabarito: Propriedades da integral Represente geometricamente as integrais para acompanhar o cálculo. Cálculo Univrido List numero integrl trcisio@sorlmtemtic.org T. Prcino-Pereir Sorl Mtemátic lun@: 7 de setemro de 7 Cálculo Produzido com L A TEX sis. op. Dein/GNU/Linux www.clculo.sorlmtemtic.org/ Os

Leia mais

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Escol Superior de Agricultur Luiz de Queiroz Universidde de São Pulo Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl Teori d Integrção e Aplicções Professor Rent Alcrde Sermrini Nots de ul do professor Idemuro

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região

Leia mais

MAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL

MAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL MAT 103 - Complementos de Mtemátic pr Contbilidde - FEAUSP 1 o semestre de 011 Professor Oswldo Rio Brnco de Oliveir INTEGRAL Suponhmos um torneir bert em um recipiente e com velocidde de escomento d águ

Leia mais

Matemática para Economia Les 201

Matemática para Economia Les 201 Mtemátic pr Economi Les uls 8_9 Integris Márci znh Ferrz Dis de Mores _//6 Integris s operções inverss n mtemátic: dição e sutrção multiplicção e divisão potencição e rdicição operção invers d dierencição

Leia mais

AULA 1 Introdução 3. AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5. AULA 3 Integrais indefinidas 7. AULA 4 Integração por substituição 9

AULA 1 Introdução 3. AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5. AULA 3 Integrais indefinidas 7. AULA 4 Integração por substituição 9 www.mtemticemexercicios.com Integris (volume ) Índice AULA Introdução AULA Proprieddes e teorem fundmentl do cálculo 5 AULA Integris indefinids 7 AULA 4 Integrção por sustituição 9 AULA 5 Integrção por

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas. CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA SÉTIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nest ul, utilizremos o Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) pr o cálculo d áre entre dus curvs. 1. A áre entre dus curvs A

Leia mais

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos 3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição

Leia mais

A integral de Riemann e Aplicações Aula 28

A integral de Riemann e Aplicações Aula 28 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl A integrl de Riemnn e Aplicções Aul 28 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 16 de Mio de 2014 Primeiro Semestre de

Leia mais

Diferenciação Numérica

Diferenciação Numérica Cpítulo 6: Dierencição e Integrção Numéric Dierencição Numéric Em muits circunstâncis, torn-se diícil oter vlores de derivds de um unção: derivds que não são de ácil otenção; Eemplo clculr ª derivd: e

Leia mais

Seja f : D R uma função, a R um ponto de acumulação D ) diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a ou { }

Seja f : D R uma função, a R um ponto de acumulação D ) diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a ou { } .4- Limites e continuidde de unções. De. Deinição de Limite Sej : D R um unção, R um ponto de cumulção D diz-se que tende pr b qundo tende pr ou b se : { } > ε > V ε D \ V b b b b ε ε De.. Dd um unção

Leia mais

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral www.engenhrifcil.weely.com Resumo com exercícios resolvidos do ssunto: Aplicções d Integrl (I) (II) (III) Áre Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Áre Dd um função positiv f(x), áre A

Leia mais

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari MATEMÁTICA II Prof. Dr. Amnd Liz Pcífico Mnfrim Perticrrri mnd.perticrrri@unesp.r DEFINIÇÃO. Se f é um função contínu definid em x, dividimos o intervlo, em n suintervlos de comprimentos iguis: x = n Sejm

Leia mais

Profª Cristiane Guedes LIMITE DE UMA FUNÇÃO. Cristianeguedes.pro.br/cefet

Profª Cristiane Guedes LIMITE DE UMA FUNÇÃO. Cristianeguedes.pro.br/cefet LIMITE DE UMA FUNÇÃO Cristineguedes.pro.br/ceet Vizinhnç de um ponto Pr um vlor rbitrrimente pequeno >, vizinhnç de é o conjunto dos vlores de pertencentes o intervlo: - + OBS: d AB = I A B I Limite de

Leia mais

2.4 Integração de funções complexas e espaço

2.4 Integração de funções complexas e espaço 2.4 Integrção de funções complexs e espço L 1 (µ) Sej µ um medid no espço mensurável (, F). A teori de integrção pr funções complexs é um generlizção imedit d teori de integrção de funções não negtivs.

Leia mais

Fundamentos de Matemática I EFETUANDO INTEGRAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

Fundamentos de Matemática I EFETUANDO INTEGRAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques EFETUANDO INTEGRAIS 7 Gil d Cost Mrques Fundmentos de Mtemátic I 7. Introdução 7. Algums Proprieddes d Integrl Definid Propriedde Propriedde Propriedde Propriedde 4 7. Um primeir técnic de Integrção 7..

Leia mais

6 Cálculo Integral. 1. (Exercício VI.1 de [1]) Considere a função f definida no intervalo [0, 2] por. 1 se x [0, 1[ 3 se x ]1, 2]

6 Cálculo Integral. 1. (Exercício VI.1 de [1]) Considere a função f definida no intervalo [0, 2] por. 1 se x [0, 1[ 3 se x ]1, 2] 6 Cálculo Integrl. (Eercício VI. de []) Considere função f definid no intervlo [, ] por se [, [ f () = se = 3 se ], ] () Mostre que pr tod decomposição do intervlo [, ], s soms superior S d ( f ) e inferior

Leia mais

Matemática para Economia Les 201. Aulas 28_29 Integrais Luiz Fernando Satolo

Matemática para Economia Les 201. Aulas 28_29 Integrais Luiz Fernando Satolo Mtemátic pr Economi Les 0 Auls 8_9 Integris Luiz Fernndo Stolo Integris As operções inverss n mtemátic: dição e sutrção multiplicção e divisão potencição e rdicição A operção invers d diferencição é integrção

Leia mais

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x.

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x. Universidde Federl Fluminense Mtemátic II Professor Mri Emili Neves Crdoso Cpítulo Integrl. Diferenciis dy Anteriormente, foi considerdo um símolo pr derivd de y em relção à, ms em lguns prolems é útil

Leia mais

Noção intuitiva de limite

Noção intuitiva de limite Noção intuitiv de ite Qundo se proim de 1, y se proim de 3, isto é: 3 y + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3, 1,05 3,1 1,0 3,04 1,01 3,0 De um modo gerl: Eemplo de um ite básico Qundo tende um vlor determindo, o ite

Leia mais

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução Elementos de Análise - List 6 - Solução 1. Pr cd f bixo considere F (x) = x f(t) dt. Pr quis vlores de x temos F (x) = f(x)? () f(x) = se x 1, f(x) = 1 se x > 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas;

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o : Áre entre Curvs, Comprimento de Arco e Trblho Objetivos d Aul Clculr áre entre curvs; Clculr o comprimento de rco; Denir Trblho. 1 Áre entre

Leia mais

FUNÇÕES EM IR n. . O conjunto D é o domínio de f. O contradomínio de f consiste em todos os números. a função de domínio D dada por:

FUNÇÕES EM IR n. . O conjunto D é o domínio de f. O contradomínio de f consiste em todos os números. a função de domínio D dada por: FUNÇÕES EM IR n Deinição: Sej D um conjunto de pres ordendos de números reis Um unção de dus vriáveis é um correspondênci que ssoci cd pr em D ectmente um número rel denotdo por O conjunto D é o domínio

Leia mais

Integral imprópria em R n (n = 1, 2, 3)

Integral imprópria em R n (n = 1, 2, 3) Universidde Federl do Rio de Jneiro Instituto de Mtemátic Deprtmento de Métodos Mtemáticos Integrl Imprópri Integrl imprópri em R n (n =,, 3) Autores: Angel Cássi Bizutti e Ivo Fernndez Lopez Introdução

Leia mais

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa Integrção Numéric Diogo Pinheiro Fernndes Pedros Universidde Federl do Rio Grnde do Norte Centro de Tecnologi Deprtmento de Engenhri de Computção e Automção http://www.dc.ufrn.br/ 1 Introdução O conceito

Leia mais

f(x) dx. Note que A é a área sob o gráfico

f(x) dx. Note que A é a área sob o gráfico FFCLRP-USP AULA-INTEGRAL - CÁLCULO II- ECONOMIA Professor: Jir Silvério dos Sntos PROPRIEDADES DA INTEGRAL Sejm f,g : [,b] R funções integráveis. Então (i) [f(x) + g(x)]dx = (ii) Se λ é um número rel,

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Ânderson Vieira

Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Ânderson Vieira CÁLCULO DE ÁREAS Cálculo de áres Cálculo Diferencil e Integrl II Prof. Ânderson Vieir Considere região S que está entre dus curvs y = f(x) e y = g(x) e entre s curvs verticis x = e x = b, onde f e g são

Leia mais

Primitivas. Noção de primitiva. A primitivação é a operação inversa da derivação.

Primitivas. Noção de primitiva. A primitivação é a operação inversa da derivação. Primitivs Noção de primitiv A primitivção é operção invers d derivção. Definição: Sej f um função definid num intervlo I. Qulquer função F definid e diferenciável em I tl que F x fx, pr todo o x I, diz-se

Leia mais

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas;

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas; Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Aul 35 Funções vetoriis Integris Objetivo Conhecer integrl de funções vetoriis; Aprender clculr comprimentos de curvs prmetrizds; Aprender clculr áres de regiões

Leia mais

Matemática Parte II: Análise Matemática

Matemática Parte II: Análise Matemática Mtemátic Prte II: Lic. em Enologi 009/010 Funções reis de vriável rel Um função f, definid num certo conjunto D e com vlores num conjunto E, é um regr que fz corresponder cd elemento x de D um único elemento

Leia mais

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1.

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1. Revist d Mtemátic UFOP, Vol I, 2011 - X Semn d Mtemátic e II Semn d Esttístic, 2010 ISSN 2237-8103 ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX Aln Cvlcnte Felippe 1, Júlio Césr do Espírito Snto 1 Resumo: Este trblho

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho Aul n o 26: Teorem do Vlor Médio pr Integris. Teorem Fundmentl do Cálculo II. Funções dds por

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec

Cálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec Cálculo Diferencil e Integrl I o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec de Junho de, h Durção: hm Apresente todos os cálculos e justificções relevntes..5 vl.) Clcule, se eistirem em R, os limites i)

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte Neste texto vmos provr um importnte resultdo que nos permite clculr integris definids. Ele pode ser enuncido como

Leia mais

INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana.

INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana. INTEGRAL DEFINIDO O oneito de integrl definido está reliondo om um prolem geométrio: o álulo d áre de um figur pln. Vmos omeçr por determinr áre de um figur delimitd por dus rets vertiis, o semi-eio positivo

Leia mais

Integrais Duplas em Regiões Limitadas

Integrais Duplas em Regiões Limitadas Cálculo III Deprtmento de Mtemátic - ICEx - UFMG Mrcelo Terr Cunh Integris Dupls em egiões Limitds Ou por curiosidde, ou inspirdo ns possíveis plicções, é nturl querer usr integris dupls em regiões não

Leia mais

Área entre curvas e a Integral definida

Área entre curvas e a Integral definida Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Áre entre curvs e Integrl definid Sej S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e s rets verticis x = e x = b, onde f e g são funções

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais MTDI I - 2007/08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 63 Introdução o estudo de equções diferenciis Existe um grnde vriedde de situções ns quis se desej determinr um quntidde vriável prtir de um

Leia mais

A integral definida. f (x)dx P(x) P(b) P(a)

A integral definida. f (x)dx P(x) P(b) P(a) A integrl definid Prof. Méricles Thdeu Moretti MTM/CFM/UFSC. - INTEGRAL DEFINIDA - CÁLCULO DE ÁREA Já vimos como clculr áre de um tipo em específico de região pr lgums funções no intervlo [, t]. O Segundo

Leia mais

1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade

1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade 1 Limite - Revisão O conceito de limite de um função contribui pr nálise do comportmento d função n vizinhnç de um determindo ponto. Intuitivmente, dd um função f(x) e um ponto b que pertence o domínio

Leia mais

Objetivo A = 2. A razão desse sucesso consiste em usar somas de Riemann, que determinam

Objetivo A = 2. A razão desse sucesso consiste em usar somas de Riemann, que determinam Aplicções de integris Volumes Aul 28 Aplicções de integris Volumes Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo de diversos tipos de volumes de sólidos, especificmente os chmdos método ds seções

Leia mais

RESUMO DE INTEGRAIS. d dx. NOTA MENTAL: Não esquecer a constante para integrais indefinidas. Fórmulas de Integração

RESUMO DE INTEGRAIS. d dx. NOTA MENTAL: Não esquecer a constante para integrais indefinidas. Fórmulas de Integração RESUMO DE INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA A rte de encontrr ntiderivds é chmd de integrção. Desse modo, o plicr integrl dos dois ldos d equção, encontrmos tl d ntiderivd: f (x) = d dx [F (x)] f (x)dx = F

Leia mais

Valor Absoluto. Propriedades do Valor Absoluto (b>0) PRÉ-CÁLCULO. Intervalos

Valor Absoluto. Propriedades do Valor Absoluto (b>0) PRÉ-CÁLCULO. Intervalos PRÉ-CÁLCULO Intervlos Os intervlos, n ret rel, clssiicm-se em: berto, echdo, semi-bertos e ininitos. A solução de um inequção desiguldde é um intervlo. Um desiguldde pode envolver vlores bsolutos módulo.

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte 2 No teto nterior vimos que, se F é um primitiv de f em [,b], então f()d = F(b) F(). Isto reduz o problem de resolver

Leia mais

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr

Leia mais

e dx dx e x + Integrais Impróprias Integrais Impróprias

e dx dx e x + Integrais Impróprias Integrais Impróprias UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. Integris imprópris

Leia mais

IFRN Campus Natal/Central. Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos matemáticos para físicos e engenheiros - Aula 02.

IFRN Campus Natal/Central. Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos matemáticos para físicos e engenheiros - Aula 02. IFRN Cmpus Ntl/Centrl Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos mtemáticos pr físicos e engenheiros - Aul 0 Séries de Fourier 3 de gosto de 08 Resumo Neste ul, vmos estudr o conceito de conjunto completo

Leia mais

Notas Teóricas de Análise Matemática

Notas Teóricas de Análise Matemática Nots Teórics de Análise Mtemátic Rui Rodrigues Deprtmento de Físic e Mtemátic Instituto Superior de Engenhri de Coimbr Índice Primitivção de funções reis de vriável rel. Primitivção...................................2

Leia mais

Matemática /09 - Integral de nido 68. Integral de nido

Matemática /09 - Integral de nido 68. Integral de nido Mtemátic - 8/9 - Integrl de nido 68 Introdução Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I = [; b] e tl que f () ; 8 [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos

Leia mais

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos Aplicções de integris Áres e comprimentos MÓDULO - AULA 9 Aul 9 Aplicções de integris Áres e comprimentos Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo d áre de um superfície de revolução e do comprimento

Leia mais

16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green

16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green ÁLULO VETORIAL álculo Vetoril pítulo 6 6.4 Teorem de Green Nest seção, prenderemos sore: O Teorem de Green pr váris regiões e su plicção no cálculo de integris de linh. INTROUÇÃO O Teorem de Green fornece

Leia mais

FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT

FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT 5 SEVERINO TOSCANO DO REGO MELO. Polinômios de Tylor A ret tngente o gráfico de um função f derivável em um ponto define função de primeiro gru que melhor proxim função em pontos

Leia mais

Cálculo a uma Variável

Cálculo a uma Variável Cálculo um Vriável Sinésio Pesco CAP 9 - A Integrl (Integrção Numéric) Som de Riemnn Podemos usr som de Riemnn pr clculr um proximção pr integrl dx. Pr isso em cd suintervlo [x i,x i ] sustituimos integrl

Leia mais

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Teoremas Fundamentais do Cálculo

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Teoremas Fundamentais do Cálculo MAT46 - Cálculo I - Teorems Fundmentis do Cálculo Alexndre Mirnd Alves Anderson Tigo d Silv Edson José Teixeir Os Teorems Fundmentis do Cálculo Os próximos teorems fzem conexão entre os conceitos de ntiderivd

Leia mais

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x.

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x. 6. Primitivs cd. 6. Em cd cso determine primitiv F (x) d função f (x), stisfzendo condição especi- () f (x) = 4p x; F () = f (x) = x + =x ; F () = (c) f (x) = (x + ) ; F () = 6. Determine função f que

Leia mais

Integrais Imprópias Aula 35

Integrais Imprópias Aula 35 Frções Prciis - Continução e Integris Imprópis Aul 35 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 05 de Junho de 203 Primeiro Semestre de 203 Turm 20304 - Engenhri de Computção

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase Prov Escrit de MATEMÁTICA A - o Ano 0 - Fse Propost de resolução GRUPO I. Como comissão deve ter etmente mulheres, num totl de pessos, será constituíd por um único homem. Logo, como eistem 6 homens no

Leia mais

(x, y) dy. (x, y) dy =

(x, y) dy. (x, y) dy = Seção 7 Função Gm A expressão n! = 1 3... n (1 está definid pens pr vlores inteiros positivos de n. Um primeir extensão é feit dizendo que! = 1. Ms queremos estender noção de ftoril inclusive pr vlores

Leia mais

1 A Integral de Riemann

1 A Integral de Riemann Medid e Integrção. Deprtmento de Físic e Mtemátic. USP-RP. Prof. Rfel A. Rosles 22 de mio de 27. As seguintes nots presentm lgums limitções d integrl de Riemnn com o propósito de justificr construção d

Leia mais

Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004

Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004 Integrção Numéric Prof. Doherty Andrde- DMA/UEM DMA-UEM-4 Preliminres Nests nots o nosso interesse é clculr numericmente integris f(x)dx. A idéi d integrção numéric reside n proximção d função integrnd

Leia mais

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como

Leia mais

Relembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em:

Relembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em: Universidde Slvdor UNIFAS ursos de Engenhri álculo IV Prof: Il Reouçs Freire álculo Vetoril Texto 4: Integris de Linh Até gor considermos três tipos de integris em coordends retngulres: s integris simples,

Leia mais

Profª Cristiane Guedes DERIVADA. Cristianeguedes.pro.br/cefet

Profª Cristiane Guedes DERIVADA. Cristianeguedes.pro.br/cefet Proª Cristine Guedes 1 DERIVADA Cristineguedes.pro.br/ceet Ret Tngente Como determinr inclinção d ret tngente curv y no ponto P,? 0 0 Proª Cristine Guedes Pr responder ess pergunt considermos um ponto

Leia mais

Aula 5 Plano de Argand-Gauss

Aula 5 Plano de Argand-Gauss Ojetivos Plno de Argnd-Guss Aul 5 Plno de Argnd-Guss MÓDULO - AULA 5 Autores: Celso Cost e Roerto Gerldo Tvres Arnut 1) presentr geometricmente os números complexos ) Interpretr geometricmente som, o produto

Leia mais

Exercícios. setor Aula 25. f(2) = 3. f(3) = 0. f(11) = 12. g(3) = 14. Temos: 2x 1 = 5 x = 3 Logo, f(5) = 3 2 = 9

Exercícios. setor Aula 25. f(2) = 3. f(3) = 0. f(11) = 12. g(3) = 14. Temos: 2x 1 = 5 x = 3 Logo, f(5) = 3 2 = 9 setor 07 070409 070409-SP Aul 5 FUNÇÃO (COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES) FUNÇÃO COMPOSTA Sej f um função de A em B e sej g um função de B em C. Chm-se função compost de g com f função h definid de A em C, tl que

Leia mais

Comprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2

Comprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2 Definição 1 Sej : omprimento de urvs x x(t) y y(t) z z(t) um curv lis definid em [, b]. O comprimento d curv é definido pel integrl L() b b [x (t)] 2 + [y (t)] 2 + [z (t)] 2 dt (t) dt v (t) dt Exemplo

Leia mais

Questão 1: (Valor 2,0) Determine o domínio de determinação e os pontos de descontinuidade da 1. lim

Questão 1: (Valor 2,0) Determine o domínio de determinação e os pontos de descontinuidade da 1. lim Escol de Engenhri Industril e etlúrgic de olt edond Pro Gustvo Benitez Alvrez Nome do Aluno (letr orm): Prov Escrit Nº 0/006 Não rsure est olh, pois cálculos relizdos nest, não serão considerdos Use olh

Leia mais

Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade

Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade Cpítulo IV Funções Contínus 4 Noção de Continuidde Um idei muito básic de função contínu é de que o seu gráfico pode ser trçdo sem levntr o lápis do ppel; se houver necessidde de interromper o trço do

Leia mais

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A. MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função

Leia mais

- Departamento de Matemática Aplicada (GMA) Notas de aula Prof a. Marlene Dieguez Fernandez. Integral definida

- Departamento de Matemática Aplicada (GMA) Notas de aula Prof a. Marlene Dieguez Fernandez. Integral definida Interl Deinid Nots de ul - pro. Mrlene - 28-2 1 - Deprtmento de Mtemáti Aplid (GMA) Nots de ul - 28-2 Pro. Mrlene Dieuez Fernndez Interl deinid Oservção: esse teto ontém pens prte teóri desse ssunto, não

Leia mais

3.18 EXERCÍCIOS pg. 112

3.18 EXERCÍCIOS pg. 112 89 8 EXERCÍCIOS pg Investigue continuidde nos pontos indicdos sen, 0 em 0 0, 0 sen 0 0 0 Portnto não é contínu em 0 b em 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Portnto é contínu em 0 8, em, c 8 Portnto, unção é contínu

Leia mais

CÁLCULO INTEGRAL. e escreve-se

CÁLCULO INTEGRAL. e escreve-se Primitivs CÁLCULO INTEGRAL Prolem: Dd derivd de um função descorir função inicil. Definição: Chm-se primitiv de um função f, definid num intervlo ] [ à função F tl que F = f e escreve-se,, F = P f ou F

Leia mais

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA pítulo III INTEGRIS DE LINH pítulo III Integris de Linh pítulo III O conceito de integrl de linh é um generlizção simples e nturl do conceito de integrl definido: f ( x) dx Neste último, integr-se o longo

Leia mais

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5, - Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor

Leia mais

SÉRIES DE FOURIER. 1. Uma série trigonométrica e sua sequência das somas parciais (S N ) N são dadas por

SÉRIES DE FOURIER. 1. Uma série trigonométrica e sua sequência das somas parciais (S N ) N são dadas por SÉRIES DE FOURIER 1. Um série trigonométric e su sequênci ds soms prciis (S N ) N são dds por (1) c n e inx, n Z, c n C, x R ; S N = n= c n e inx. Tl série converge em x R se (S N (x)) N converge e, o

Leia mais

Atividade Prática como Componente Curricular

Atividade Prática como Componente Curricular Universidde Tecnológic Federl do Prná Gerênci de Ensino e Pesquis Deprtmento Acdêmico de Mtemátic Atividde Prátic como Componente Curriculr - Propost - Nome: Mtrícul: Turm: Justique su respost, explicitndo

Leia mais

Definição 1. (Volume do Cilindro) O volume V de um um cilindro reto é dado pelo produto: V = area da base altura.

Definição 1. (Volume do Cilindro) O volume V de um um cilindro reto é dado pelo produto: V = area da base altura. Cálculo I Aul 2 - Cálculo de Volumes Dt: 29/6/25 Objetivos d Aul: Clculr volumes de sólidos por seções trnsversis Plvrs-chves: Seções Trnsversis - Volumes Volume de um Cilindro Nosso objetivo nest unidde

Leia mais

8 AULA. Funções com Valores Vetoriais LIVRO. META Estudar funções de uma variável real a valores em R 3

8 AULA. Funções com Valores Vetoriais LIVRO. META Estudar funções de uma variável real a valores em R 3 1 LIVRO Funções com Vlores Vetoriis 8 AULA META Estudr funções de um vriável rel vlores em R 3 OBJETIVOS Estudr movimentos de prtículs no espço. PRÉ-REQUISITOS Ter compreendido os conceitos de funções

Leia mais

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Integrção Numéric Métodos Numéricos e Esttísticos Prte I-Métodos Numéricos Integrção numéric Luís Morgdo Lic. Eng. Biomédic e Bioengenhri-009/010 Luís Morgdo Integrção numéric Integrção Numéric Recorrendo

Leia mais

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas 8.1 Áres Plns Suponh que um cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA PRIMEIRO SEMESTRE DE 2015 13 de Fevereiro de 2015 Prte I Álgebr Liner 1 Questão: Sejm

Leia mais

Integrais Impróprios

Integrais Impróprios Integris Impróprios Extendem noção de integrl intervlos não limitdos e/ou funções não limitds Os integris impróprios podem ser dos seguintes tipos: integris impróprios de 1 espéie v qundo os limites de

Leia mais

Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1

Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1 Cpítulo 1 Funções Vetoriis Neste cpítulo estudremos s funções f : R R n, funções que descrevem curvs ou movimentos de objetos no espço. 1.1 Definições e proprieddes Definição 1.1.1 Um função vetoril, é

Leia mais

CAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES

CAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES CAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES 5.- Teorems Fundmentis do Cálculo Diferencil Os teorems de Rolle, de Lgrnge, de Cuch e regr de L Hospitl são os qutro teorems fundmentis do cálculo diferencil

Leia mais

Recordando produtos notáveis

Recordando produtos notáveis Recordndo produtos notáveis A UUL AL A Desde ul 3 estmos usndo letrs pr representr números desconhecidos. Hoje você sbe, por exemplo, que solução d equção 2x + 3 = 19 é x = 8, ou sej, o número 8 é o único

Leia mais

x u 30 2 u 1 u 6 + u 10 2 = lim (u 1)(1 + u + u 2 + u 3 + u 4 )(2 + 2u 5 + u 10 )

x u 30 2 u 1 u 6 + u 10 2 = lim (u 1)(1 + u + u 2 + u 3 + u 4 )(2 + 2u 5 + u 10 ) Universidde Federl de Viços Deprtmento de Mtemátic MAT 40 Cálculo I - 207/II Eercícios Resolvidos e Comentdos Prte 2 Limites: Clcule os seguintes ites io se eistirem. Cso contrário, justique não eistênci.

Leia mais

Proposta de teste de avaliação

Proposta de teste de avaliação Propost de teste de vlição Mtemátic A. O ANO DE ESOLARIDADE Durção: 90 minutos Dt: derno (é permitido o uso de clculdor) N respost o item de escolh múltipl, selecione opção corret. Escrev, n olh de resposts,

Leia mais

Utilizar a integral definida para calcular área, comprimento de arcos, volume de sólidos de revolução e trabalho mecânico.

Utilizar a integral definida para calcular área, comprimento de arcos, volume de sólidos de revolução e trabalho mecânico. Aul 3 Aplicções d integrl Objetivos Utilizr integrl definid pr clculr áre, comprimento de rcos, volume de sólidos de revolução e trblho mecânico. Inicimos ul 9, dedicd à integrção, motivndo o conceito

Leia mais

CÁLCULO I. Denir e calcular o centroide de uma lâmina.

CÁLCULO I. Denir e calcular o centroide de uma lâmina. CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Aul n o : Aplicções d Integrl: Momentos. Centro de Mss Objetivos d Aul Denir momento em relção um ponto xo e um ret. Denir e clculr

Leia mais

Capítulo 4. Integral de Riemann. 4.1 Definição do integral de Riemann

Capítulo 4. Integral de Riemann. 4.1 Definição do integral de Riemann Cpítulo 4 Integrl de Riemnn Os principis resultdos d teori do integrl de Riemnn pr funções limitds definids em [, b],, b R são presentdos neste cpítulo. Definem-se, no sentido de Riemnn, o integrl definido

Leia mais