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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. Integris imprópris Nest ul vmos estudr integris que não stisfzem esss eigêncis por um ds rzões io: Integris Imprópris. Pelo menos um dos limites de integrção é.. f tem um descontinuidde infinit no intervlo [, ]. Prof.: Rogério Dis Dll Riv Integris Imprópris. Integris imprópris.integris imprópris.integris com limites de 3.Integris com integrndo 4.Aplicção As integris que presentm um desss crcterístics são denominds de integris imprópris. Por eemplo, s integris e e 0 + são imprópris porque pelo menos um dos limites de integrção é, como mostrm s figurs seguir.. Integris imprópris. Integris imprópris A definição d integrl definid f ( ) eige que o intervlo [, ] sej finito e que f sej limitd em [, ].

2 . Integris imprópris. Integris com limites de Anlogmente, s integris e + 5 ( ) são imprópris, porque seus integrndos tendem pr em lgum ponto do intervlo de integrção, conforme mostrdo ns figurs seguir. Desde que sej um número rel mior do que (não importndo qul), trt-se de um integrl definid cujo vlor é = = + =. Integris imprópris. Integris com limites de A tel io dá os vlores dest integrl pr diversos vlores de. 0, , , , , ,9999 =. Integris com limites de. Integris com limites de Pr vermos como clculr um integrl imprópri, consideremos integrl d figur io Por est tel, é visível que o vlor d integrl se proim de um limite qundo ument ilimitdmente. Este limite é representdo pel seguinte integrl imprópri. = lim lim = =

3 . Integris com limites de. Integris com limites de Integris Imprópris (Limites de Integrção Infinitos). Sef écontínuem[, ),então f ( ) = lim f ( ). Sef écontínuem(-,],então f ( ) = lim f ( ) 3. Sef écontínuem(-, ),então c f ( ) = f ( ) f ( ) c + R c Comecemos plicndo definição de integrl imprópri = lim [ ] = lim ln ( ) = lim ln 0 = Definição de integrl imprópri Determinndo ntiderivd Aplicndo o Teorem Fundmentl Clculndo o limite. Integris com limites de. Integris com limites de Em qulquer cso, se o limite eiste, integrl imprópri converge; em cso contrário, integrl imprópri diverge. Como o limite é, integrl imprópri diverge. Assim, no terceiro cso, integrl divergirá se qulquer um ds integris à direit divergir.. Integris com limites de. Integris com limites de Eemplo : Determine convergênci ou divergênci d integrl imprópri Ao começr trlhr com integris imprópris, começremos oservr que integris prentemente semelhntes podem ter vlores muito diferentes. Considere, por eemplo, s dus integris imprópris = = Integrl divergente Integrl convergente 3

4 . Integris com limites de. Integris com limites de A primeir diverge e segund converge pr. Grficmente, isto signific que s áres mostrds n figur io são muito diferentes. Comecemos plicndo definição de integrl imprópri 0 0 = lim ( ) ( ) = lim = lim = 0 = Definição de integrl imprópri Determinndo ntiderivd Aplicndo o Teorem Fundmentl Clculndo o limite. Integris com limites de. Integris com limites de A região compreendid entre o gráfico (à esquerd) d figur nterior e o eio (pr ) tem áre infinit, e região entre o gráfico (à direit) e o eio (pr ) tem áre finit. Assim, integrl imprópri converge pr. Conforme mostr figur io, isto implic que região entre o gráfico de y = /( ) 3/ e o eio (pr 0) tem áre.. Integris com limites de. Integris com limites de Eemplo : Clcule integrl imprópri 0 ( ) 3 Eemplo 3: Clcule integrl imprópri e 0 4

5 . Integris com limites de Apliquemos inicilmente definição de integrl imprópri Integris Imprópris (Integrndo Infinito) e = lim e 0 0 = lim e 0 ( e ) = lim + = 0 + = Definição de integrl imprópri Determinndo ntiderivd Aplicndo o Teorem Fundmentl Clculndo o limite 3. Se f é contínu em [, ], eceto em lgum ponto c de (, ), no qul f tende pr, então c f ( ) = f ( ) + f ( ) c Em cd cso, se o limite eiste, integrl imprópri converge; cso contrário, integrl imprópri diverge.. Integris com limites de Assim, integrl imprópri converge pr. Conforme mostrdo n figur io, isto implic que região compreendid entre o gráfico d função dd e o eio (pr 0) tem áre. Eemplo 4: Clcule integrl imprópri 3 Integris Imprópris (Integrndo Infinito). Sef écontínunointervlo [,),etendepr em,então f ( ) = lim f ( ) c. Se f é contínu em (, ], e tende pr em, então f ( ) = lim f ( ) + c c c = lim Definição de integrl imprópri = lim + ( ) = lim = 0 = ( ) 3 Determinndo ntiderivd Aplicndo o Teorem Fundmentl Clculndo o limite 5

6 Assim, integrl converge pr 3/, o que implic que áre mostrd n figur io tem áre 3/. Podemos, então, concluir que integrl diverge. Isto implic que região mostrd n figur io tem áre infinit. Eemplo 5: Clcule integrl imprópri Eemplo 6: Clcule integrl imprópri 3 = = lim = lim ln ln = Decompondo em frções prciis Definição de integrl imprópri Determinndo ntiderivd Clculndo o limite Est integrl é imprópri porque o integrndo tem um descontinuidde infinit no vlor interior = 0, conforme se vê n figur io. 6

7 4. Aplicção Podemos, pois, escrever = Aplicndo definição de integrl imprópri, mostr-se que ms s integris divergem. Portnto, integrl originl tmém diverge. Eemplo 7: O sólido formdo pel revolução, em torno do eio, do gráfico de f ( ) =, < é chmdo tromet de Griel (ver figur seguir). Clcule o volume d tromet de Griel. 4. Aplicção OBS: Se não tivéssemos reconhecido que integrl do Eemplo 6 é imprópri, terímos chegdo o resultdo incorreto 3 = 3 = + = 8 8 Incorreto 4. Aplicção As integris imprópris em que o integrndo tem um descontinuidde infinit entre os limites de integrção são frequentemente esquecids. Deve-se ficr tento qunto tis possiiliddes. Podemos determinr o volume d tromet plicndo o Método do Disco π Volume = = lim π π = lim π = lim π = π Método do disco Definição de integrl imprópri Determinndo ntiderivd Aplicndo o Teorem Fundmentl Clculndo o limite 7

8 4. Aplicção Assim, o volume d tromet de Griel é π uniddes cúics. 8

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