Cálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec

Transcrição

1 Cálculo Diferencil e Integrl I o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec de Junho de, h Durção: hm Apresente todos os cálculos e justificções relevntes..5 vl.) Clcule, se eistirem em R, os limites i) ) lim rcsen, ii) lim + log + t) dt 4. ) i) lim rcsen é um indeterminção. Fzendo y = / e usndo + Regr de Cuchy: ) lim rcsen rcsen y ) + y + y y + y ) =. Alterntivmente, pode escrever-se rcsen ) rcsen = ), que result num / indeterminção à qul se pode plicr Regr de Cuchy directmente.) ii) lim log + t) dt 4 é um indeterminção. Como t log + t) é um função contínu e é diferenciável, si do Teorem Fundmentl do Cálculo que Aplicndo Regr de Cuchy log + t) dt) = ) log + ) = log + ). lim log + t) dt 4 log + ) log + ) 4 = 4.

2 . 5. vl.) Clcule o vlor dos integris seguintes utilizndo pr iii) mudnç de vriável = sen t): i) + d, log ii) e d, iii) + e 4 d. i) + d = [ + ) + ) + d = + ] =. ii) log e d = + e log e ) + e ) d = [rctge )] log = rctg ) rctg = π π 4 = π. iii) Fzendo = sen t tem-se d = cos t e t = rcsen, π t π, e ssim dt = t =, = t = π. O integrl fic 4 d = = π π 4 4 sen t cos t) dt = 4 cos t dt = π π cost) + ) dt = [sent) + t] π = sen π + π = + π. 4 sen t cos t dt Alterntivmente, primitiv de cos t pode ser clculd por prtes, usndo depois sen t = cos t.).. vl.) Clcule áre d região D R limitd pels curvs y = rctg, y = π/4 e =.

3 Temos rctg = π/4 =. Como rctg π/4 pr, áre pedid é dd por A = π 4 rctg d = π 4 ) [ rctg ] + = π 4 rctg + [ log + ) ] = log. + d 4..5 vl.) Considere um função rel f contínu em [, b]. Mostre, justificndo, que se verific iguldde, pr qulquer [, b], u ) ft)dt du = u)fu)du. Derivmos mbos os membros d iguldde cim. Como gu) = u função contínu de u), pelo Teorem Fundmentl do Cálculo, ft)dt é um u ft)dt) du é função diferenciável em ) e Por outro ldo, u u)fu)du = ) ft)dt du) = g) = fu) du ft)dt. ufu) du e como f e uf são funções contínus de u) temos que u)fu)du é tmbém função diferenciável em ) e e temos u)fu)du) = u fu) du + f) f) = fu) du, ) ft)dt du) = u)fu)du), [, b].

4 Conclui-se que, pr qulquer [, b], u ) ft)dt du = u)fu)du + C pr lgum constnte C R. Fzendo =, vem C = e iguldde segue. Alterntivmente, podi integrr-se por prtes o ldo esquerdo d iguldde.) 5.. vl.) Anlise, justificndo, convergênci ds séries seguintes i) n= nn + ) n + n n +, ii) n= π) n+ n)! n. i) É um série de termos positivos. Compremos com série de Dirichlet n, com α = /: lim nn + ) n + n n + n nn + ) n n + n n + n + + n + =,. n+ + Do Critério de Comprção, s séries têm mesm nturez, e ssim série diverge, já que um série do tipo n α diverge pr α. ii) É um série lternd. A su série dos módulos é π) n+ + n)! n = ) n+ π n+ + n)! n = π n+ n)!. n n= n= n= 4

5 Utilizndo o critério d Alembert, com n = lim n+ n π n+ n + ))! n+ π n+ n)! n π n)! π n + ))! πn+ n)! n : π n+ n)! n n + )! n+ π n+ n + )n + )n + ) = < Logo série dos módulos converge, e portnto série dd é convergente. Podi tmbém usr-se o critério de Leibnitz: escrevendo série como + n= )n+ n, com n como cim, verificr que n e n é decrescente. A convergênci segue.). 4. vl.) Considere série de potêncis n= ) n+ n + ) n. ) Determine o intervlo I R onde série é bsolutmente convergente tendo em cont os etremos do intervlo). É um série de potêncis centrd em. Escrevendo n= ) n+ + ) n = n n + ) n, com n = )n+, n n= o seu rio de convergênci é ddo por R n ) n+ n n ) n+ n+ n =. n Conclui-se que série converge bsolutmente se + < 4 < < e diverge se < 4 ou >. Pr = 4: n= ) n+ ) n ) n+ ) n n = = n n n= n= 5

6 já que ) n+ = ), que é divergente um vez que o seu termo gerl não tende pr. D mesm form, pr = : n= ) n+ ) n = ) n+ n n= tmbém é divergente pel mesm rzão. Logo I =] 4, [. Alterntivmente, temos n= ) n+ + ) n = + ) n n n= é um série geométric de rzão r = + e portnto converge bsolutmente se e só se r < + < + <. Os etremos do intervlo correspondem r =, logo série é divergente.) b) Sej f : I R dd por f) = n= i) Mostre que, pr I, f) = + ) n+ n + ) n Escrevendo, pr I, ) n+ f) = + ) n = + ) n n n= n= obtemos um série geométric de rzão r = +. A su som é n= + ) n = + + ) = = ii) Escrev o polinómio de Tylor de ordem de f no ponto. Temos p ) = f ) + f ) + ) + f ) + ).! Como f ) = + = e ) f ) = = = ) + 4), f ) =

7 temos f 4 ) = + 4) ) = 8 + 4), f ) = p ) = + ) + ). Alterntivmente, notndo que série de potêncis dd corresponde à série de Tylor de f no ponto, o polinómio de Tylor de ordem é ) n+ p ) = + ) n = + ) n + ).) n= iii) Determine f n) ), pr cd n N. Justifique que função g) = f) + f ) tem um mínimo locl em. Um vez que série de potêncis dd corresponde à série de Tylor de f no ponto, temos que os coeficientes são n = f n) ) n! f n) ) = )n+ n! n. Temos g ) = f ) + f ), logo g ) = =, ie, é ponto crítico de g. Pr o clssificrmos: g ) = f ) + f ), logo g ) = + )+! = /4 = / >, logo é ponto de mínimo. 7.. vl.) Sej n um sucessão de termos positivos, tl que série + n é convergente. Mostre que tmbém é convergente série n= log + n ) + n. n= Como + n é convergente, temos que lim n =. Comprndo n= 7

8 série dd com n : lim log + n ) + n n log + n) n + n + + log + ) + =,, logo do Critério de Comprção, s séries são d mesm nturez. log + ) Menos directo ms mis eplictivo: um vez que lim =, temos tmbém lim log + n) =, i.e., log + n ) n. Assim, segue do Critério de n Comprção que série dd é d mesm nturez que série n= n + n. n Um vez que < n, já que n >, o resultdo segue de novo do Critério + n de Comprção.) 8