1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade

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1 1 Limite - Revisão O conceito de limite de um função contribui pr nálise do comportmento d função n vizinhnç de um determindo ponto. Intuitivmente, dd um função f(x) e um ponto b que pertence o domínio de f(x), dizemos que o limite à direit d função é L, qundo x! b +, f(x)! L. Anlogmente, dizemos que o limite à esquerd d função é M, qundo x! b, f(x)! M: Limites à direit e limites à esquerd são denomindos limites lteris. Cso L = M, então rmmos que existe o limite de f(x), ou sej: lim f(x) = L: x!b Limites in nitos ocorrem qundo x tende um determindo vlor, f(x) tende pr +1 ou 1, por exemplo: lim f(x) = +1, lim x!b + x!b f(x) = +1, lim f(x) = 1 e lim x!b + x!b f(x) = 1. Qundo x! +1 ou x! 1, o limite de f(x) é denomindo limite no in nito ( ou nos extremos do domíno), ou sej: lim f(x) = m, lim x!+1 f(x) = l: x! 1 A ret x = x 0 é denomind ssíntot verticl qundo os limites lteris de x 0 são limites in nitos. Anlogmente, ret y = y 0 é denomind ssíntot horizontl qundo y 0 é um limite no in nito. 1.1 Continuidde A f(x) é contínu em se e somente se s seguintes condições são stisfeits: i) f() existe, ii) existe o lim x! f(x), e iii) lim x! f(x) = f(). A função será descontínu em se um desss condições não for stisfeit. 1

2 2 Derivd A ret secnte é qulquer ret que psse por dois pontos de um função. Se el pssr pelos pontos P (x 1 ; f(x 1 )) e Q(x 1 + x; f(x 1 + x)), inclinção dest ret será: m P Q = f(x 1 + x) f(x 1 ) ; x 6= 0: x Sej o ponto P um ponto xo e Q móvel, podemos gor lterr x. Qundo x! 0, ret secnte tende à ret tngente. Sej f(x) contínu em x 1, ret tngente o grá co de f no ponto P (x 1 ; f(x 1 )) é: i) ret P, com inclinção: m(x 1 ) = lim x!0 f(x 1 + x) f(x 1 ) ; x ii) ret x = x 1, se o limite cim for +1 ou 1: Se nem i) e nem ii) forem stisfeits, então não existe ret tngente o grá co de f no ponto P (x 1 ; f(x 1 )): A derivd de um função f é função denotd por f 0, tl que seu vlor em qulquer vlor x do domínio de f sej ddo por: f 0 f(x + x) (x) = lim x!0 x se este limite existir. Pr x = x 1 : f(x) ; f 0 f(x 1 + x) f(x 1 ) (x 1 ) = lim ; x!0 x Se f é derivável em x 1, então f é contínu em x 1 : Um função não será derivável em x 1 pels seguintes rzões: i) se el for descontínu em x 1, ii) se el for contínu em x 1, ms f possui um ret verticl no ponto x = x 1, iii) se el for contínu em x 1, ms f não possui um ret tngente no ponto x = x 1. 2

3 2.1 Teorems sobre Derivção 1) f(x) = c ) f 0 (x) = 0; 2) f(x) = x n ) f 0 (x) = nx n 1 (n 2 Q); 3) f(x) = cx ) f 0 (x) = c; 4) h(x) = f(x) + g(x) ) h 0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x); 5) h(x) = f(x)g(x) ) h 0 (x) = f 0 (x)g(x) + g 0 (x)f(x); 6) h(x) = f(x) ) g(x) h0 (x) = f 0 (x)g(x) g 0 (x)f(x) (g(x) 6= 0): (g(x)) Regr d Cdei Dd 2 funções f e g, função compost fog é de nid como: (fog)(x) = f(g(x)); e o domínio de fog é o conjunto de todos os vlores x no domínio de g tl que g(x) estej no domínio de f: Regr d Cdei: Se função g for derivável em x e função f for derivável em g(x), então fog será derivável em x, e: (fog) 0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x): 3

4 2.3 Aplicções de Derivd Um função f de nid num intervlo será crescente nquele intervlo, se e somente se, f(x 1 ) < f(x 2 ) sempre que x 1 < x 2, onde x 1 e x 2 são quisquer números no intervlo. Anlogmente, el será decrescente nquele intervlo, se e somente se, f(x 1 ) > f(x 2 ) sempre que x 1 < x 2 : Sej f um função contínu no intervlo fechdo [; b] e derivável em (; b): i) se f 0 (x) > 0 pr todo x em (; b), então f(x) será crescente em [; b]; ii) se f 0 (x) < 0 pr todo x em (; b), então f(x) será decrescente em [; b]: A função f terá um vlor máximo reltivo em c se existir um intervlo berto contendo c, no qul f(x) estej de nid, tl que f(c) f(x) pr todo x nesse intervlo. Anlogmente, el terá um vlor mínimo reltivo em c se f(c) f(x) pr todo x nesse intervlo. Se f(x) for de nid pr todos os vlores de x em (; b) e se f possuir um extremo reltivo em c ( < c < b), então f 0 (c) = 0; se f 0 (c) existir. Sej c um número no domínio de f e f 0 (c) = 0 ou f 0 (c) não existir, então c será denomindo ponto crítico de f: Teste d derivd primeir pr extremos reltivos: Sej f um função contínu em todos os pontos do intervlo berto (; b), contendo c e suponh que f 0 exist em todos os pontos de (; b); exceto possivelmente em c : i) se f 0 (x) > 0 pr todo os vlores de x em lgum intervlo tendo c como extremo direito, e se f 0 (x) < 0 pr todo os vlores de x em lgum intervlo tendo c como extremo esquerdo, então f terá um vlor máximo reltivo em c; ii) se f 0 (x) < 0 pr todo os vlores de x em lgum intervlo tendo c como extremo direito, e se f 0 (x) > 0 pr todo os vlores de x em lgum intervlo tendo c como extremo esquerdo, então f terá um vlor máximo reltivo em c; Pr determinr os extremos reltivos de f : 1) Clcule f 0 (x): 2) Encontre os pontos críticos de f, isto é, os vlores de x pr os quis f 0 (x) = 0, ou pr os quis f 0 (x) não existe. 3) Aplique o teste d derivd primeir. 4

5 2.4 Derivds de ordem superior Sej f(x) um função derivável, então f 0 (x) será denomind derivd primeir de f. Se derivd de f 0 (x) existir, então f 00 (x) será denomind derivd segund de f. E ssim sucessivmente podemos de nir f 000 (x) e outrs derivds de ordem superior, em que f n (x) represent derivd de ordem n de f: Sej f um função diferenciável em lgum intervlo berto contendo c, então: i) se f 00 (c) > 0, o grá co de f é côncvo em (c; f(c)); ii) se f 00 (c) < 0, o grá co de f é convexo em (c; f(c)): O ponto (c; f(c)) será um ponto de in exão do grá co f se o grá co possuir um ret tngente neste ponto e se existir um intervlo berto contendo c, tl que se x estiver neste intervlo: i) se f 00 (x) < 0 se x < c e f 00 (x) > 0 se x > c,ou ii) se f 00 (x) > 0 se x < c e f 00 (x) < 0 se x > c. Adicionlmente, se exister f 00 (c), então f 00 (c) = 0: Teste d derivd segund pr extremos reltivos: Sej c um número crítico de f, no qul f 0 (c) = 0 e suponhmos que f 0 exist pr todo x em lgum intervlo berto contendo c. Se f 00 (c) existe e i) se f 00 (c) < 0; então f tem um vlor máximo reltivo em c; ii) se f 00 (c) > 0; então f tem um vlor mínimo reltivo em c: Pr obter um esboço do grá co de um função f, você deve seguir os seguintes pssos: 1) Determine o domínio de f: 2) Encontre os interceptos y e x (se possível) do grá co. 3) Clcule f 0 (x) e f 00 (x). 4) Encontre os números críticos de f: 5) Aplique o teste d derivd primeir. 6) Determine os intervlos nos quis f é crescente (f 0 (x) > 0) ou decrescente (f 0 (x) < 0). 7) Encontre os pontos de in exão de f: 8) Veri que concvidde do grá co: côncv (f 00 (x) < 0) ou convex (f 00 (x) > 0). 9) Veri que existênci de possíveis ssíntots horizontis ou verticis. 5

6 3 Integrl 3.1 Antidiferencição Um função F será denomid ntiderivd de um função f em um intervlo se F 0 (x) = f(x) pr todo x que pertence este intervlo. Se f e g forem dus funções tis que f 0 (x) = g 0 (x) pr todo x em um determindo intervlo, então hverá um constnte C tl que: f(x) = g(x) + C Consequentemente se F for um ntiderivd prticulr de f em um determindo intervlo, então tod ntiderivd de f neste intervlo será dd por: F (x) + C; (1) onde C é um constnte rbitrári e tods s ntiderivds de f no intervlo poderão ser obtids de (1). Antidiferencição é o processo de de encontrr o conjunto de tods s ntiderivds de um dd função. O símbolo utilizdo pr est operção é R, e escrevemos: Z f(x)dx = F (x) + C; em que F 0 (x) = f(x); e df = f(x)dx: Est fórmul estbelece que qundo ntidiferencimos diferencil de um dd função, obtemos própri função mis um constnte rbitrári. Teorems: 1) R dx = x + C 2) R kf(x)dx = k R f(x)dx 3) R x n dx = xn+1 n+1 + C pr n 6= 1 ; (n 2 Q) 4) R (f(x) + g(x))dx = R f(x)dx + R g(x)dx 6

7 3.2 Regr d Cdei pr Antidiferencição Sej g um função diferenciável e sej o intervlo I imgem de g. Suponh que f sej um função de nid em I e que F sej um ntiderivd de f em I, então: Z f(g(x))[g 0 (x)dx] = F (g(x)) + C: Observção: sej u = g(x); então du = g 0 (x)dx: Z f(u)du = F (u) + C: 3.3 Integrl De nid Operdor Somtório O conceito de áre envolve som de váris prcels, ou sej, necessitmos d notção chmd somtóri pr de nir este conceito: nx F (i) = F (m) + F (m + 1) + ::: + F (n i=m onde m e n são inteiros, m n. Teorems: P 1) n c = cn; P 2) n P cf (i) = c n F (i); P 3) n P [F (i) + G(i)] = n P F (i) + n G(i); P 4) n i = n(n+1) 2 ; P 5) n i 2 = n(n+1)(2n+1) 6 : 1) + F (n); 7

8 3.3.2 Áre de um função Sej f um função contínu em um intervlo [; b] e f(x) 0, então áre é de nid como: A = lim n!1 nx f(c i )x; em que f(c i ) é o vlor mínimo do subintervlo x = b : Anlogmente: n A = lim n!1 nx f(d i )x; em que f(d i ) é o vlor máximo do subintervlo x: Som de Riemnn e Integrl De nid Sej f um função de nid no intervlo fechdo [; b]. Vmos dividir o intervlo em n subintervlos, escolhendo qulquer dos (n 1) pontos intermediários entre e b. Sej x 0 = e x n = b e x 1 ; x 2 ; :::; x n 1 tis que, x 0 < x 1 < :::x n, não necessrimente equidistntes, e o i-ésimo subintervlo é ddo por i x = x i x i 1 : Agor, pr cd subintervlo escolhemos " i, tl que, x i 1 " i x i. e de nimos seguinte som: nx f(" i ) i x Tl som é denomind Som de Riemnn. Observ-se que os vlores funcionis de f não são restritos os vlores não-negtivos. Se f é um função de nid no intervlo fechdo [; b], então integrl br de nid de f de té b; denotd por f(x)dx é dd por: f(x)dx = lim n!1 nx f(" i )x = lim kk!0 nx f(" i ) i x; em que k k represent norm d prtição, ou sej, o comprimento do mior subintervlo. Note que rmção " função f é integrável no 8

9 intervlo fechdo [; b]" signi c que "integrl de nid de f de té b existe". Este símbolo, R, lembr um S miúsculo, o que é proprido pr integrl de nid, pois est de nição é o limite de um som. Observção: O símbolo R é o mesmo que foi usdo pr indicr operção de ntidiferencição. A rzão pelo emprego do mesmo símbolo será dd pelo Segundo Teorem Fundmentl do Cálculo, que permite clculr integrl de nid trvés d determinção de um ntiderivd, tmbém denomind integrl inde nid. Teorem: Se um função for contínu no intervlo fechdo [; b], então el será integrável neste intervlo. De nição: Sej f um função contínu no intervlo fechdo [; b] e f(x) 0: Sej R região limitd pel curv y = f(x), pelo eixo x e pels rets x = e x = b. Então medid A d áre d região R é dd por: R = f(x)dx: Est de nição estbelece que se f(x) 0 pr todo x em [; b], integrl de nid poderá ser interpretd geometricmente como medid d áre d região R. De nições: i) se > b, então: f(x)dx = Z Z f(x)dx; se f(x)dx existir, ii) se f() existe, então: b b Z f(x)dx = 0 Proprieddes d Integrl De nid (Teorems): br 1) kdx = k(b ) br br 2) kf(x)dx = k f(x)dx 9

10 3) R b br br [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx+ g(x)dx 4) Se função f for integrável em [; b], [; c] e [c; b], então: f(x)dx = Z c f(x)dx + f(x)dx; < c < b 5) Se função f for integrável num intervlo fechdo contendo os números ; b e c, então: c f(x)dx = Z c f(x)dx + f(x)dx; não importndo ordem de ; b e c: 6) Se s funções f e g forem integráveis no intervlo fechdo [; b], e se f(x) g(x) pr todo x em [; b]; então: c f(x)dx g(x)dx 3.4 Teorems Fundmentis do Cálculo Primeiro vmos enuncir o Teorem do vlor médio pr integris pr provr o Primeiro Teorem Fundmentl do Cálculo. Se f(x) 0; o Teorem do vlor médio pr integris estbelece que existe um número em [; b] tl que: f(x)dx = f()x Note que o Teorem não estbelece que este número é necessrimente único. 10

11 Observe que o vlor d integrl de nid depende pens d função f, e b, ou sej, não depende d vriável x, utilizdo como vriável independente, logo podemos utilizr outrs notções: f(x)dx = f(t)dt Se br f(t)dt existe e de nirmos x como um número em [; b], então f será contínu em [; x], pois é contínu em [; b]. Conseqüentmente, e é um vlor que depende de x: Logo, xr f(t)dt existe xr f(t)dt de ne um função F, tendo como domínio todos os números no intervlo [; b], cujo vlor funcionl em qulquer x em [; b] é ddo por: F (x) = Z x f(t)dt Primeiro Teorem Fundmentl do Cálculo. Sej f contínu em xr [; b] e sej x qulquer número em [; b]: Se F for de nid por F (x) = f(t)dt, então: F 0 (x) = f(x); ou sej, o teorem estbelece que integrl de nid com limite superior vriável é um ntiderivd de f: Segundo Teorem Fundmentl do Cálculo. Sej f contínu em [; b] e sej g um função tl que g 0 (x) = f(x) pr todo x em [; b], então: f(t)dt = g(b) g() Devido relção entre integrl de nid e ntiderivd, utilizmos o sinl de integrl R pr notção de ntiderivds. Vmos dispensr terminologi de ntiderivd e ntidiferencição e denominirmos R f(x)dx de integrl 11

12 inde nid. O processo de cálculo de um integrl de nid ou inde nid é chmdo integrção. 4 Função Logritmic Sbemos que: Z t n dt = tn+1 + C pr n 6= n + 1 1; (n 2 Q); entretnto pr clculr R t n dt pr n = 1, precismos de nir um função xr cuj derivd sej 1: Pelo primeiro teorem sbemos que est função é x A função logrítmic nturl é de nid por: ln x = Proprieddes pel de nição: 1R dt 1) ln 1 = = 0; t 1 2) ln(b) = b R 1 dt t = R 1 dt t 3) ln( ) = ln ln b; b 4) ln r = r ln b + R Z x 1 dt t ; x > 0: dt t = ln + ln b; dt t : 4.1 Diferencição logrítmic e Integris 2 D x [ln x] = D x 4 Z x 1 3 dt 5 = 1 t x : D x [ln g(x)] = g0 (x) g(x) ; 12

13 Z 1 dt = ln jtj + C: t 4.2 Mudnç de Bse e Diferencição log x = ln x ln ; D x [log x] = D x [ ln x ln ] = 1 x ln ; ln g(x) D x [log g(x)] = D x [ ln ] = g0 (x) g(x) ln ; 5 Função Invers e Teorem d Função Invers Um função é bijetor ou bijetiv se pr cd número em su imgem corresponde extmente um número em seu domínio, ou sej, pr todo x 1 e x 2, se x 1 6= x 2 ) f(x 1 ) 6= f(x 2 ): Se f for um função bijetor então existe um função f 1, denomind função invers de f, tl que: x = f 1 (y), y = f(x): O domínio de f 1 é imgem de f e imgem de f 1 é o domínio de f: Teorem d Função Invers. Sej f um função diferenciável em um intervlo e que possu invers. Se f 0 (x) 6= 0 pr todo x neste intervlo, então derivd d função invers f 1, de nid por x = f 1 (y) será: Df 1 (y) = 1 f 0 (x) 13

14 6 Função Exponencil Como função logrítmic nturl é crescente em todo o seu domínio, então el tem um função invers que é tmbém crescente e é denomind função exponencil nturl, ou sej: exp(x) = y se e somente se x = ln y: De nição: Se for um número positivo qulquer e x for um número rel qulquer, de nimos: x = exp(x ln ) De nição: O número e é de nido por: e = exp 1 Teorem: Pr todos os vlores de x : Proprieddes pel de nição: 1) e :e b = e +b ; 2) e = e b ; e b 3) (e ) b = e b : exp(x) = e x : 6.1 Derivds e Integris D x (e x ) = e x ; D x (e g(x) ) = e g(x) g 0 (x); Z e x dx = e x + C Função Exponencil de Bse : 1) h(x) = g(x) ) h 0 (x) = g(x) g 0 (x)ln ( > 0; 6= 1) 2) R x dx = x + C ( > 0; 6= 1) ln 14

15 7 Integrção por Prtes Pel regr de derivd do produto de dus funções, temos: D x [f(x)g(x)] = f 0 (x)g(x) + g 0 (x)f(x); Z g 0 (x)f(x) = D x [f(x)g(x)] g 0 (x)f(x)dx = f(x)g(x) Z f 0 (x)g(x); f 0 (x)g(x)dx 8 Bibliogr O Cálculo com Geometri Anlític - Louis Leithold: Cpítulo 3 - Derivd: ; , , Cpítulo 4 - Extremos Reltivos: e Cpítulo 5 - Antiderivds: , ; Integrl de nid: Cpítulo 7 - Função Invers: ; Função Logrítmic Nturl: ; Função Exponencil:

16 9 Regrs de Derivção 1) f(x) = c ) f 0 (x) = 0 2) f(x) = cx ) f 0 (x) = c 3) f(x) = x n ) f 0 (x) = nx n 1 (n 2 <) 4) h(x) = f(x) + g(x) ) h 0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) 5) h(x) = f(x)g(x) ) h 0 (x) = f 0 (x)g(x) + g 0 (x)f(x) 6) h(x) = f(x) ) g(x) h0 (x) = f 0 (x)g(x) g 0 (x)f(x) (g(x) 6= 0) (g(x)) 2 7) h(x) = ln(g(x)) ) h 0 (x) = g0 (x) g(x) (g(x) 6= 0) 8) h(x) = e g(x) ) h 0 (x) = e g(x) g 0 (x) 9) h(x) = g(x) ) h 0 (x) = g(x) g 0 (x)ln ( > 0; 6= 1) 10) h(x) = log g(x) ) h 0 (x) = g0 (x) em que log g(x) = g(x)ln ln g(x) ln ; log e = 1 ln (g(x) 6= 0; > 0; 6= 1); 10 Regrs de Integrção 1) R dx = x + C 2) R kf(x)dx = k R f(x)dx 3) R x n dx = x n+1 + C pr n 6= 1 n+1 ln jxj + C pr n = 1 ; (n 2 <) 4) R (f(x) + g(x))dx = R f(x)dx + R g(x)dx 5) R e x dx = e x + C 6) R x dx = x + C ( > 0; 6= 1) ln 7) Integrção por prtes: R g 0 (x)f(x)dx = f(x)g(x) R f 0 (x)g(x)dx 16