Introdução ao Cálculo Numérico S(M, B) = (y i Mx i B) 2

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1 Introdução o Cálculo Numérico 25 List de Exercícios 2 Observção importnte: Resolv o proplem pr o di d prov com função f(x) = cos(πx/2) e não com f(x) = sin(πx)! Problem 1. Sejm {x i, y i } n i= números reis, com x < x 1 <... < x m. Clculr o polinômio p(x) = Mx + B, pr o qul quntidde S(M, B) = (y i Mx i B) 2 sej mínim. i= Problem 2. Encontrr o polinômio de gru um que melhos proxim, pelo método dos mínimos qudrdos, tbel {x m, f(x m )} n m=, x m = m/n. Problem 3. Determinr o polinômio de gru dois que melhor proxim, pelo método dos mínimos qudrdos, tbel x y Problem 4. Determinr s prbols que melhor proximm, pelo método dos mínimos qudrdos, s tbels x y x y x y Problem 5. Encontrr prbol que melhor proxim, pelo método dos mínimos qudrdos tbel {x i, y i } n i=, x i = x + ih. Problem 6. Provr que, se f é um função pr (ímpr) e os pontos x k, k =, 1,..., m são simétrcos com respeito à origem, isto é, x k = x m k, então o polinômio de gru n que melhos proxim f(x), pelo método dos mínimos qudrdos, nos pontos x,..., x m, é tmbém pr (ímpr). 1

2 2 Problem 7. Prov que, se f é um função pr (ímpr) em [, ], então o polinômio de gru n que melhos proxim em L 2 [, ] é tmbém pr (ímpr). Problem 8. Pelo método dos mínimos qudrdos, proximr função sin πx, se os pontos são x = 1, x 1 = 1/2, x 2 =, x 3 = 1/2, x 4 = 1. Problem 9. Aproximr por polinômio de gru um, pelo método dos mínimos qudrdos, tbel onde p i são os pesos nos pontos x i. x x x 1... x n 1 x n y y y 1... y n 1 y n, p p p 1... p n 1 p n Problem 1. Sej ki x i = b k, k = 1, 2,..., m, m n, i=1 um sistem liner sobre-determinndo, com n incógnits x 1, x 2,..., x n e m equções, m n. Prove que o sistem s/ x p =, p = 1, 2,..., n, onde ( ) 2 m s(x 1, x 2,..., x n ) = b k ki x i, i=1 é equivlente o sistem A T Ax = AT b. Aqui, por A T denotmos mtriz trnspost de A. Problem 11. Resolv o sistem sobre-determinndo pelo método dos mínimos qudrdos: x y = 1, x + y = 1, x + y = 1, x y = 1. Problem 12. Resolv os sistems sobre-determinndo pelo método dos mínimos qudrdos: x + z = 1, y + z = 1, x + z = 1, x y + z = 1; x + y = 3, 2x y =, 2, x + 3z = 7, 3x + y = 5;

3 x + y + z = 1, x + 2y + z = 2, x + 3y + z = 3, x 4y + z = 4; x + 5y + z = 4, 3 Problem 13. Usndo o resultdo obtido n solução do Problem 5, isto é, prbol que melhor proxim, pelo método dos mínimos qudrdos tbel obter s fórmuls {x i, y i } k+2 i=k 2, x k+i = x k 2 + (i + 2)h, i = 2, 1,..., 2, y(x k 2 ) y k y k y k 2 ; y(x k 1 ) y k y k y k 2 ; y(x k ) y k 3 35 (y k 2 4y k 1 + 6y k 4y k+1 + y k+2 ); y (x k ) 1 1h ( 2y k 2 y k 1 + y k+1 + 2yk + 2) Problem 14. Usndo prbol, construid pelo método dos mínimos qudrdos, pr tbel {x i, y i } 3 i=, x i = x + ih, obter s fórmuls pr diferencição proximd y 1 2h ( 21y + 13y y 2 9y 3 ); y 1 1 2h ( 11y + 3y 1 + 7y 2 y 3 ); y 2 1 2h ( 11y 3 + 3y 2 + 7y 1 y ); y 3 1 2h ( 21y y y 1 9y ); Problem 15. Usndo expnsão em série d função integrd, clculem proximdmente integrl I =,5 tgx x dx. Problem 16. Usndo expnsõ de Mclurin d função integrd, determine u numero dos termos que devem ser usdos pr clculr, com erro

4 4 que não exede ε 1 5, s integris: ) b) c) d).5 Problem 17. Clculr os limites: lim n x sin x dx; sin x x dx; dx 1 + x 4 ; exp( x 2 )dx. { 1 n n { 1 lim n n n } 2n 2 Problem 18. Mostrr que ) fórmul de qudrtur dos prlelogrmos f(x)dx (b )f(ξ) =: Q P (f), ξ b possui gru de precisão lgébric um qundo ξ = ( + b)/2 e zero, cso contrário. b) fórmul de qudrtur dos trpézios f(x)dx b 2 [f() + f(b)] =: Q T (f) possui gru de precisão lgébric um. c) fórmul de qudrtur de Simpson f(x)dx b ( ) + b [f() + 4f + f(b)] =: Q S (f) 6 2 tem gru de precisão lgébric três. Problem 19. Mostrr que } Q S (f) = 1 3 Q T (f) Q P (f), quindo ξ = ( + b)/2. Problem 2. Construir fórmul de qudrtur d form 2h f(x)dx h[af() + Bf(h) + Cf(2h)] com o mior possível gru de precisão lgébric.

5 Problem 21. Determinr s constntes e c, de modo que fórmul de qudrtur h h f(x)dx c[f(h) + f(bh)] tenh o mior gru de precisão lgébric. Problem 22. Determinr, b, c, d e A de modo que fórmul de qudrtur 2 2 f(x)dx A[f() + f(b) + f(c) + f(d)] tenh o mior gru de precisão lgébric. Problem 23. Determinr A, B, C, D e E de modo que fórmul de qudrtur 2h f(x)dx h[af() + Bf(h) + Cf(2h)] + h 2 [Df () + Ef (2h)] tenh o mior possível gru de precisão lgébric. Problem 24. Determinr A e B, de modo que fórmul de qudrtur h o f(x) dx Af() + Bf(h) 1 + x2 tenh o mior possível gru de precisão lgébric. Problem 25. Detreminr os coecientes i, b i, i = 1, 2, 3, de modo que h h f(x)dx h[ 1 f( h)+ 2 f()+ 3 f(h)]+h 2 [b 1 f ( h)+b 2 f ()+b 3 f (h)] possu o mior possível gru de precisão lgébric. Problem 26. Mostrr que fórmul de qudrtur h f(x)dx h h3 [f() + f(h)] 2 24 [f () + f (h)] é ext pr todos os polinômios de gru três. Problem 27. Provr que fórmul de qudrtur h f(x)dx h h2 [f() + f(h)] [f () f (h)] + h3 12 [f () + f (h)]. possiu gru de precisão lgébric cinco. Problem 28. Mostrr que fórmul de qudrtur tem gru de precisão lgébric dois. f(x)dx 3 8 f(1 6 ) f(11 18 ) f(1) 5

6 6 Problem 29. Sej Q(f) um fórmul de qudrtur pr proximção d integrl f(x) dx. Provr que n-ésim fórmul de qudrtur compost, bsed em Q(f) pode ser representd como Q(ϕ n ), onde ϕ n (x) := 1 n 1 ( ) k + x f. n n k= Problem 3. Mostre que, pr t [, b], os núcleos de Peno K r (Q; t) pr o erro d fórmul de qudrtur f(x)dx k f(x k ), cujo gru de precisão lgébric é m 1, pode ser representdo como: ) K r (Q; t) = (b t)r r! Σ n k (x k t) r 1 +, (r 1)! ou [ (t ) b) K r (Q; t) = ( 1) r r Σ n r! (t x k ) r 1 ] + k, (r 1)! pr r = 1, 2,..., m. Problem 31. Provr que os coecientes j d fórmul de qudrtur Q(f) = j f(x j ) j=1 podem ser representdos trvés ds fórmuls j = ( 1) r [K r (r 1) (Q; x j + ) K r (r 1) (Q; x j )], j = 1,..., n. Problem 32. Mostrr que I(f) := f(x)dx b n d dt K r(q; t) = K r 1 (Q; t). Problem 33. Mostrr que, pr o erro d fórmul de trpézio compost [ b 1 vle estimtiv onde n 1 2 (f() + f(b)) + f ( I(f) Q n T (f) (b )ω f; b ), n ( + k b n ω(f; δ) := sup{ f(t ) f(t ) : t, t [, b], t t δ} é o módulo de continuidde d função f(x). ) ] := Q n T (f),

7 Problem 34. Sej f(x)dx k f(x k ) =: Q(f) um fórmul de qudrtur simétric, isto é, Provr que x k = b x n+1 k, k = n+1 k, k = 1,..., [(n + 1)/2]. pr todo t [, b]. Problem 35. Provr que, se K r (Q; + b t) = ( 1) r K r (Q; t) f(x)dx k f(x k ) =: Q(f) é um fórmul de qudrtur simétric, então Problem 36. Sejm K r (Q; t) dt = 2 f(x)dx (+b)/2 K r (Q tx) dt. k f(x k ) =: Q(f) e Q m (f) m-ésim fórmul de qudrtur compost, bsed n Q(f). Mostre que K r (Q m ; t) = 1 [ j m r K r(q; mt j) pr t n, j + 1 ), j =,..., n 1. n Problem 37. Sej m N e Q(f) um fórmul de qudrtur com gru de precisão lgébric m 1, pr cálculo proximdo d integrl f(x)dx. Se pr o erro dest fórmul em W, r 1 r m, vle desiguldde sup f(x)dx Q(f) A, f W r [,b] prove que pr n-ésim fórmul compost Q n (f), obtid trvés de Q(f), vle estimtiv sup f(x)dx Q n (f) A n r. Problem 38. Sej f W r [,b] f(x)dx k f(x k ) := Q(f) 7

8 8 um fórmul de qudrtur com gru de precisão lgébric m 1 1. Se o núcleo de Peno do seu erro K r (Q; t), 1 r m possui um zero τ (, 1), prove que est fórmul é ext pr função f(x) = (x τ) r 1 +. Prove seguinte rmção mis gerl: Se τ (, 1) é um zero com multiplicidde s de K r (Q; t), onde 1 s r 1, fórmul de qudrtur Q(f) é ext pr s funções (x τ) r 1 +, (x τ)r 2,..., (x τ)r s + Problem 39. Clculr os erros ds fórmuls de qudrtur do ponto médio, do trpézio e de Simpson, pr o espço W 1 [, b]. Quis os erros ds correspondentes fórmuls composts? Problem 4. Clculr os erros ds fórmuls de qudrtur do ponto médio, do trpézio e de Simpson, pr o espço W 2 [, b]. Quis os erros ds correspondentes fórmuls composts? Problem 41. Sej f C 2 [, b]. intervlo [, b], tis que ( ) + b f(x)dx (b )f 2 +. Provr que esistem pontos ξ 1 e ξ 2 no = f(ξ 1) 24 (b )3, f(x)dx b 2 [f() + f(b)] = f(ξ 2) 12 (b )3. Problem 42. Provr que, se f(x) é um função convex em [, b], então Q P (f) f(x)dx Q T (f). Problem 43. Provr que seguinte estimtiv pr fórmul de qudrtur de Simpson em W [, 3 b] é válid: sup f(x)dx Q S (f) (b )4 = M. 576 f W r [,b] Problem 44. Estimr os erros ds fórmuls de Simpson simples e compost pr clsse W 4 [, b]. Problem 45. Sej f C 4 [, b]. Provr que existe um ponto ξ 3 [, b], tl que f(x)dx b [ ( ) ] + b f() + 4f + f(b) = f (4) (ξ 3 ) (b )5. Problem 46. Sej f C 3 [, 1] e < m f (x) M pr todo x [, 1]. De cordo com o Problem 41, existem ξ 1, ξ 2 [, b], tis que f(x)dx f(1/2) = f(ξ 1) 24, Prove que ξ 1 ξ 2 min{1, M/(16m)}. f(x)dx 1 2 [f() + f(1)] = f(ξ 2) 12.

9 Problem 47. Usndo rmção do Problem 41, prove que existem pontos η 1, η 2 [, 1], tis que f(x)dx 2f(1/2) [f() + f(1)] = f(η 1) ; 6 f(x)dx 3 4 f(1/2) [f() + f(1)] = f(η 2) 12. Problem 48. Se f C 2 [, 1], prove que existe um ponto ξ [, 1], tl que f(x)dx 1 f(ξ) [f(1/4) + f(3/4)] = Problem 49. Se f C 2 [, 1], prove que existe um ponto ξ [, 1], tl que f(x)dx 1 f(ξ) [f(1/3) + f(2/3)] = Problem 5. Resolver o Problem 4 pr o espço W2 2 [, b]. Problem 51. Sej f C 2 [, 1]. Prove que f(x)dx = 3 8 h[f(x ) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )] 3 8 f (4) (ξ)h 5, onde < ξ < b, x k = + kh, k =, 1, 2, 3 e h = (b )/3. Problem 52. f(x)dx = 4 3 h[2f(x 1) + f(x 2 ) + 2f(x 3 )] f (4) (ξ)h 5, < ξ < b, x k = + kh, k =, 1, 2, 3h = (b )/4. Problem 53. Sej f(x) um função cuj derivd é integrável e com módulo que não exede um em [, 1]. Determinr o menor número de nós d fórmul de qudrtur compost do ponto médio (trpézio, Simpson) pr clculr f(x)dx com erro menos que.1. Problem 54. Sej f C 4 [, b]. Prove que f(x)dx = 3 8 h[f(x ) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )] 3 8 f (4) (ξ)h 5, onde < ξ < b, x k = + kh, k =, 1, 2, 3, e h = (b )/3. Problem 55. Sej f C 4 [, b]. Prove que f(x)dx = 4 3 h[2f(x 1) + f(x 2 ) + 2f(x 3 )] f (4) (ξ)h 5, onde < ξ < b, x k = + kh, k = 1, 2, 3, e h = (b )/4. 9

10 1 Problem 56. Sej f(x) um função cuj primeir derivd existe, é inegrável e o seu módulo não exede um em [, 1]. Determinr o número dos subintervlos pr plicção d fórmul do prlelogrmo (trpézio, Simpson) compost pr cálculo proximdo d integrl f(x)dx com precisão.1. Problem 57. Determinr o menor número dos subintervlos pr plicção d fórmul do prlelogrmo (trpézio, Simpson) compost pr cálculo proximdo ds seguintes integris com erro que no exede.1: ) b) dx 1 + x ; dx 1 + x 2. Problem 58. Determinr o menor número dos subintervlos pr plicção d fórmul de Simpson compost pr cálculo proximdo d integrl com erro que no exede.1 π/2 π/4 sinx x dx

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