Regras de Produto e Quociente

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1 Regras de Produto e Quociente Aula

2 Plano da Aula Derivadas de Ordem Superior Regra de Produto Regra de Quociente Exercícios Referências James Stewart Cálculo Volume I (Cengage Learning)

3 Derivadas de Ordem Superior I Muitas vezes (mas não sempre) se f (x) for uma função a primeira derivada f (x) pode ter a própria derivada. Essa nova função é denotada por f (x) também por d 2 y dx 2 obtido pelo d dx ( dy dx ). Pode ser repetido multiplas vezes para obter d 3 y dx 3, (f (x)), d 4 y dx 4, (f (x)),... d 2 y dx 2 d 3 y dx 3 segunda derivada terceira derivada

4 Derivadas de Ordem Superior II Exemplo de aula anterior: y = f (x) = x 3 x dy dx = f (x) = 3x 2 1 d 2 y dx 2 = f (x) = 6x d 3 y dx 3 = f (x) = 6 d 4 y dx 4 = f (x) = 0 Derivadas de Ordem Superior do 4 são iguais 0

5 Derivadas de Ordem Superior III y x f (x) f (x) f (x)

6 Derivadas de Ordem Superior IV Caso y = f (x) = x 3 dy dx = 3x 2 d 2 y = 6x d 3 y dx 2 dx 3 = 6 d 4 y dx 4 = 0 Nesse exemplo (x 3 ) várias derivadas de ordem superior são iguais 0. É assim para qualquer x n? Caso y = f (x) = (1/x) = x 1 dy dx = x 2 ; d 2 y dx 2 = 2x 3 ; Caso y = f (x) = 1/ x = x 1/2 d 3 y dx 3 = 6x 4 ; d 4 y dx 4 = 24x 5... dy dx = (1/2)x 1/2 ; d 2 y dx 2 = (1/4)x 3/2 ; d 3 y dx 3 = (3/8)x 5/2 ;...

7 Derivadas de Ordem Superior V Caso y = f (x) = e x y = dy dx = d 2 y = d 3 y = d 4 y =... dx 2 dx 3 dx 4 Caso y = f (x) = sen(x) dy dx = cos(x) d 2 y dx 2 d 3 y dx 3 = sen(x) = cos(x) d 4 y dx 4 = sen(x) = y y = f (x) = cos(x) semelhante d 12 (sen(x)) dx 12 =?

8 A Regra de Produto I Como obter a primeira derivada de uma função que é um produto de duas funções diferentes e cujas derivadas são definidas? Pelo uso do Regra de Produto definido assim Se f (x) = g(x)h(x) então f (x) é obtido pelo g (x)h(x) + g(x)h (x). Não é o produto das derivadas!

9 A Regra de Produto II Caso f (x) = x 3 = x(x 2 ). Nesse exemplo g(x) = x e h(x) = x 2 Pelo uso da equação padrão f (x) = 3x 2 Pela regra de produto g (x)h(x) + g(x)h (x) = 1(x 2 ) + x(2x) = 3x 2 Mas f (x) = x 3 = x 4 ( 1 x ) Nesse caso g(x) = x 4 e h(x) = (1/x) Pela regra de produto g (x)h(x) + g(x)h (x) = 4x 3 (1/x) + x 4 ( 1/x 2 ) = 3x 2 De acordo com nossos resultados anteriores.

10 A Regra de Quociente I Como obter a primeira derivada de uma função que é uma razão de duas funções diferentes e cujas derivadas são definidas? Pelo uso do Regra de Quociente definido assim Se f (x) = g(x)/h(x) então f (x) é obtido pela equação g (x)h(x) g(x)h (x) h 2 (x) Não é a razão das primeiras derivadas!

11 A Regra de Quociente II Caso y = f (x) = 1 = ( x x ) f (x) = dy dx = 0 Nesse exemplo g(x) = x; h(x) = x Segunda a Regra de Quociente f (x) é obtida pelo 1 x x 1 x 2 = x x x 2 = 0 Caso y = f (x) = x = ( x 2 x ) f (x) = dy dx = 1 Nesse exemplo g(x) = x 2 ; h(x) = x Segunda a Regra de Quociente f (x) é obtida pelo x(2x) x 2 (1) x 2 = x 2 x 2 = 1

12 A Regra de Quociente III Caso y = f (x) = x = ( x m+1 x ) f (x) = dy m dx = 1 Nesse exemplo g(x) = x m+1 ; h(x) = x m Segunda a Regra de Quociente f (x) é obtida pelo x m (m + 1)x m mx m 1 x m+1 x 2m = (m + 1)x 2m mx 2m x 2m = 1 Caso y = f (x) = (1/x) = ( x m x m+1 ) f (x) = dy dx = 1/x 2 Nesse exemplo g(x) = x m ; h(x) = x m+1 Segunda a Regra de Quociente f (x) é obtida pelo???

13 Exercicíos I Obter a primeira derivada das funções abaixo: y = f (x) = 1+x x 2 (Regra de Quociente) f (x) = (1) x2 (1+x)(2x) x 4 = x2 2x 2x 2 x 4 = x2 2x x 4 = y = f (x) = 2x+5 3x 2 f (x) = (2)(3x 2) 3(2x+5) (3x 2) 2 = 19 (3x 2) 2 y = f (x) = 4 3x 3x 2 +x (Regra de Quociente) (Regra de Quociente) f (x) = ( 3)(3x2 +x) (6x+1)(4 3x) (3x 2 +x) 2 = 9x2 24x 4 (3x 2 +x) 2 y = f (x) = x 3 e x (Regra de Produto) f (x) = 3x 2 e x +x 3 e x = (3x 2 +x 3 )e x ( ) 2 x 3 1 x 2

14 Exercicíos II Obter a primeira derivada das funções abaixo: y = f (x) = e x (Regra de Quociente) (f (x)=1/e x ) f (x) = (0)ex (1)e x e 2x = ex e 2x = 1 e x = e x y = f (x) = sen(x)e x (Regra de Produto) (f (x)=1/e x ) f (x) = sen(x)e x = cos(x)e x sen(x)e x = (cos(x) sen(x))e x y = f (x) = e x /sen(x) (Regra de Quociente) f (x) = e x sen(x) cos(x)e x sen 2 (x) = e x (sen(x)+cos(x)) sen 2 (x) y = f (x) = ln(x)x (Regra de Produto) f (x) = x ln(x) = (ln(x)+x/x) = ln(x)+1 y = f (x) = sen(x)cos(x) (Regra de Produto) f (x) = cos(x)cos(x) + (sen(x))( sen(x)) = cos 2 (x) sen 2 (x)

15 Exercicíos III Suponha que u e v sejam funções deriváveis em x = 0 tais que u(0) = 0; u (0) = 3; v(0) = 1; v (0) = 2 Determine os valores das derivadas em x = 0 d(uv) dx (Regra de Produto) f (x) = u dv +v du dx dx ; f (x=0) = u(x=0)( dv dx )(x=0)+v(x=0)( du dx )(x=0) d(uv) (x=0)=(0)(2)+( 1)( 3)=3 dx d(u/v) dx (Regra de Quociente) ( f v du u dv (x) = dx dx ) v 2 ; f (x=0) = v(x=0) ( du dx )(x=0) ( dv dx )(x=0)u(x=0) (v(x=0)) 2 d(u/v) (x=0)= ( 1)( 3) (2)(0) = 3/4 dx 4