Funções Exponenciais, Inversas,Simetria

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1 Funções Exponenciais, Inversas,Simetria Aula

2 Plano da Aula Funções exponencial e logaritmos naturais Funções Inversas Simetria Exercícios Referências James Stewart Cálculo Volume I (Cengage Learning)

3 Crescimento de Função Exponencial I Aula Anterior: A função exponencial y = b x é uma função crescente caso b > 1 é decrescente caso b < 1. Caso b > 1 cresce mais rápido do que a função linear. Função linear não pode incluir um termo como x 2 sendo uma função linear. A função exponencial cresce mais rápido do que uma função com x 2 ou não?

4 Crescimento de Função Exponencial II y x y = 2 x y = x 2

5 Crescimento de Função Exponencial II y x y = 2 x y = x 2

6 Função Exponencial Natural I Para qualquer valor de b, para x = 0 y = f (x) = b x = 1. Pensamos em uma linha reta que toca o gráfico da função y = f (x) = b x somente no ponto (0, 1). A equação geral que descreve uma linha reta é y = mx + b. m descreve a inclinação da linha.

7 Função Exponencial Natural II y 1 x y = 2 x y = 0, x + 1

8 Função Exponencial Natural III Para um dado valor de b na equação y = b x tem um valor específico de m na equação y = mx + b tais que y = mx + b toca a curva y = b x somente no ponto (0, 1) b (curva) m (linha reta) 2 0, 693 2,4 0,875 2,6 0, 955 2,7 0,993 2,9 1,0647 Para b = 2, m 1. O valor 2, denomina-se e. A função f (x) = e x é a função exponencial natural

9 Logaritmos Naturais I Aula Anterior: Se y = b x = log b y = x A base para o logaritmo é b. No caso que b = e o logaritmo é chamado logaritmo natural. log e x = ln x. Propriedades Importantes ln x = y e y = x ln e x = x e ln x = x caso x > 0 ln e =??

10 Logaritmos Naturais II A função ln x é uma função crescente. Mas cresce muito devegar em comparação com funções como x. x x ln x razão 9 3 2, , , , , , , , , , , ,85736

11 Logaritmos Naturais III y 20 x y = ln x y = x

12 Logaritmos Naturais IV Como encontrar o valor do logaritmo em qualquer base? Para todo número positivo (b 1!!) Se x > b log b x > 1 ou < 1? Se x > b ln x ln b > 1 ou < 1? log b x = ln x ln b

13 Funções Inversas I Definição: Uma função f é chamada função injetora se ele nunca assume o mesmo valor duas vezes f (x 1 ) f ((x 2 ) x 1 x 2 A função f (x) = x 2 é uma função injetora? A função f (x) = x 3 é uma função injetora?

14 Funções Inversas II Seja f uma função injetora com domínio A e imagem B Então a sua função inversa f 1 tem domínio B e imagem A e é definida por f 1 (y) = x f (x) = y para todo y em B Por exemplo no caso y = f (x) = x 3 a função inversa é dado por f 1 (x) = x 1/3. Para qualquer número real a ( a 3 ) 1/3 = a. Para qualqer função f com inversa f 1 f 1 (f (x)) = x f ( f 1 (y) ) = y

15 Funções Inversas III Encontre a função inversa f (x) = x y = x = x 3 = (y 2) = x = 3 y 2 Trocar x por y para obter y = 3 x 2 f 1 (x) = 3 x 2 f (f 1 (x)) = x???

16 Funções Compostas I Dados duas funções f e g a função composta (f g) é definida por (f g)(x) = f (g(x)) Também chamada composição de f e g No caso de função inversa g é igual f 1 Nesse caso a função composta é igual x

17 Funções Compostas II Se f (x) = x 2 e g(x) = (x 3) f g =? e g f =? (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 3) = (x 3) 2 (g f )(x) = g(f (x)) = g(x 2 ) = x 2 3 f g g f nesse caso, e tipicamente não. f f =? x 4 g g =? (x 6)

18 Funções Compostas III Se f (x) = x e g(x) = (2 x) encontre a função e domínio f g 4 (2 x) Domínio < x 2 (, 2] g f g g 2 x Domínio 0 x 4 [0, 4] 2 (2 x) Domínio 2 x 2 [ 2, 2] f f x 1/4 Domínio 0 x < [0, )

19 Simetria I Se f (x) = f ( x) para todo número x em seu domínio então f é chamda função par. f (x) = x (2n) n inteiro positivo é um função par Se f (x) = f ( x) para todo número x em seu domínio então f é chamda função ímpar. f (x) = x (2n+1) n inteiro positivo é um função ímpar

20 Simetria II f (x) = x 2 é uma função par f (x) = 1 x 2 é uma função par f (x) = (x x 3 ) é uma função ímpar f (x) = (x 2 x 2 ) é nem par e nem ímpar.

21 Simetria III y x y = 1 x 2

22 Simetria IV y x y = x x 3

23 Simetria V y x y = 1 x 2 y = 1 x 2 tem inversa?

24 Simetria VI y x y = x x 3 y = x x 3 tem inversa?

25 Exercícios I Se f (x) = ln x e g(x) = (x 2 9) encontre as funções f g ln (x 2 9) Domínio x > 3 x < g f (ln x) 2 9 Domínio x > 0 x < 0 < x < f f ln(ln x) Domínio x > 1 x < (1, ) g g (x 2 9) 2 9 Domínio (, ) e seus respectivos domínios.

26 Exercícios II Encontre uma fórmula para a função inversa f (x) = x 3 3 x x 1 y = x 1/3 + 1 f (x) = ln (x + 3) y = e x 3 f (x) = 2 10x y = log 10 log 2 x Encontre o valor exata de cada expressão e ln 2 1/2 e ln(ln e3 ) 3 ln x + ln ( ) 1 x 0