Exercícios 5 e 6 do MUROLO, páginas 59 e 60. Matemática Aplicada (UNIP, 2011)

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1 Exercícios 5 e 6 do MUROLO, páginas 59 e 60 Matemática Aplicada (UNIP, 2011) Exercício 5 (página 59) a) a função receita é dada por: R = p x q então, R = (-2q + 400). q é a função receita. Para esboçar o gráfico, precisamos obter os principais pontos. Então, seguindo os passos sugeridos em aula, temos: 1) a = - 2, logo, a < 0 e a concavidade da parábola é para baixo. 2) da expressão de R, temos c = 0 (não há um número independente). O valor do c diz onde a parábola corta o eixo y. Neste exercício, ela cortará o eixo y na origem (y=0). 3) raízes (pontos em que a parábola corta o eixo x). Para isso, colocamos R = 0 e ficamos com uma equação do segundo grau (cuja fórmula geral é ): Com delta é positivo, há duas raízes diferentes, ou seja, a parábola corta o eixo x em dois lugares diferentes. Para calcular as raízes, usamos Assim, a parábola corta o eixo x nos pontos q = 0 e q = ) vértice (ponto mais alto da parábola dá o eixo de simetria da mesma). Vamos usar a fórmula: Ou seja, a quantidade q = 100 corresponde à Receita igual a Agora podemos fazer o gráfico da função receita deste exercício: (Utilizei o programa WZGrapher, gratuito)

2 b) Para responder o item b não precisamos fazer nenhuma outra conta. Na verdade, basta ver o resultado do vértice, calculado no item anterior. Assim, a quantidade de garrafas a ser comercializada para que a receita seja máxima é q = 100. A receita máxima é igual a c) A receita é crescente até atingir o vértice, ou seja, para 0 < q < 100. A receita é decrescente do vértice em diante, ou seja, q > 100. Exercício 6 (página 60) Vamos considerar a Receita do exercício anterior e a função custo C = 240 q (não escolhi essa função, o exercício 6 diz para usá-la). a) Função lucro: a função lucro será sempre receita menos custo (L = R C). Assim, é a função lucro. Observem que a função lucro também é uma função do segundo grau. Para esboçar seu gráfico, precisamos seguir os quatro passos novamente. 1) a = -2,, logo, a < 0 e a concavidade da parábola é para baixo.

3 2) da expressão de L, temos c = O valor do c diz onde a parábola corta o eixo y. Neste exercício, ela cortará o eixo y em ) raízes (pontos em que a parábola corta o eixo x). Para isso, colocamos L = 0 e ficamos com uma equação do segundo grau (cuja fórmula geral é ): Com delta é positivo, há duas raízes diferentes, ou seja, a parábola corta o eixo x em dois lugares diferentes. Para calcular as raízes, usamos Assim, a parábola corta o eixo x nos pontos q = 20 e q = 60. 4) vértice (ponto mais alto da parábola dá o eixo de simetria da mesma). Vamos usar a fórmula: Ou seja, a quantidade q = 40 corresponde ao Lucro igual a 800. Agora podemos fazer o gráfico da função lucro deste exercício: (Utilizei o programa WZGrapher, gratuito)

4 b) Para responder o item b não precisamos fazer nenhuma outra conta. Na verdade, basta ver o resultado do vértice, calculado no item anterior. Assim, a quantidade de garrafas a ser comercializada para que o lucro seja máximo é q = 40. O lucro máximo é igual a 800. c) O lucro é positivo para 20 < q < 60. O lucro é negativo para 0 < q < 20 e q > 60 d) Os break-even points são os pontos em que a Receita é igual ao Custo. Como lucro é igual a receita menos custo, no BEP temos também lucro igual a zero. Ou seja, podemos fazer Receita = Custo para encontrar as quantidades dos BEP s ou podemos usar os resultados encontrados para a função lucro igual a zero (raízes da função lucro). Se vocês fizerem R = C, vocês encontrarão uma equação do segundo grau com as mesmas raízes encontradas para a função lucro (confiram). Assim, a Receita é igual ao Custo nas quantidades q = 20 e q = 60. Agora precisamos encontrar os valores da Receita e do Custo nessas quantidades. Podemos substituir na função Receita ou na função custo. Como a função Custo é de primeiro grau, a conta é mais simples. Assim, para q = 20, temos C = 240 (20) , ou seja, C = Para q = 60, temos C = 240 (60) , ou seja, C =

5 Sem usar o programa, bastaria fazer a reta da função Custo no mesmo gráfico da função receita do exercício 5. Como estamos usando o programa, o gráfico fica: Observação: Na prova não será possível usar o programa. Vocês terão um espaço quadriculado e precisarão escolher as escalas de x e de y que sejam mais adequadas. A reta da função custo é feita com o ponto em que corta o eixo y (2.400) e um dos break-even points (é melhor escolher o segundo). Ignorem as partes dos gráficos acima que estão na região q negativo, pois não fazem sentido na nossa aplicação.