RCB104 Módulo Exatas: Cálculo I

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1 Avaliação e Estudo Dirigido RCB104 Módulo Eatas: Cálculo I Avaliação: 6 de julho todo conteúdo Roteiro de aulas: estudo dirigido Profa Dra Silvana Giuliatti Departamento de Genética FMRP silvana@fmrp.usp.br 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 2 Referências Livros de Cálculo I Aula 1 1

2 Cálculo zero Análise das relações entre quantidades físicas ou matemáticas. Relações que podem ser descritas em forma de gráficos e equações. Ano População Mundial (milhões) /03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 5 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 6 Função: para cada valor de um determinado conjunto A, há um valor correspondente, f(), de um conjunto B. Conjunto A: Ano f Domínio: conjunto A Imagem: conjunto B Variável independente: Variável dependente: f() 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 7 f () Conjunto B: População (milhões) Domínio Variável independente: Ano Ano População Mundial (milhões) Variável dependente: População Mundial 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 8 2

3 Gráfico (Mapa de Dispersão) População Mundial (milhões) Eio : variável independente Eio y: variável dependente Ano Dados obtidos de um eperimento sobre a lactonização de um ácido X a 25 o C. t (minutos) Concentração (mol/l) 0 0, , , , ,0210 Como estimar o valor da concentração após 5 minutos? 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 9 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 10 Concentração (mol/l) Concentração (mol/l) 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, Tempo (minutos) Concentração (mol/l) Concentração (mol/l) 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 C(5) 0,035 mol/l 0,04 0,03 0,02 0, Tempo (minutos) 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 11 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 12 3

4 Colônias (1000) t (minutos) Colônia (UFC) Tempo (minutos) Qual seria o número de colônias em t = 3,5 minutos? Colônias (1000) y = Tempo (minutos) 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 13 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 14 Algumas funções... Função Linear (Polinômio de 1 º Grau) f() = m + b Onde: m: inclinação da reta (taa de variação de f() em relação à ). b: interseção com eio y. 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 15 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 16 4

5 Função Quadrática (Polinômio de 2 º Grau) f() = a 2 + b + c Função Eponencial f() = a 20 f() y = f() y = a > 0 a < 0 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 17 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 18 O Número e e = 2,71828 * Reta tangente passando em (0,1) com inclinação de eatamente 1 Função Logarítmica f() = log a 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 19 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 20 5

6 Logarítmos Naturais f() = log e = ln Trigonométricas f() = sen -1 sen 1 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 21 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 22 Trigonométricas f() = cos Trigonométrica f() = tg = -1 cos 1 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 23 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 24 6

7 Compostas Duas funções f e g podem ser combinadas para formar novas funções (adição, subtração, multiplicação e divisão). Eemplo: = e = 3. Então, a função composta é dada por: = = ( 3) Modelo Matemático: descrição matemática de um fenômeno real, como por eemplo, a concentração de um produto em uma reação química. Objetivo: entender e tentar fazer predições sobre um comportamento futuro. 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 26 Processo de Modelagem Matemática Testar Predições sobre o real Interpretar Problema Real Conclusões Matemáticas Formular Modelo Matemático Resolver Revisão de Conceitos O que é uma função? O que é domínio de uma função? O que é um gráfico de dispersão? Como, a partir de uma curva, saber se trata-se de um gráfico de função? O que é um modelo matemático? 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 27 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 28 7

8 Como a função f() = 2 +2 se comporta para valores próimos de 2? F() 1 2 1,5 2,75 1,8 3,44 1,9 3,71 1,95 3,8525 1,99 3,9701 1,995 3, ,999 3, F() 3 8 2,5 5,75 2,2 4,64 2,1 4,31 2,05 4,1525 2,01 4,0301 2,005 4, ,001 4, /03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 30 Notação: lim + 2 = 4 Definição 1: lim = O Limite de f() quando tende a a é igual a L. O limite da função f() quando tende a 2 é igual a 4. 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 31 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 32 8

9 Os valores de f() ficam cada vez mais próimos de L à medida que tende ao valor de a (por ambos os lados), mas diferente de a. Ao calcular o limite de f () quando tende a a nunca considera-se = a. f () não precisa estar definida quando = a. O importante é como f está definida próimo de a. Qual o limite da função f() = (-1)/( 2-1) quando tende a 1? < 1 F() 0,5 0, ,9 0, ,99 0, ,999 0, ,9999 0, lim 1 = 0,5 > 1 F() 1,5 0,4 1,1 0, ,01 0, ,001 0, ,0001 0, /03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 33 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 34 Atenção: Arredondamentos 1. Com calculadoras. Qual o limite da função f() quando tender a zero? = ( +9) 3 lim = F() ±1,0 0,16228 ±0,5 0,16553 ±0,1 0,16662 ±0,05 0,16666 ±0,01 0, /03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 35 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 36 9

10 O que aconteceria se fossem calculados valores ainda menores para t? A tabela mostra os resultados obtidosem uma calculadora. f = ( ) F() ±0,0005 0,16800 ±0,0001 0,20000 ±0, ,00000 ±0, ,00000 Quando for muito pequeno, a calculadora assume que o valor na raiz será 3. 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti Arredondamentos: quando parar? Qual o valor do limite da função f() quando tende a zero? = cos /03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 38 F() 1 1, ,5 0, ,1 0, ,05 0, ,01 0, Arredondar e assumir: lim cos = 27/03/2017 Profª Drª Silvana Giuliatti 39 10