CÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1

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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula no 05: Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas. Objetivos da Aula De nir as funções trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmica, exponencial e hiperbólicas; Enunciar suas principais propriedades e reconhecer o grá co dessas funções. Funções Trigonométricas Dado um número real θ, considere o ângulo orientado, em sentido anti-horário a partir do semi-eixo positivo dos x, cuja medida em radianos é θ e P (x, y) a interseção do lado terminal deste ângulo com o círculo unitário x + y =. Figura : Círculo unitário x + y = De niremos, a seguir, as funções trigonométricas. De nição (Função Seno). A função seno é uma função f de R em R que associa a cada θ R o número real y = sen θ, isto é, f: R R θ 7 y = sen θ. O domínio de f (θ) = sen θ é R e o conjunto imagem é o intervalo [, ]. Da forma como foi de nida, é possível notar que existe um padrão de repetição nos valores que a função assume, a cada certo intervalo. O comprimento deste menor intervalo de repetição é denominado de período da função f e é igual a π. O grá co de f (θ) = sen θ, denominado de senóide, pode ser visualizado a seguir. Figura : Grá co de f (θ) = sen θ.

2 Cálculo I Aula n o 04 De nição (Função Cosseno). A função cosseno é uma função f de R em R que associa cada θ R ao número real x = cos θ, isto é, f: R R θ 7 x = cos θ. De forma semelhante à função seno, o domínio da função cosseno é R e o conjunto imagem é o intervalo [, ]. Como esta função também foi de nida a partir do círculo unitário, é possível notar que existe um padrão de repetição. Desse modo, essa função é periódica e de período igual a π. O grá co de f (x) = sen x, denominado de cossenóide, pode ser visualizado a seguir. Figura 3: Grá co de f (θ) = cos θ. As funções tangente, cotangente, secante e cossecante, apresentadas a seguir, serão de nidas em termos de seno e cosseno. De nição 3 (Função Tangente). Para todo número real x, tal que cos x 6= 0, de nimos a função tangente (denotada por tg x) pela regra: f (x) = tg x = sen x. cos x O domínio da função tangente é o conjunto de todos os números reais x, para os quais cos x 6= 0. Portanto, para todo x na forma π + kπ, com k Z, a função tangente não é de nida. Pode-se veri car que a função tangente é periódica, mas de período igual a π. Seu grá co pode ser visto na gura abaixo: Figura 4: Grá co de f (x) = tg x. As funções secante, cossecante e cotangente são de nidas, respectivamente, da seguinte forma: sec x =., cos x cossec x =, sen x cotg x = cos x sen x Funções Trigonométricas Inversas De nição 4 (Inversa da função cosseno). A função inversa do cosseno é a função chamada arco-cosseno, denotada por arccos ou cos, de nida por: y = arccos(x) x = cos(y) Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior

3 Cálculo I Aula n o 04 e 0 y π. Figura 5: Grá co da função y = arccos x De nição 5 (Inversa da função seno). A função inversa do seno é a função chamada arco-seno, denotada por arcsen ou sen, de nida por: y = arcsen(x) x = sen(y) e π π y. Figura 6: Grá co da função y = arcsen x De nição 6 (Inversa da função tangente). A função inversa do tangente é a função chamada tangente, denotada por arctg ou tg, de nida por: arco- y = arctg(x) x = tg(y) e π π <y<. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 3

4 Figura 7: Gráco da função y = arctg x Funções Exponenciais e Logarítmicas A Função Exponencial Consideremos um número real a > 0 e a. Denimos a função exponencial como sendo a função f : R R dada por f(x) = a x. O conjunto imagem da função exponencial é R + e seu gráco é dado por: Figura 8: Função exponencial com base a >. Figura 9: Função exponencial com base 0 < a <. As principais propriedades da função exponencial, conhecidas como propriedades da potência, serão muito úteis em nosso estudo. São elas: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 4

5 (P) a x+y = a x a y ; (P) a x y = ax a y ; (P3) a x y = (a x ) y ; (P4) a x = a x ; (P5) a m n = n a m (P6) Se x < y então a x < a y, para a > e a x > a y, para 0 < a < Observando as propriedades, podemos destacar que a propriedade (P) nos leva a entender que a função exponencial "transforma somas em produtos", de fato: f(x + y) = a x+y = a x a y = f(x) f(y), e a propriedade (P6) nos garante que a função exponencial é crescente para a > e decrescente para 0 < a <, fato esse que pode ser observado nos grácos. Observação. Tomando, por exemplo, a função exponencial f(x) = x, o que é o número x?. Se x for um número natural, o número x é o resultado da multiplicação da base por ela mesma x vezes, por exemplo: f(3) = 3 = = 8. Se x for um número inteiro positivo, procedemos como anteriormente e se for negativo, utilizaremos a propriedade (P4) para determinar x, como por exemplo: f( ) = = = 4 Agora, se x for um número racional, para obtermos x, tomamos a sua forma fracionária e utilizamos a propriedade (P5), por exemplo: ( ) f = 3 3 = 3 = 3 4 Mas e se x for um número irracional, por exemplo, x =, que número seria f( ) =? Para isso, devemos lembrar que =, , dessa forma, utilizando a propriedade (P6), temos a seguinte aproximação, 4 < <, 5,4 < <,5, < <, 8847, 4 < <, 4,4 < <,4, < <, , 44 < <, 45,44 < <,45, < <, Logo, pode ser descrito como sendo o número maior que todos os,4,,4,,44,... e menor que todos os números,5,,4,,45,... Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 5

6 Um Caso particular Queremos determinar a solução do seguinte problema: Qual é o valor de a para que a função exponencial f(x) = a x possua reta tangente com inclinação igual a no ponto (0, )? Em outras palavras, qual a função exponencial cuja equação da reta tangente em (0,) é y = x+. Esse problema possui solução e a base dessa função exponencial é um número irracional, denotado por e, Seu aparecimento de forma explícita se deu quando da resolução de um problema de juros compostos com capitalização contínua, resolvido pelo matemático suíço Jakob Bernoulli e será estudado na seção de limites. Mas esse número tem grande importância no estudos de vários fenômenos naturais como o crescimento populacional, decaimentos radioativos, dentre outros. Figura 0: Função f(x) = e x.. A Função Logarítmica Note que pela propriedade (P6), a função exponencial é sempre crescente ou sempre decrescente, dependendo do valor da base a. Logo, ela é injetora, pois para cada x < y, ou seja, x y, temos, para qualquer valor de a, que a x a y. E se restringirmos o contradomínio ao conjunto R +, obtemos a função f : R R + denida por f(x) = ax, que é bijetora. Desse modo, f possui inversa que é a denominada função logarítmica, denida da seguinte forma: f : R + R x y = log a x onde y = log a x x = a y Como se trata de uma função inversa, a função logarítmica possui propriedades que "desfazem" o que a função exponencial faz, por exemplo, ao passo que a função exponencial "transforma uma soma em produto", a função logarítmica transforma um produto em soma (o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos). Veja a tabela a seguir: Função Exponencial a x+y = a x a y a x y = ax a y a x y = (a x ) y Função Logarítmica log a (x ( y) ) = log a x + log a y x log a = log y a x log a y log a (x y ) = y log a x O gráco da função logarítmica pode ser obtido pela propriedade gráca da função inversa. Dessa forma, Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 6

7 Figura : Função logarítmica com base a >. Figura : Função logarítmica com base 0 < a <. Observação. Quando a base do logaritmo é o número e, costuma-se denotar por ln x. Então, f(x) = ln x = log e x. Observação 3. Uma forma de denir a função logarítmica de x na base e é através do cálculo de uma área da região localizada abaixo da função g(t) = t abaixo: entre as retas t = e t = x, como mostrado na gura Figura 3: f(x) = ln x. Contudo, essa abordagem será discutida mais a frente no nosso curso. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 7

8 3 Funções Hiperbólicas Nessa seção apresentaremos as funções hiperbólicas, que são funções obtidas por combinação das funções e x e e x. Elas são: Função Seno Hiperbólico é a função f : R R dada por f(x) = senh (x) = ex e x. O seu gráco é Figura 4: Gráco da Função f(x) = senh x Função Cosseno Hiperbólico é a função g : R R +, dada por g(x) = cosh(x) = ex + e x, e seu gráco é: Figura 5: Gráco da Função f(x) = cosh x A partir dessas duas funções podemos denir as outras que seguem abaixo: Função Tangente Hiperbólica é a função f : R (, ) dada por f(x) = tgh (x) = senh x cosh x = Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 8

9 e x e x e x, o seu gráco é o seguinte: + e x Figura 6: Gráco da Função f(x) = tgh x Função Secante Hiperbólica é a função g(x) = cosh(x) e cujo gráco é: Figura 7: Gráco da Função f(x) = sech x Função Cossecante Hiperbólica é a função f(x) = senh(x) e cujo gráco é: Figura 8: Gráco da Função f(x) = cossech x Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 9

10 Função Cotangente Hiperbólica é a função g(x) = tgh(x) = cosh(x) senh x e cujo gráco é: Figura 9: Gráco da Função f(x) = cotgh x Vejamos alguns exemplos de cálculos simples: Exemplo. Calcule o valor de (a) senh 0 (b) cosh 0 (c) tgh (d) senh (ln ) (e) sech 0 (f) cotgh (ln 3) (g) cossech (ln ) Solução: (a) senh 0 = e0 e 0 (b) cosh 0 = e0 + e 0 = 0 = 0 = = (c) tgh = senh cosh = e e e e e = + e e + e = e e + ( ) (d) senh (ln ) = eln e ln 3 = = = 3 4 (e) sech 0 = cosh 0 = = Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 0

11 (f) cotgh (ln 3) = (g) cossech (ln ) = cosh ln 3 senh ln 3 = e ln 3 + e ln 3 e ln 3 e ln 3 senh x = e ln e ln = = eln 3 + e ln e ln 3 e ln 3 = A utilização das funções hiperbólicas na ciência e na engenharia ocorre sempre que uma entidade com a luz, a velocidade, a eletricidade ou a radioatividade, é gradualmente absorvida ou extinta, sendo esse decaimento representado por esse tipo de função. Uma outra aplicação é o uso do cosseno hiperbólico para descrever a forma de um o dependurado entre duas hastes, como por exemplo o o elétrico entre dois postes. Em geral, esse o assume a forma de uma catenária, que é uma curva cuja equação é y = c + a cosh ( x a). Também podemos utilizar as funções hiperbólicas na descrição das ondas do mar. A velocidade de uma onda aquática com comprimento L se movimentando por uma massa de água com profundidade d é modelada pela função: = 3 ( ) gl πd v = π tgh L onde g é a aceleração da gravidade. A seguir, exibiremos algumas identidades envolvendo as funções hiperbólicas: Proposição. Sejam x, R. Então: (i) senh ( x) = senh x (ii) cosh( x) = cosh x (iii) cosh x senh x = (iv) tgh x = sech x (v) senh(x + y) = senh x cosh y + senh y cosh x (vi) cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y Demonstração: Provaremos os itens (iii) e (iv) e os outros cam como exercício. = 4 3 = = 5 4 (iii) Note que ( e cosh x senh x + e x ) ( e x e x ) x = ( e x + e x e x + e x ) ( e x e x e x + e x ) = 4 4 = e x + + e x e x + e x 4 = 4 4 = (iv) Observe que tgh x = senh x cosh x = cosh x senh x cosh x = cosh x = sech x Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior

12 Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções.,.5 e.6 e no Apêndice G do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das seções.,.5 e.6 os do Apêndice G do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior

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