CÁLCULO I. Apresentar a técnica de derivação implícita; Resolver problemas envolvendo taxas relacionadas.

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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Anré Almeia Prof. Eilson Neri Júnior Aula no 3: Derivação Implícita. Derivaa a Função Inversa. Taxas Relacionaas. Objetivos a Aula Apresentar a técnica e erivação implícita; Determinar a erivaa a função inversa; Resolver problemas envolveno taxas relacionaas. Derivação Implícita As funções apresentaas até agora poem ser escritas expressano-se uma variável explicitaente em termos e outras. Por exemplo: ou y = x2 3x + y = sen(x) ou, em geral, y = f (x). Algumas funções, entretanto, são e nias implicitamente por uma relação entre x e y, tais como x2 + y 2 = ou x3 + y 3 = 6xy. Observe que o grá co a equação x2 + y 2 = é uma curva chamaa circunferência e raio com centro na origem. Se você separar y a equação, é possível escrever explicitamente em relação a x, porém temos uas funções, uma positiva e outra negativa: y= p x2 ou p y = x2. Apresentaremos a seguir, algumas curvas e nias implicitamente. Figura : Círculo: x2 + y 2 = Figura 2: Carioie: x2 + y 2 = (2x2 + 2y 2 x)2

2 Cálculo I Aula n Figura 3: Curva o Diabo: y 2 (y 2 4) = x2 (x2 5) De nição. too x Exemplo. f, o ponto y = f (x) é aa implicitamente pela equação Q(x, y) = 0, (x, f (x)) for solução a equação, isto é, Q(x, y) = 0. sen2 (x) 2 f (x) = é aa implicitamente pela equação sen (x) + y = 3xy, 3x sen2 (x) x 6=, o par x, é solução esta equação. 3 3x A função que para too 3 Figura 4: Folio e Descartes: x3 + y 3 = 6xy Dizemos que uma função no omínio e o Suponha y = f (x) uma função iferenciável e aa implicitamente pela equação: se para uma vez Q(x, y) = 0. Usano a regra a caeia poemos erivar Q(x, y) = 0, isto é, erivamos os ois laos esta equação em relação a x: [Q(x, y)] = 0, x consierano x como variável inepenente e lembrano que y é função e x. Desta forma, é possível obeter a erivaa as funções implícitas, mesmo não conheceno explicitamente a função f (x). Basta achar a erivaa usano as proprieaes e a regra a caeia para y. Este processo é chamao e erivação implícita. Exemplo 2. Seja y = f (x) uma função aa implicitamente pela equação 3x2 + 6y + 2x = 6. Calcule y. x Derivano a equação aa em relação a x, temos: ( 3x2 + 6y + 2x) = (6) x x y +2 = 0 6x + 6 x y = x. x 3 Exemplo 3. Se g(x) + x sen(g(x)) = x2, encontre Prof. Marcos Diniz Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia g 0 (0). 2

3 Cálculo I Aula n o 3 Derivano a equação em relação a x, temos: [g(x) + x sen(g(x))] = x x [x2 ] g (x) + sen(g(x)) + x cos(g(x)).g (x) = 2x g (x) = 2x sen(g(x)) + x cos(g(x)) g (0) = sen(g(0)). Como g(x) satisfaz a equação aa, então fazeno x = 0 nesta equação: g(0) + 0. sen(g(0)) = 0 g(0) = 0. Substituino este valor em g (0), obtemos: g (0) = sen(0) = 0. Exemplo 4. Encontre a a equação a reta tangente a curva x 2 + y 2 = 9, no ponto (2, 5). Derivano em relação x, temos: x (x2 + y 2 ) = y (9) 2x + 2y x x = 0 y x x y, y 0. Para escrever a equação a reta, precisamos calcular m: y x x y = 2 = Assim: y 5 = (x 2) 5y + 2 5x = 9 5. Exemplo 5. Use erivação implícita para encontrar uma equação a reta tangente à curva sen(x + y) = 2x 2y, no ponto e abscissa (π, π). Consiere y = f(x) uma função aa implicitamente pela equação sen(x + y) = 2x 2y. temos o ponto e tangência, resta eterminar o coeciente angular a reta, ao por f (π). implicitamente a equação aa e usano a regra a caeia: Aplicano no ponto (π, π), temos: Portanto, a equação a reta tangente é aa por (sen(x + y)) = (2x 2y) x ( x cos(x + y). + y ) = 2 2 y x x y 2 cos(x + y) = x 2 + cos(x + y) f (π) = 2 cos(2π) 2 + cos(2π) = 3. Como já Derivano y π = 3 (x π) y = 3 x + 2π 3. Prof. Marcos Diniz Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 3

4 Cálculo I Aula n o 3 Exemplo 6. Encontre a equação as retas tangente e normal à Curva o Diabo, aa implicitamente por y 2 (y 2 4) = x 2 (x 2 5), no ponto (0, 2). Derivano implicitamente a equação aa, temos: 4y 3 y y 8y x x = 4x3 0x y x = 4x3 0x 4y 3 8y y x = 0. (0, 2) Portanto, a reta tangente é a reta horizontal y = 2 e a reta normal é a reta vertical x = 0. Exemplo 7. Se x 3 + y 3 =, encontre y por erivação implícita. Derivano implicitamente, temos: Derivano implicitamente novamente, temos y (x3 + y 3 ) = y () 3x3 + 3y 2.y = 0. y (3x3 + 3y 2.y ) = 0 6x + 6y.y + 3y 2.y = 0 y = 2(x + y.y ) y 2. 2 Derivaa a função inversa Suponha f uma função inversível e erivável em um ponto x, com f (x) 0. Já vimos que: y = f(x) y x = [f(x)] e x = f (x) x y = [f (y)]. Da enição e função inversa, segue que para too x D f, temos: f (f(x)) = x. Derivano esta última ientiae em relação a x e usano a regra a caeia, obtemos: Substituino f(x) por y na inversa, temos: Com isto, temos a seguinte proposição: [f (f(x))].f (x) = [f (y)] = [f(x)]. Proposição. Seja f uma função inversível com inversa f. Se f é erivável em um ponto x e f (x) 0, então sua inversa é também erivável em y = f(x). Além isso: (f ) (y) = f (x). Exemplo 8 (Derivaa a função arco-cosseno). Calcule f (x) para f(x) = arccos(x). Prof. Marcos Diniz Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 4

5 Cálculo I Aula n o 3 Da enição e inversa, temos que: y = arccos(x) x = cos(y), com y [0, π]. Usano a erivaa a inversa, segue que: [arccos(x)] = [cos(y)] = sen(y). Como x = cos(y) e sen 2 y + cos 2 y =, então sen(y) = cos 2 y = x 2. Substituino este valor na equação anterior, temos: [arccos(x)] =, x (, ) x 2 Exemplo 9 (Derivaa a função arco-seno). Calcule f (x) para f(x) = arcsen(x). Da enição e inversa, temos que: y = arcsen(x) x = sen(y), [ com y π 2, π ]. Usano a erivaa a inversa, segue que: 2 [arcsen(x)] = [sen(y)] = cos(y) = sen 2 y =. x 2 Portanto, [arcsen(x)] =, x (, ) x 2 Exemplo 0 (Derivaa a função arco-tangente). Calcule f (x) para f(x) = arctg(x). Da enição e inversa, temos que: y = arctg(x) x = tg(y), [ com y π 2, π ]. Usano a erivaa a inversa e a ientiae tg 2 x + = sec 2 x, segue que: 2 [arctg(x)] = [tg(y)] = sec 2 (y) = + tg 2 y = + x 2. Portanto: [arctg(x)] = + x 2. Exemplo (Derivaa e ln x). Mostre que x (ln x) = x. Como y = ln x é a inversa e y = e x e esta é erivável, então a função y = ln x é erivável. Assim, utilizaremos o métoo a função inversa para calcular a erivaa e y = ln x. Seja y = ln x = e y = x Derivano implicitamente a equação anterior, em relação a x, temos: Logo: e y. y x = y x = e y = x. Prof. Marcos Diniz Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 5

6 Cálculo I Aula n o 3 3 Taxas Relacionaas Suponha que uas variáveis x e y sejam funções e uma terceira variável t, isto é, x = f(t) e y = g(t). Como já vimos anteriormente, as erivaas x t = f (t) e y t = g (t) são interpretaas como as taxas e variação, respectivamente, e x e y em relação a variável t. Se estas variáveis estão relacionaas por meio e alguma equação: Q(x(t), y(t)) = 0 erivano esta equação em relação a t, obtemos também uma equação relacionano as erivaas x t e y t : x y Neste caso, t e t [Q(x(t), y(t))] = 0. t são chamaas e taxas relacionaas. Exemplo 2. Se a área A e um círculo com raio r e o círculo expane à meia que o tempo passa, encontre A r em termos e t t. Sabemos que área A e um círculo e raio r é aa por: A = πr 2 Como, tanto área, quanto raio variam no tempo, temos A = A(t) e r = r(t). Para encontrar A r, basta erivar em relação ao tempo, a fórmula acima membro a membro usano erivaa implícita e regraa caeia em relação a r = r(t). Temos assim: A t = t (πr2 ) = 2πr r t Exemplo 3. Suponha que petróleo vaze por uma ruptura e um petroleiro e espalha-se em um parão circular. Se o raio o petróleo erramao crescer a uma taxa constante e m/s, quão rápio a área o vazamento está cresceno quano a raio é igual a 30 m. Como o raio o petróleo erramao crescer a uma taxa constante e m/s, signica que r t = m/s e quano r = 30 m, a área o vazamento estará cresceno conforme A t = 2πr r t = 2π.30. = 60π m2 /s. Exemplo 4. Um tanque cilínrico com raio e 5 m está recebeno água a uma taxa e 3 m 3 /min. Quão rápio a altura e água está aumentano? Prof. Marcos Diniz Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 6

7 Cálculo I Aula n o 3 Temos que: V = πr 2 h Derivano esta equação em relação a t, lembrano que V e h são funções e t: V t = πr2 h t e substituino nesta equação os valores aos no problema, temos: V t = πr2 h t h t = 3 25π m/min. Exemplo 5. Um tanque e água possui o formato e um cone circular reto invertio com raio a base igual a 0 m e altura igual a 5 m. Se a água está seno bombeaa para entro o tanque a uma taxa e 0, m 3 /min, encontre a taxa na qual o nível a água está aumentano quano a água estiver a 5 m e profuniae. Sabemos que o volume o reservatório é ao por: V = 3 πr2 h Note que a equação acima possui uas variáveis, r e h. escreveno-a em função a outra. Observe que: Seno assim, vamos eliminar uma elas, Logo, por semelhança e triângulos, temos: 5 h = 0 r r = 2 3 h. Deste moo, poemos escrever o volume como: Derivano em relação a t, obtemos: V = 3 π ( 2 3 h ) 2 h V = 4 27 πh3 V t = 4π 27.3h2. h t = 4π 9.h2. h t. Substituino os aos a questão na equação anterior, temos: V t = 4π 9.h2. h t = 0, 9 00π m/s. Prof. Marcos Diniz Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 7

8 Cálculo I Aula n o 3 Resumo Faça um resumo os principais resultaos vistos nesta aula. Aprofunano o conteúo Leia mais sobre o conteúo esta aula nas páginas e o livro texto. Sugestão e exercícios Resolva os exercícios as páginas e o livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. Eilson Neri Prof. Anré Almeia 8