CÁLCULO I. 1 Construção de Grácos. Objetivo da Aula. Aula n o 20: Grácos. Utilizar o Cálculo Diferencial para esboçar o gráco de uma função.
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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula n o 0: Grácos. Objetivo da Aula Utilizar o Cálculo Diferencial para esboçar o gráco de uma função. 1 Construção de Grácos Separamos alguns exemplos de construção de grácos de funções utilizando o cálculo diferencial. Para isso, em todos os exemplos seguiremos o seguinte roteiro. (1) Domínio - vericar sempre em que pontos a função está denida ou não está denida; () Simetria - vericar se a função é par ou ímpar. No caso de trabalharmos com funções periódicas, determinar o período, caso exista. () Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais - Utilizar a primeira derivada para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento e o teste da primeira derivada para determinar os máximos e mínimos locais; (4) Concavidade / Pontos de Inexão - Utilizar a segunda derivada para determinar a concavidade da função e também os pontos de inexão; (5) Assíntotas - Utilizar os ites no innito para determinar a existência de assíntotas horizontais e vericar os pontos em que a função não está denida para determinar as assíntotas verticais; (6) Raízes e Interseção com o eixo y - determinar as raízes da função e o ponto de interseção com o eixo y, caso existam; (7) Esboçar o gráco. Observação 1. Sempre que determinarmos os extremos relativos e os pontos de concavidade se faz necessário determinar o valor da função nesses pontos para que possamos representá-los no gráco. Exemplo 1. Esboce o gráco da função f(x) = x x x + 1 Solução: Vamos seguir sempre o roteiro mencionado no início dessa seção. (1) Domínio. Como f é uma função polinomial, então D f = R. () Simetria. Note que f( x) = ( x) ( x) ( x) + 1 = x x + x + 1 Como f( x) f(x) e f( x) = f(x), então f não é par nem ímpar. 1
2 () Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais. Vamos determinar a função f e estudar o seu sinal. Desse modo, f (x) = x x 1 Agora, vamos determinar as raízes de f. Dessa forma, utilizando a fórmula de Bháskara, temos que as raízes são x = 1 e x = 1. Então, estudando o sinal da função f, temos o seguinte diagrama Figura 1: Estudo do Crescimento/Decrescimento de f(x) = x x x + 1 Logo, f é crescente em (, 1 ) (1, + ) e decrescente em ( 1 ), 1. Pelo teste da primeira derivada, 1 é máximo local e 1 é mínimo local. (4) Concavidade / Pontos de Inexão. Vamos determinar a função f e estudar o seu sinal. Sendo assim, f (x) = 6x Logo, a raiz de f é x = 1. Estudando o sinal de f, temos o seguinte diagrama Figura : Estudo da Concavidade de f(x) = x x x + 1 Logo, f tem concavidade para baixo em (, 1 ) ( ) 1 e para cima em, +. Analisando a concavidade de f, podemos notar que x = 1 é um ponto de inexão de f. (5) Assíntotas. Verticais. Como f está denido em R, então f não apresenta assíntotas verticais. Horizontais. Para vericar se existem assíntotas horizontais, devemos calcular os ites f(x) e f(x). x + x Então, f(x) = x + x + x x x + 1 = (1 x + x 1x 1x + 1x ) = +.1 = + Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho
3 e f(x) = x x x x x + 1 = (1 x x 1x 1x + 1x ) =.1 = Portanto, f não apresenta assíntotas horizontais. (6) Raízes e Interseção com o eixo y. Por inspeção, note que 1 é uma raiz de f(x). Se tratando de uma função polinomial, podemos utilizar o Método de Briot-Runi ou a divisão usual de polinômios para descobrir que x x x + 1 = (x 1) (x + 1). Logo, f(x) = (x 1) (x + 1), e portanto, as raízes de f são 1 e 1 (note que 1 é uma raiz dupla). A interseção com o eixo y é feita fazendo x = 0 na expressão da função. Logo, f(0) = = 1 Logo, o ponto de interseção com o eixo y é o ponto (0, 1) (7) Esboçar o gráco. Notamos primeiramente que ( f 1 ) = 7 ( ) 1 f = 16 7 f(1) = 0 f( 1) = 0 Assim, o gráco é dado por Figura : Graco de f(x) = x x x + 1 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho
4 Exemplo. Esboce o gráco de f(x) = x 4 x Solução: (1) Domínio. Note que D f = R () Simetria. Observe que Então f é uma função par. f( x) = ( x) 4 ( x) = x 4 x = f(x) () Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais. Calculando a primeira derivada, temos que f (x) = 4x 4x Calculando as raízes da primeira derivadas, temos que f (x) = 0 4x(x 1) = 0 x = 0 ou x = 1ou x = 1 Estudando o sinal de f podemos construir o seguinte diagrama e exibir os intervalos de crescimento e descrescimento de f. Figura 4: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de f(x) = x 4 x Então, f é decrescente em (, 1) (0, 1) e crescente em ( 1, 0) (1, ). Utilizando o diagrama acima, segue do teste da primeira derivada que 1 e 1 são mínimos locais e 0 é máximo local. (4) Concavidade / Pontos de Inexão. Para estudar a concavidade, devemos estudar o sinal da função f. Sendo assim, note que f (x) = 1x 4 Logo f (x) = 0 1x 4 = 0 4(x 1) 4( x 1)( x + 1) Sendo assim, as raízes são x = e x =. Dessa forma, utilizando o diagrama abaixo, podemos determinar a concavidade de f. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 4
5 Figura 5: Concavidade de f(x) = x 4 x ( ) Então, f possui concavidade para cima em, ( ) baixo em,. Utilizando o diagrama acima, podemos perceber que x = são pontos de inexão de f. (5) Assíntotas. Verticais. Como o domínio de f é R, então não há assíntotas verticais. Horizontais. Calculando os ites no innto, temos que e f(x) = x + f(x) = x x + x4 x = x x4 x = Então, não há assíntotas horizontais. f(x) + ( ), + e possui concavidade para x + x4 (1 ) = +.1 = + x x x4 (1 ) = +.1 = + x (6) Raízes e Interseção com o eixo y. Fazendo f(x) = 0, obtemos que e x = Observe que se x + ou x, temos que x 4 x = 0 x (x ) = 0 x = 0 ou x = ou x = Então as raízes são 0(raiz dupla), e. Agora, fazendo f(0) = = 0 notamos que a função intersecta o eixo y na origem. (7) Esboçar o gráco. Fazendo os seguintes cálculos Sendo assim, o gráco de f é dado por f f(0) = 0 f( ) = 0 f( ) = 0 f( 1) = 1 ( ) f(1) = 1 f = 5 9 ( ) = 5 9 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 5
6 Figura 6: Gráco de f(x) = x 4 x Exemplo. Esboce o gráco da função f(x) = x tg x, x ( π, π ). Solução: (1) Domínio. Note que D f = () Simetria. Observe que ( π, π ) sen ( x) f( x) = ( x) tg ( x) = x. cos( x) como a função seno é ímpar e a função cosseno é par, temos que sen( x) = sen(x) e cos( x) = cos(x). Então, f( x) = x sen x cos x = x.sen x cos x Logo, f é uma função par. Note que f não é periódica. = x tg x = f(x) () Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais. Calculando f, obtemos que f (x) = tg x + x sec x Note que se f (x) = 0, então, tg x + x sec x = 0 sen x cos x + x cos x = 0 sen x cos x + x cos = 0 x sen x cos x + x = 0. cos x 1 sen x + x = 0 sen x = x o que implica que x = 0. Sendo assim, para estudarmos o sinal de f, observamos que para sec x > 0 para todo x D f, e que se x < 0 então, tg x < 0 e se x > 0 então tg x > 0, ou seja, se x < 0 então f (x) < 0 e se x > 0 então f (x) > 0. Portanto, obtemos o seguinte quadro Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 6
7 Figura 7: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de f(x) = x tg x Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é mínimo local. (4) Concavidade / Pontos de Inexão. Calculando f, obtemos f (x) = sec x + sec x + x sec x tg x = sec x (1 + x tg x) Note que para x ( π, π ), temos que sec x 0. Logo, para encontramos uma raiz de f, temos que encontrar uma raiz de 1 + x tg x. Mas note que para isso, devemos encontrar algum valor de x tal que 1 + x tg x = 0 x tg x = 1 x sen x cos x = 1 Agora, observe que se x > 0 então sen x > 0 e se x < 0 então sen x < 0. Logo o produto x sen x > 0 e como cos x > 0 para x D f então x tg x > 0 no domínio que estamos considerando. Então, f não possui raiz. E como 1 + x tg x > 0, temos o seguinte quadro Figura 8: Concavidade de f(x) = x tg x (5) Assíntotas. Em se tratando de assíntotas da função f(x) = x tg x, note que não faz sentido calcularmos os ites no innito de uma função denida em um intervalo. Como nesse intervalo a função f é contínua, então não há assíntotas em pontos de seu interior. Porém se faz necessário, estudar os ites nas extremidades do intervalo, mesmo que elas não pertençam ao mesmo. Sendo assim, vamos calcular os seguintes ites: Como x sen x x tg x = x π + x π + cos x x sen x = π x π +, cos x = 0 e cosx > 0 para valores a direita de π, temos que x π + x tg x = + x π + Analogamente, temos que x tg x = + x π Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 7
8 (6) Raízes e Interseção com o eixo y. Observe que a única raiz da função f(x) = x tg x é em x = 0, implicando que a interseção com o eixo y é a origem. (7) Esboçar o gráco. Logo, o gráco de f é dado por Figura 9: Gráco de f(x) = x tg x Exemplo 4. Esboce o gráco da função f(x) = ex x. Solução: (1) Domínio. Note que D f = R {0}. () Simetria. Observe que f( x) = e x x = e x x como f( x) f(x) e f( x) f(x) então f não é par nem ímpar. () Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais. Calculando f, obtemos que f (x) = (ex ) x e x (x) x = ex (x 1) x Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 8
9 Agora, observe que e x > 0 e x > 0 para todo x D f. Desse modo, para estudarmos o sinal de f temos que estudar o sinal de x 1. E, dessa forma, obtemos o seguinte quadro: Figura 10: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de f(x) = ex x. Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 1 é mínimo local. (4) Concavidade / Pontos de Inexão. Calculando f, obtemos f (x) = [ex (x 1)] x e x.(x 1).x x 4 = ex (x x + ) x Observe que para x D f, temos e x > 0 e x x + > 0. Logo, o termo que determina o sinal de f é o x. Mas lembre que x 0. Logo, obtemos o seguinte quadro: Figura 11: Concavidade de f(x) = ex x E observe que não há pontos de inexão. (5) Assíntotas. Verticais. Note que Como e x x 0 + x = x 0 ex = 1, x = 0 e x > 0, logo, + x 0 + [ ] 1 0 x 0 + e x x = + Analogamente, temos que e x x 0 x = Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 9
10 portanto, x = 0 é uma assíntota vertical. Horizontais. Agora observe que Pela Regra de l'hôspital, temos que Agora, note que x + e x [ ] + x = + e x x + x = = ex x + 1 = + e x x x = Logo, y = 0 é uma assíntota horizontal. x ex. x 1 x = 0 (6) Raízes e Interseção com o eixo y. Observe que f não possui raízes e não há interseção com o eixo y. (7) Esboçar o gráco. Logo, o gráco de f é dado por Figura 1: Gráco de f(x) = ex x Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 4.5 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios da seção 4.5 do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 10
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