CÁLCULO I. 1 Derivada de Funções Elementares

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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Aula n o : Derivada das Funções Elementares. Regras de Derivação. Objetivos da Aula Apresentar a derivada das funções elementares; Apresentar e aplicar as regras operacionais de derivação; Derivar funções utilizando diferentes técnicas; Derivada de Funções Elementares Nessa seção abordaremos as primeiras regras de derivação que serão úteis para o nosso estudo de derivadas. Proposição. Seja r Q. A derivada da função potência f(x = x r é Vejamos alguns exemplos. df (x = rxr Exemplo. Determine a derivada das seguintes funções: (i f(x = x 7 ; (ii g(x = x 3 ; (iii h(x = 5 x; (iv p(x = 7 x 3. Utilizaremos a proposição anterior. Desse modo, (i f (x = 7x 7 = 7x 6 (ii Utilizando as propriedades das potências g (x = ( x 3 = ( x 3 = 3x 3 = 3 x 4 (iii Utilizando a propriedade dos expoentes racionais, obtemos que dh (x = ( 5 x ( = x 5 = 5 x 5 = 5 x 4 5 = 5 ( 4 5 = x 5 x 4 5 = 5 5 x 4 (iv Fazendo como anteriormente, temos que dp ( (x = 7 ( x 3 = x = 7 x 3 7 = 3 7 x = 7 ( = x 7 x 4 7 = x 4

2 Cálculo I Aula n o A próxima proposição nos dá a derivada de mais duas funções úteis em nossos cálculos. Proposição. Se x R, então, Então Demonstração: (sen x = cos x e (cos x = sen x Basta utilizar a denição de função derivada. Seja f(x = sen x, e p R qualquer. ( x p ( f f(x f(p sen x sen p sen cos x+p (x x p x p x p x p x p x p ( sen x p ( cos x+p ( sen x p ( x + p x p x p x p x p cos =.cos x p = cos p ( p Como p R então, podemos escrever (sen x = cos x Analogamente, podemos mostrar a segunda igualdade. Proposição 3. Seja f(x = e x então f (x = e x. Demonstração: Note que O ite acima é resolvido utilizando o ite abaixo: f (x = e x+h e x = e x (e h = e x e h ( + x 0 x/x = e Esse ite surge de um problema de juros compostos e foi inicialmente estudado por Jakob Bernoulli e é chamado de Limite Fundamental Exponencial. Retornando ao nosso ite que devemos resolver, fazemos a seguinte mudança de variável: E assim, u = e h h = ln(u + h 0 u 0 e h u h 0 ln( + u u 0 u u 0 = ln(e = ln( + u ln( + u u Portanto, f (x = e x. = e x Apresentaremos a seguir, as regras de derivação para soma, subtração, multiplicação por um escalar, multiplicação e divisão de funções que são úteis para determinar a derivada das funções que são dadas por operações algébricas das funções ditas elementares. Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida

3 Cálculo I Aula n o Regras de Derivação Diferenciação ou derivação é a operação utilizada para encontrar a derivada de uma função, quando esta é derivável. Existem alguns resultados que facilitam a operação de diferenciação. Teorema. Sejam f e g funções deriváveis e c uma constante real, então a (f + g (x = f (x + g (x b (f g (x = f (x g (x c (c f (x = c f (x d (f g (x = f(x g (x + g(x f (x ( f e (x = f (x g(x g (x f(x g [g(x] Exemplo. Calcule f (x, sendo f(x = x 3 + x +. Aplicando a regra da derivada da soma, temos: f (x = [x 3 ] + [x ] + [] = 3x + x. Exemplo 3. Calcule f (x, sendo f(x = 3x + x. f(x = 3x + x = 3x + x Aplicando a regra da derivada da soma, temos f (x = 3 + x = 3 + x = 3 + x. Exemplo 4. Calcule f (x, sendo f(x = 5x 4 + bx 3 + cx + k, onde b, c e k são constantes. Utilizando a regra da derivada da soma e a derivada da potência, temos: f (x = 0x 3 + 3bx + cx Exemplo 5. Calcule f (x, sendo f(x = (x + 3x sen x. Aplicando a regra da derivada do produto, temos: Exemplo 6. Calcule f (x, quando f(x = f (x = (x + 3x cos x + sen x(x x x +. Aplicando a regra da derivada do quociente, temos: f (x = (5x.(x + (x +.(5x (x + = 5(x + (x.(5x (x + = 5x + 5 0x (x + = 5x + 5 (x +. Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 Cálculo I Aula n o Exemplo 7. Calcule f (x, para f(x = tg x. f(x = tg x = sen x cos x Utilizando a regra da derivada do quociente, temos; f (x = cos x(cos x ( sen x sen x cos x = cos x + sen x cos x Utilizando a regra do quociente, podemos provar também que = cos x = sec x. f(x = sec x f (x = sec x tg x f(x = cotg x f (x = cossec x f(x = cossec x f (x = cossec x cotg x (Verique! Exemplo 8. Calcule f (x, quando f(x = 3x + x x f(x = 3x + x x Aplicando a derivada da soma, temos: = 3x x + x x x = 3x + x = 3x + x f (x = 3 x 3 = 3 x x. Observação. O Exemplo 8 nos mostra que nem sempre precisamos aplicar a regra do quociente logo de primeira. Algumas vezes é mais fácil reescrever um quociente primeiro, colocando-o em uma forma que seja mais simples para derivar. Exemplo 9. Seja x = t sen(t. Calcule: a dt b dt t=π a Aplicando a regra da derivada do produto, temos: b Calculando, temos: t=π dt dt = d dt (t sen t = t sen t + t cos t = t( sen t + t cos t. dt = π( sen π + π cos π = π. t=π Exemplo 0. Seja y = u em que u = u(x é uma função derivável. Verique que = udu. Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 Cálculo I Aula n o Assim, Exemplo. Calcule, em que y = (x + 3x. y = u = u u = d du [u u] = u + udu. = udu. Fazendo u = x + 3x, temos: y = u. Pelo Exemplo 0, temos: = udu. du Como = d [x + 3x] = x + 3, temos: = (x + 3x (x + 3. }{{}}{{} u du Observação. Vimos no Exemplo 0, que sendo y = u, com u = u(x derivável, resulta em Por outro lado: Assim, em (, temos: y = u = udu. ( du = d du [u ] = u. = du.du, ( em que deve ser calculado em u = u(x. Mostraremos nas próximas aulas que esta regra (, conhecida du como regra da cadeia é válida sempre que y = y(u e u = u(x forem deriváveis. Exemplo. Calcule f (x, para f(x = 3 cos (x. Temos que: f (x = 3.. cos(x. sen(x = cos(x sen(x. ( x Exemplo 3. Calcule f (x, quando f(x = x 3 sen. 3 Temos que: f (x = 3x 3. cos ( x 3. Exemplo 4. Calcule f (x, para f(x = (5x ( x 3 + 5x 3 4. Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 Cálculo I Aula n o [5x ] = 5 [ ( x 3 + 5x 3 4] = 4( x 3 + 5x 3 3 ( 3x + 5 Aplicando a regra da derivada do produto, segue que: f (x = 5.( x 3 + 5x (5x.4( x 3 + 5x 3 3 ( 3x + 5 = ( x 3 + 5x 3 3. [ 5( x 3 + 5x 3 + 4(5x ( 3x + 5 ] = ( x 3 + 5x 3 3. [ 5x 3 + 5x 5 + 4( 5x 3 + 5x + 3x 5 ] = ( x 3 + 5x 3 3. [ 5x 3 + 5x 5 60x x + x 0 ] = ( x 3 + 5x 3 3.( 65x 3 + x + 5x 35. Exemplo 5. Encontre a equação da reta tangente à curva y = x x no ponto (,. Note que y = f(x = x x = x.x = x 3. Assim: y = 3 x 3 = 3 x 3 = x. Logo, a inclinação da reta tangente em (, é f ( = 3. Portanto, uma equação da reta tangente é: y f( = f (.(x y = 3 (x y = 3 x Gracamente, temos: Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 Cálculo I Aula n o Exemplo 6. Encontre os pontos sobre a curva y = x 4 6x + 4, onde a reta tangente é horizontal. As retas tangente horizontais ocorrem quando derivada é igual a zero. Temos: [x4 6x + 4] = 4x 3 x = 4x(x 3. Assim: 4x(x 3 = 0 x = 0 ou x = ± 3. Logo, a curva dada tem tangentes horizontais, quando x = 0, x = 3 e x = 3. correspondentes são (0, 4, ( 3, 5 e ( 3, 5. Gracamente, temos: Os pontos Resumo Faça um resumo das regras de derivação vistas nesta aula. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula no Capítulo 3 - Seções 3. e 3. do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios da seçãao 3. e 3. do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7