CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 12: Extremos relativos e absolutos. Método do Intervalo Fechado Objetivos da Aula Definir e determinar Extremos Absolutos e Relativos de uma função; Enunciar o Método do Intervalo Fechado para determinar extremos absolutos. 1 Extremos Relativos e Absolutos Definição 1 (Extremos Absolutos). Seja c um número no domínio de uma função f. Então f(c) é o (i) valor máximo absoluto de f em D se f(c) f(x) para todo x em D. (ii) valor mínimo absoluto de f em D se f(c) f(x) para todo x em D. Nestas definições, o número c é chamado ponto de máximo ou ponto de mínimo e f(c), o valor máximo ou valor mínimo de f. Os máximos e mínimos absolutos de uma função são chamados de extremos absolutos da função. Observe o gráfico abaixo: Figura 1: Gráfico da função f Note que o gráfico da função exibida possui máximo absoluto em d e mínimo absoluto em a. Os pontos (a, f(a)) e (d, f(d)) são, respectivamente, o ponto mais baixo e o ponto mais alto no gráfico. Definição 2 (Extremos Relativos). O número f(c) é um (i) valor máximo local de f se f(c) f(x) quando x está próximo de c. (ii) valor mínimo local de f se f(c) f(x) quando x está próximo de c. Note ainda, no gráfico da Figura 1, que se considerarmos apenas os valores próximos de b, por exemplo, no intervalo (a, c), então f(b) é o menor destes valores de f(x) e é chamado de valor mínimo local, enquanto que, considerando valores de f(x) no intervalo (0, b), teremos que f(a) é o maior destes valores, logo será chamado de valor máximo local. 1

2 Cálculo I Aula no 15 Exemplo 1. O gráfico da função quadrática f (x) = x2 4x + 3 é mostrado na figura abaixo: Note que, para x = 1 e x = 3, temos que f (x) = 0. Neste caso, dizemos que 1 e 3 são raízes da função. Além disso, observe que em x = 2, temos f (x) = 1, que é o valor mínimo absoluto da função que é também o valor mínimo local. Exemplo 2. Observe o gráfico da função f (x) = x3 3. Note que essa função não tem nenhum valor máximo absoluto e nem um valor mínimo absoluto. De fato, ela não possui nenhum valor extremo local. Observação 1. Nem toda função possui extremos absolutos, existe porém um teorema do cálculo que garante que toda função contínua definida em um intervalo fechado [a, b] tem extremos absolutos neste intervalo. Teorema 1 (do Valor Extremo). Se f for contínua em um intervalo fechado [a, b], então f assume um valor máximo absoluto f (c) e um valor mínimo absoluto f (d) em certos números c e d em [a, b]. O Teorema do Valor Extremo garante a existência de valores máximos ou mínimo absolutos no intervalo [a, b] mas não diz como encontrá-los. Graficamente nos pontos máximos e mínimos passa reta tangente Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Aula no 15 Cálculo I e é paralela ao eixo dos x, isto é, f 0 (c) = 0 e f 0 (d) = 0. O teorema a seguir garante isso para funções diferenciáveis. Teorema 2 (de Fermat). Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f 0 (c) existir, então f 0 (c) = 0 em [a, b]. Exemplo 3. A função f (x) = x3 tem derivada f 0 (x) = 3x2 e f 0 (0) = 0, mas c = 0 não é máximo e nem mínimo. Observe graficamente: Exemplo 4. A função f (x) = x tem seu valor mínimo (local e absoluto) em 0, mas o valor não pode ser encontrado por considerar f 0 (x) = 0 porque, f 0 (0) não existe. Observe o gráfico: f 0 (c) Observação 2. O exemplo 3 demonstra que, mesmo quando = 0, não é necessário existir um mínimo ou máximo em c, ou seja, a recíproca do Teorema de Fermat não é verdadeira. Já o exemplo 4 sugere que pode existir um valor extremo mesmo quando f 0 (c) não existir. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 Cálculo I Aula n o 15 O Teorema de Fermat sugere que devemos pelo menos começar procurando valores extremos de f no números c onde f (c) = 0 ou onde f (c) não existe. Esses números são chamados de números críticos. Definição 3 (Número Crítico). Um número crítico ou ponto crítico de uma função f é um número c no domínio de f tal que ou f (c) = 0 ou f (c) não existe. Exemplo 5. Encontre os pontos críticos de f(x) = x 2 4x + 3. Solução: Temos que o domínio de f é o conjunto R. Derivando f(x) e igualando a zero, temos: 2x 4 = 0 x = 2. f. Então c = 2 é um número crítico. Como f(2) = 1, então o ponto P = (2, 1) é um ponto crítico de Exemplo. Encontre os pontos críticos de f(x) = x + 1 x. Solução: Como f (x) = 1 1 x 2. Fazendo f (x) = 0, temos que x = ±1. Substituindo esses valores na ( função, obtemos P = 1, 1 ) e Q = ( 1, 1 2 2), pontos críticos de f. Em termos de números críticos, o Teorema de Fermat pode ser reescrito da seguinte forma: Teorema 3 (de Fermat). Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então c é um número crítico de f. Para encontrar um máximo ou um mínimo absoluto de uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] observamos que ele é local (nesse caso ocorre em um número crítico), ou acontece em uma extremidade do intervalo. O procedimento de três etapas sempre funciona: O Método do Intervalo Fechado Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a, b]: 1. encontre os valores de nos números críticos de f em um intervalo aberto [a, b]. 2. encontre os valores de f nas extremidades do intervalo [a, b]. 3. o maior valor entre as etapas 1 a e 2 a é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto. Exemplo 7. Encontre os valores máximo e mínimos absoluto da função f(x) = x 3 3x no intervalo [ 12, 4 ]. Solução: Note que f é uma função polinomial, logo é contínua no intervalo dado. Dessa forma, podemos utilizar o método do intervalo fechado. Temos que: f(x) = x 3 3x f (x) = 3x(x 2). Uma vez que f (x) existe para todo x, os únicos pontos críticos ocorrem quando f (x) = 0, isto é, x = 0 ou x = 2. Note que cada um desses números críticos está no intervalo ( 12 ), 4. Os valores de f nestes números críticos são: f(0) = 1 e f(2) = 3. Os valores de f nas extremidades do intervalo são: ( f 1 ) = 1 e f(4) = Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 Aula no 15 Cálculo I Comparando esses quatro números, vemos que o valor máximo absoluto é f (4) = 17 e o valor mínimo absoluto é f (2) = 3. Observe graficamente: Exemplo 8. Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função f (x) = x 2 cos(x) no intervalo [ π, π]. Solução: Note que f é contínua, pois é a soma de duas funções contínuas. Utilizando o método do intervalo fechado, temos: f (x) = x 2 cos(x) f 0 (x) = 1 + 2sen(x). Uma vez que f 0 (x) existe para todo x, os únicos pontos críticos ocorrem quando f 0 (x) = 0, isto é, π x =. Como esta raiz está no intervalo dado, temos que o valor de f neste número crítico é: π π f = 3 2, 25. Os valores de f nas extremidades do intervalo são: f ( π) = 2 π 1, 41 e f (π) = π + 2 5, 14. Comparando πesses quatro números, vemos que o valor máximo absoluto é f (π) = 5, 14 e o valor mínimo absoluto é f = 2, 25. Observe graficamente: Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 Cálculo I Aula n o 15 Resumo O que são extremos relativos de uma função? E extremos absolutos? Como determiná-los? Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 4.1 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios da seção 4.1 do livro texto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida