Algumas Regras para Diferenciação

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Algumas Regras para Diferenciação Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Algumas Regras para Diferenciação 1.A regra da constante.a regra da potência 3.A regra do múltiplo constante 4.As regras da soma e da diferença 5.Uma aplicação: aumento de vendas

3 1. A regra da constante Na aula anterior calculamos derivadas pelo processo de limite. Este processo, entretanto, é longo, mesmo para as funções mais simples; felizmente existem regras que simplificam grandemente a diferenciação. Essas regras permitem calcular derivadas sem utilizar limites diretamente.

4 1. A regra da constante A Regra da Constante: A derivada de uma função constante é zero; isto é, d c c dx [ ] = 0, constante

5 1. A regra da constante Demonstração: Seja f(x) = c. Pela definição de derivada, podemos escrever f ' f ( x + x) f ( x) c c 0 ( x) = lim = lim = lim = 0. x 0 x x 0 x x 0 x Portanto, d dx [ c ] = 0.

6 1. A regra da constante Note, na figura abaixo, que a Regra da Constante equivale a dizer que o coeficiente angular de uma reta horizontal é zero.

7 1. A regra da constante Exemplo 1: Cálculo de derivadas de funções constantes d a. [ 7] = 0 dx b. Se f ( x) = 0, então f '( x) = 0 dy c. Se y =, então = 0 dx 3 d. Se g( t) = -, então g '( t) = 0

8 . A regra da potência Utilizamos o desenvolvimento binomial para provar a Regra da Potência: ( x + x) = x + x x + ( x) 3 ( x + x) = x + 3x x + 3x ( x) + ( x) 3 3 n( n 1) x n n n n 1 ( x + x) = x + nx x + ( x) + ( x) n

9 . A regra da potência A Regra (Simples) da Potência: d x n nx n = 1, n real, arbitrário dx Demonstração: Provaremos apenas o caso em que n é um inteiro positivo. Seja f(x) = x n. Aplicando o desenvolvimento binomial, podemos escrever

10 . A regra da potência f ' n n f ( x + x) f ( x) ( x + x) x ( x) = lim = lim = x 0 x x 0 x n n n 1 n( n 1) x n x + nx x + ( x) + + ( x) x = lim x 0 x n n 1 n( n 1) x n 1 x nx + ( x) + + ( x) = lim = x 0 x n n 1 n( n 1) x n 1 = lim nx + ( x) + + ( x) = x 0 n 1 = nx = = nx n 1 n =

11 . A regra da potência Para a Regra da Potência, o caso em que n = 1 convém ser considerado como uma regra separada de diferenciação; isto é, d dx [ x ] = 1 Esta regra é compatível com o fato de o coeficiente angular da reta dada por y = x ser 1, como se vê na figura seguinte.

12 . A regra da potência

13 . A regra da potência Exemplo : Aplicando a regra da potência Função Derivada a. f ( x) = x f ( x) = 3x 3 ' 1 dy b. y = = x = ( ) x = x dx x ' c. g( t) = t g ( t) = 1 dr d. R = x = 4x dx 4 3

14 . A regra da potência No Exemplo b, note que, antes de diferenciar, devemos escrever 1/x como x -. Isto constitui o primeiro passo em muitos problemas de diferenciação. Função: y = 1 x Reescrevendo: y Diferenciando: Simplificando: dy dx = ( ) x dy dx = x 3 = x 3 Lembre que a derivada de uma função f é outra função que dá a inclinação do gráfico de f em um ponto arbitrário onde f seja diferenciável.

15 . A regra da potência Exemplo 3: Ache a inclinação do gráfico de f(x) = x para x = -, -1, 0, 1 e. Comecemos aplicando a Regra da Potência para achar a derivada de f. f (x) = x Podemos aplicar a derivada para achar a inclinação do gráfico de f, como segue.

16 . A regra da potência Valor de x Inclinação do Gráfico de f ' a. ( ) ( ) 4 x = m = f = = ' b. -1 ( 1) ( 1) x = m = f = = ' c. 0 (0) (0) 0 x = m = f = = ' d. 1 (1) (1) x = m = f = = e. x = = = = ' m f () () 4 A figura seguinte exibe o gráfico de f.

17 . A regra da potência

18 3. A regra do múltiplo constante A Regra do Múltiplo Constante: Para provar a Regra do Múltiplo Constante, aplicamos a seguinte propriedade dos limites. lim cg( x) = c lim g( x) x a x a

19 3. A regra do múltiplo constante A Regra do Múltiplo Constante: Se f é uma função diferenciável de x e c é um número real, então d ' [ cf ( x )] = cf ( x ), c é uma constante. dx

20 3. A regra do múltiplo constante Demonstração: Aplicando a definição de derivada, obtemos d cf ( x + x) cf ( x) f ( x + x) f ( x) [ cf ( x) ] = lim = lim c = dx x 0 x x 0 x f ( x + x) f ( x) = c = cf x x ' lim ( ). x 0 Informalmente, a Regra do Múltiplo Constante afirma que as constantes podem ficar fora do processo de diferenciação. A utilidade desta regra costuma ser esquecida quando a constante figura no denominador.

21 3. A regra do múltiplo constante Para utilizar eficientemente a Regra do Múltiplo Constante, devemos procurar constantes que possam ser fatoradas antes de diferenciar. Veja os exemplos seguintes. d dx e d 5x = 5 x = 5( x) = 10x dx dx 5 5 dx 5 5 d x 1 d 1 = x = ( x ) = x

22 3. A regra do múltiplo constante Exemplo 4: Diferencie as seguintes funções 1 4 a. y = x b. f ( t) = Aplicando a Regra do Múltiplo Constante e a Regra da Potência, podemos escrever dy d d a. x x x x x = = = = = = 1 dx dx dx x Regra do múltiplo constante Regra da potência t 5

23 3. A regra do múltiplo constante Exemplo 4: Diferencie as seguintes funções 1 4 a. y = x b. f ( t) = Aplicando a Regra do Múltiplo Constante e a Regra da Potência, podemos escrever d 4 4 d ( ) 4 8 = ( ) dt 5 = = = 5 dt 5 5 ' b. f ( t) t t t t Regra do múltiplo constante t 5 Regra da potência

24 3. A regra do múltiplo constante Podemos combinar a Regra do Múltiplo Constante e a Regra da Potência para formar uma regra única. d cx n cnx n = 1, n real, c constante dx Assim é que, no Exemplo 4b, aplicando esta regra combinada, obtemos d dx t = ()( t) = t

25 3. A regra do múltiplo constante Exemplo 5: Derive as funções abaixo Tenha em mente que d cx c dx [ ] =, c é uma constante. Função Original Derivada 3x 3 a. y = y ' = - b. y = 3 π x y ' = 3π x 1 c. y = y ' = -

26 3. A regra do múltiplo constante Exemplo 6: Ache a derivada de cada função. Função Reescrevendo Diferenciando Simplificando a. y = y = ( x ) y = ( 3 x ) y = x x ' 5 4 ' 15 b. y = y = 3 ( x ) y = ( 3 x ) y = 8 8 8x ( x) ( 3x) 3 ' 4 ' ' 7 ' 14x c. y = y = ( x ) y = ( x) y = 3x d y y x y x y x ( ) ( ) ' '. = = 63 = 63 = 16 4

27 3. A regra do múltiplo constante Ao diferenciar funções que envolvem radicais, é conveniente escrevê-las com expoentes racionais. Veja os exemplos abaixo: y = x y = x 1 1 y = y = y = x x 3 x 4 3

28 3. A regra do múltiplo constante Exemplo 7: Ache a derivada de cada função. Função Reescrevendo Diferenciando Simplificando 1 1 ' 1 ' 1 a. y = x y = x y = x y = x ( ) ' 1 5 ' 1 3 b. y = y = x y = 3 x 3 x y = 3x ( 1 ) 1 ' 1 ' 1 c. y = x y = x y = x y = x 5 3

29 4. As regras da soma e da diferença As Regras da Soma e da Diferença A derivada da soma (ou diferença) de duas funções diferenciáveis é a soma (ou diferença) de suas derivadas. d [ f x dx g x ] f x g x d [ dx g x ] f x g x ' ' ( ) + ( ) = ( ) + ( ) Regra da Soma ' ' ( ) ( ) = ( ) ( ) Regra da Diferença

30 4. As regras da soma e da diferença Demonstração: Seja h(x) = f(x) + g(x) h( x + x) h( x) f ( x + x) + g( x + x) f ( x) g( x) ( ) = lim = lim x 0 x x 0 x f ( x + x) f ( x) + g( x + x) g( x) = lim x 0 x f ( x + x) f ( x) g( x + x) g( x) = lim x 0 + x x f ( x + x) f ( x) g( x + x) g( x) = lim + lim x 0 x x 0 x ' ' = f ( x) + g ( x) ' h x

31 4. As regras da soma e da diferença Assim, d ' ' [ f ( x ) + g ( x )] = f ( x ) + g ( x ) dx A Regra da Diferença se demonstra de maneira análoga. As Regras da Soma e da Diferença podem ser estendidas para a soma ou a diferença de um número finito arbitrário de funções. Por exemplo, se y = f x + g x + h x y = f x + g x + h x ' ' ' ' ( ) ( ) ( ), então ( ) ( ) ( )

32 4. As regras da soma e da diferença Exemplo 8: Ache a inclinação da função abaixo no ponto (1, -1). f x x x 3 ( ) = 4 + A derivada é: ' f ( x) = 3x 4 Assim, a inclinação de gráfico de f em (1, -1) é ' Inclinação = f (1) = 3(1) 4 = 1

33 4. As regras da soma e da diferença

34 4. As regras da soma e da diferença O Exemplo 8 mostra como utilizar a derivada para determinar a forma de um gráfico. Um primeiro esboço do gráfico pode dar a impressão de que o ponto (-1, 1) seja um ponto mínimo do gráfico. Entretanto, após achar que a inclinação nesse ponto é -1, concluímos que o ponto de mínimo (em que a inclinação é zero) está um pouco mais à direita.

35 4. As regras da soma e da diferença Exemplo 9: Ache a equação da tangente ao gráfico da função abaixo no ponto (-1, -3/) g( x) = x + 3x x A derivada é: ' 3 g ( x) = x + 9x Assim, a inclinação de gráfico de g em (-1, -3/) é ' 3 Inclinação = g ( 1) = ( 1) + 9( 1) = + 9 = 9

36 4. As regras da soma e da diferença Aplicando a fórmula ponto-coeficiente angular, podemos escrever a equação da tangente em (-1, -3/) como: y y = m( x x ) y y y ( 1) = 3 + = 9x = 9x + [ x ] ( x, y ) são as coordenadas do ponto 0 0

37 4. As regras da soma e da diferença

38 5. Uma aplicação: aumento de vendas Exemplo 10: De 1983 a 199, a receita R (em milhões de dólares) da Microsoft Corporation tem como modelo matemático a expressão abaixo, onde t = 3 corresponde a Qual a taxa de variação da receita da Microsoft em 1990? R = t t + t t ,76 16,77 153,05 571,84 789,94 Uma forma de resposta a esta questão consiste em achar a derivada do modelo de receita em relação ao tempo.

39 5. Uma aplicação: aumento de vendas Uma forma de resposta a esta questão consiste em achar a derivada do modelo de receita em relação ao tempo. dr dt = t t + t 3 3,04 50,31 306,1 571,84 Em 1990 (quando t = 10), a taxa de variação da receita em relação ao tempo é dada por dr dt 3 3,04(10) 50,31(10) 306,1(10) 571, = +

40 5. Uma aplicação: aumento de vendas Como R é medida em milhões de dólares e t é dado em anos, decorre que a derivada dr/dt é dada em milhões de dólares por ano. Assim, ao fim de 1990, a receita da Microsoft estava aumentando à razão de $500 milhões por ano, como mostra a figura acima.