Regras do Produto e do Quociente

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Regras do Produto e do Quociente Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Regras do Produto e do Quociente 1.A regra do produto.a regra do quociente 3.Simplificação de derivadas 4.Uma aplicação: pressão sanguínea

3 1. A regra do produto Na aula anterior, vimos que a derivada de uma soma ou a diferença de duas funções é simplesmente a soma ou a diferença de suas derivadas. As regras para a derivada de um produto ou de um quociente de duas funções não são tão simples. 3

4 1. A regra do produto A derivada do produto de duas funções diferenciáveis é igual ao produto da primeira função pela derivada da segunda, mais o produto da segunda função pela derivada da primeira. d ' ' [ f ( x ) g ( x )] f ( x ) g ( x ) + g ( x ) f ( x ) dx 4

5 1. A regra do produto Demonstração: Algumas demonstrações matemáticas, como a Regra da Soma, são imediatas. Outras envolvem sutilezas que podem parecer injustificadas. A demonstração que se segue apresenta este último aspecto soma e subtração da mesma grandeza. Seja F(x) f(x)g(x). 5

6 1. A regra do produto F( x + x) F( x) ( ) lim x 0 x f ( x + x) g( x + x) f ( x) g( x) lim x 0 x f ( x + x) g( x + x) f ( x + x) g( x) + f ( x + x) g( x) f ( x) g( x) lim x 0 x g( x + x) g( x) f ( x + x) f ( x) lim f ( x x) g( x) x x x ' F x g( x + x) g( x) f ( x + x) f ( x) lim f ( x + x) lim + lim g( x) lim x 0 x 0 x x 0 x 0 x f x g x + g x f x ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) 6

7 1. A regra do produto Exemplo 1: Ache a derivada de y x x + x (3 )(5 4 ). Aplicando a Regra do Produto, podemos escrever Derivada da Derivada da ( segunda ) ( primeira ) (Primeira) Segunda dy ( ) d d 3x x [ x] + (5 + 4 x) 3x x dx dx dx ( ) 3x x (4) + (5 + 4 x)(3 4 x) ( ) x x + x + x x 1 8 ( ) x 4x 7

8 1. A regra do produto No exemplo seguinte, note que o primeiro passo para diferenciar consiste em escrever a função original sob nova forma. 8

9 1. A regra do produto Exemplo : Ache a derivada de 1 f ( x) + 1 ( x 1). x Reescreva a função e aplique então a Regra do Produto para achar a derivada 9

10 1. A regra do produto ( 1 )( ) f ( x) x + 1 x 1 ' 1 d d 1 f ( x) x + 1 x 1 + x 1 x + 1 dx dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) f ( x) x x 1 x f f f ' 1 ' ' ' 1 x 1 ( x) + 1 x x x ( x) x x + 1 ( x) x + x x

11 1. A regra do produto Temos agora duas regras de diferenciação relativas a produtos a Regra do Múltiplo Constante e a Regra do Produto. A diferença dentre essas duas regras é que a Regra do Múltiplo Constante se refere ao produto de uma constante e uma grandeza variável. c é uma Constante F( x) cf ( x), onde f(x) Grandeza Variável 11

12 1. A regra do produto Enquanto que a Regra do Produto se refere ao produto de duas grandezas variáveis F( x) f ( x) g( x), onde f(x) e g(x) Grandezas Variáveis O próximo exemplo compara essas duas regras. 1

13 1. A regra do produto Exemplo 3: Ache as derivadas das funções a. y x( x + 3 x) b. y ( x + 3 x) a. Pela Regra do Produto dy d d ( x) x 3 x ( x 3 x) x dx dx dx ( x)(x + 3) + ( x + 3 x)() 4x + 6x + x + 6x 6x 1 + x [ ] 13

14 1. A regra do produto Exemplo 3: Ache as derivadas das funções a. y x( x + 3 x) b. y ( x + 3 x) b. Pela Regra do Múltiplo Constante dy d x + 3 x dx dx ()(x + 3) 4x

15 1. A regra do produto A Regra do Produto pode ser estendida a produtos de mais de dois fatores. Por exemplo, se f, g e h são funções diferenciáveis de x, então d ' ' ' [ f ( x ) g ( x ) h ( x )] f ( x ) g ( x ) h ( x ) + f ( x ) g ( x ) h ( x ) + f ( x ) g ( x ) h ( x ) dx 15

16 . A regra do quociente Vimos que, aplicando a Regra da Constante, a Regra da Potência, a Regra do Múltiplo Constante e as Regras da Soma e da Diferença, podemos diferenciar qualquer função polinomial. Combinando essas regras com a Regra do Quociente, podemos agora diferenciar qualquer função racional. 16

17 . A regra do quociente A derivada do quociente de duas funções diferenciáveis é igual ao produto do denominador pela derivada do numerador, menos o produto do numerador pela derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador. d f x g x f x f x g x dx g( x) g( x) ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), g( x) 0 [ ] 17

18 . A regra do quociente Demonstração: Seja F(x) f(x)/g(x). Tal como na Regra do Produto, a chave da demonstração consiste em somar e subtrair a mesma expressão. 18

19 . A regra do quociente f ( x + x) f ( x) F( x + x) F( x) g( x + x) g( x) ( ) lim lim x 0 x x 0 x g( x) f ( x + x) f ( x) g( x + x) lim x x 0 g( x) g( x + x) ' F x lim x 0 g( x) f ( x + x) f ( x) g( x) + f ( x) g( x) f ( x) g( x + x) x g( x) g( x + x) [ ] [ ] g( x) f ( x + x) f ( x) f ( x) g( x + x) g( x) lim lim x 0 0 x x x lim [ g( x) g( x + x) ] x 0 f ( x x) f ( x) g( x x) g( x) lim g( x) + + lim lim f ( x) lim x 0 x 0 x x 0 x 0 x lim [ g( x) g( x + x) ] x 0 ' ' g( x) f ( x) f ( x) g ( x g( x) [ ] ) 19

20 . A regra do quociente Exemplo 4: Ache a derivada de y x 4x + 3 3x d d ( 3 x) x 4x 3 x 4x 3 3x dy dx + + dx dx ( 3x) ( ) ( 3 x)(4x 4) x 4x + 3 ( 3) ( 3x) x x + x x 8x 1 ( 3x) ( 3x) + 6x 1 ( ) [ ] x + 9 0

21 . A regra do quociente Exemplo 5: Ache a derivada de y 3 (1/ x) x + 5 Comece escrevendo sob nova forma a função original. Aplique então a Regra do Quociente e simplifique o resultado. 1

22 . A regra do quociente y 3 (1/ x) 3x 1 3x 1 x + 5 x( x + 5) x + 5x dy x + x x x + dx ( x + 5 x) ( 5 )(3) (3 1)( 5) ( ) x x x x x ( x + 5 x) x x x x ( x + 5 x) x + x + ( x + 5 x) 3 5

23 . A regra do quociente Nem todo quociente deve necessariamente ser diferenciado pela Regra do Quociente. Por exemplo, cada um dos quocientes no próximo exemplo pode ser considerado como o produto de uma constante e uma função de x. Em tais casos, a Regra do Múltiplo Constante é mais eficiente. 3

24 . A regra do quociente Exemplo 7: Escrevendo sob nova forma antes de diferenciar. Função Original Nova Forma Diferenciar Simplificar x + 3x 1 ' 1 ' 1 1 a. y y ( x + 3 x) y (x + 3) y x x 5 4 ' 5 3 ' 5 3 b. y y x y (4 x ) y x (3x x ) 3 ' 3 ' 6 c. y y (3 x) y ( ) y 7x ' 9 3 ' 18 d. y y ( x ) y ( x ) y 3 5x 5 5 5x 4

25 3. Simplificação de derivadas Exemplo 8: Ache a derivada de y (1 x)(3x + ) 5x 4 Esta função contém um produto dentro de um quociente. Poderíamos primeiro multiplicar os fatores no numerador e aplicar então a Regra do Quociente. Entretanto, para adquirir prática na utilização da Regra do Produto dentro da Regra do Quociente, diferencie como segue. 5

26 3. Simplificação de derivadas y ' d d (5x 4) (1 x)(3x + ) (1 x)(3x + ) 5x 4 dx dx (5x 4) [ ] [ ] [ ] (5x 4) (1 x)(3) + (3x + )( ) (1 x)(3x + )(5) (5x 4) (5x 4)(3 6x 6x 4) (1 x)(15x + 10) (5x 4) (5 4)( 1 1 ) ( ) x x x x x (5x 4) 5x 60x x + 5x (5x 4) x x + x x x + (5x 4) (5x 4) ( 6) (5 8 1) 6

27 4. Uma aplicação: pressão sanguínea Exemplo 9: Na medida em que o sangue corre do coração pelas artérias principais para as capilares e de retorno pelas veias, a pressão sistólica cai continuamente. Considere uma pessoa cuja pressão sanguínea P (em milímetros de mercúrio) é dada por P 5t + 15, 0 t 10, t + 1 onde t é medido em segundos. A que taxa está variando a pressão sanguínea 5 segundos após o sangue deixar o coração? 7

28 4. Uma aplicação: pressão sanguínea 8

29 4. Uma aplicação: pressão sanguínea Aplicando a Regra do Quociente, dp t t t t dt ( t + 1) ( + 1)(50 ) (5 + 15)( ) 50t 3 00t ( t + 1) + 50t 50t ( t + 1) 3 50t 9

30 4. Uma aplicação: pressão sanguínea Quando t 5, a taxa de variação é dp dt 00(5) 1,48 mm Hg/s 6 Portanto, a pressão sanguínea está caindo a uma taxa de 1,48 mm Hg por segundo quando t 5 segundos. 30