Extremos e o Teste da Derivada Primeira. Extremos e o Teste da Derivada Primeira

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Extremos e o Teste da Derivada Primeira. Extremos e o Teste da Derivada Primeira"

Transcrição

1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1. Etremos relativos Etremos e o Teste da Derivada Primeira Prof.: Rogério Dias Dalla Riva 4 Etremos e o Teste da Derivada Primeira 1. Etremos relativos 1.Etremos relativos.o Teste da Derivada Primeira 3.Etremos Absolutos 4.Aplicações de Etremos Definição de Etremos Relativos Seja f uma função definida em c. 1. f(c) é um máimo relativo de f se eiste um intervalo (a, b) contendo c, tal que f() f(c) para todo em (a, b).. f(c) é um mínimo relativo de f se eiste um intervalo (a, b) contendo c, tal que f() f(c) para todo em (a, b). Se f(c) é um etremo relativo de f, dizemos que ocorre um etremo relativo em = c Etremos relativos 1. Etremos relativos Na aula anterior, vimos como utilizar a derivada para determinar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente. Nesta aula, estudaremos os pontos em que uma função passa de crescente a decrescente, ou vice-versa. Em tais pontos, a função tem um etremo relativo. Os etremos relativos de uma função incluem os mínimos relativos e os máimos relativos da função. Assim é que a função mostrada na figura a seguir tem dois etremos relativos o ponto à esquerda é um máimo relativo e o ponto à direita é um mínimo relativo. Para funções contínuas, os etremos relativos devem ocorrer em pontos críticos da função, conforme mostrado na figura abaio

2 1. Etremos relativos Ocorrência de Etremos Relativos Se f tem mínimo relativo ou máimo relativo quando = c, então c é um ponto crítico de f; isto é, ou f (c) = 0 ou f (c) não é definida. 7 O Teste da Derivada Primeira para Etremos Relativos 1. No intervalo (a, b), se f () é negativa à esquerda de = c e positiva à direita de = c, então f(c) é um mínimo relativo.. No intervalo (a, b), se f () é positiva à esquerda de = c e negativa à direita de = c, então f(c) é um máimo relativo. 3. No intervalo (a, b), se f () tem o mesmo sinal à esquerda e à direita de = c, então f(c) não é etremo relativo de f. 10 O resultado anterior implica que, na pesquisa de etremos relativos de uma função contínua, basta testar os pontos críticos da função. Constatado que c é um ponto crítico de uma função f, o Teste da Derivada Primeira para etremos relativos permite-nos classificar f(c) como um mínimo relativo, um máimo relativo, ou nenhum dos dois. 8 A figura acima eibe uma interpretação gráfica do Teste da Derivada Primeira. 11 O Teste da Derivada Primeira para Etremos Relativos Seja f contínua no intervalo (a, b), no qual c é o único ponto crítico. Se f é diferenciável no intervalo (eceto possivelmente no próprio c), então f(c) pode ser classificada como um mínimo relativo, um máimo relativo, ou nenhum dos dois, como segue. 9 Eemplo 1: Ache todos os etremos relativos da função f() = Comecemos determinando os pontos críticos de f. ' f ( ) = Calculando a derivada primeira = 0 Igualando a 0 a derivada primeira 6( 6) 0 Pondo em evidência o fator comu = m 6( 3)( + ) = 0 Fatorando = e = 3 Pontos críticos 1

3 Como f () é definida para todo, os únicos pontos críticos de f são = - e = 3. Com esses números, formamos os intervalos de teste (-, -), (-, 3) e (3, ). A tabela abaio mostra o teste dos três intervalos. Intervalo (-, -) (-, 3) (3, ) Valor de teste = -3 = 0 = 4 Sinal de f () f (-3) = 36 > 0 f (0) = -36 < 0 f (4) = 36 > 0 Conclusão Crescente Decrescente Crescente A figura anterior mostra o gráfico de f. Para achar as coordenadas y dos etremos relativos, substituímos, na função, os valores das coordenadas. Assim é que o máimo relativo é f(-) = 58 e o mínimo relativo é f(3) = -67. No Eemplo 1, ambos os pontos críticos originaram etremos relativos. No próimo eemplo, apenas um dos dois pontos críticos dará um etremo relativo Com auílio do Teste da Derivada Primeira, podemos concluir que o ponto crítico - dá um máimo relativo [f () muda de sinal, de positivo para negativo], e o ponto crítico 3 dá um mínimo relativo [f () muda de sinal, de negativo para positivo], como é mostrado na figura a seguir. Eemplo : Ache todos os etremos relativos da função Pela derivada da função, f() = 4 3. f () = = (4 3), vemos que a função tem apenas dois pontos críticos: = 0 e = ¾. Estes números definem os intervalos de teste (-, 0), (0, ¾) e (¾, ), que são testados na tabela a seguir Intervalo (-, 0) (0, ¾) (¾, ) Valor de teste = -1 = ½ = 1 Sinal de f () f (-1) = -7 < 0 f (½) = -¼ < 0 f (1) = 1 > 0 Conclusão Decrescente Decrescente Crescente Pelo Teste da Derivada Primeira, vê-se que f tem mínimo relativo quando = ¾, conforme a figura a seguir. O ponto crítico = 0 não dá etremo relativo

4 As epressões mínimo relativo e máimo relativo descrevem o comportamento local de uma função. Para indicar o comportamento global da função em todo um intervalo, podemos aplicar as epressões máimo absoluto e mínimo absoluto. 19 Eemplo 3: Ache todos os etremos relativos da função Pela derivada da função, f() = 3 /3. pode-se ver que f (1) = 0 e que f não é definida para = 0. Assim, a função tem dois pontos críticos, = 1 e = 0. Estes números definem os intervalosde teste (-, 0), (0, 1) e (1, ). 1 3 ' ( 1) f ( ) = =, Definição de Etremos Absolutos Seja f definida em um intervalo I que contém c. 1. f(c) é mínimo absoluto de f em I se f(c) f() para todo em I.. f(c) é máimo absoluto de f em I se f(c) f() para todo em I. O mínimo absoluto e o máimo absoluto de uma função em um intervalo são às vezes chamados simplesmenteo mínimo e o máimo de f em I. 3 Testando estes intervalos, concluímos que f tem máimo relativo em (0, 0) e mínimo relativo em (1, -1), conforme mostra a figura a seguir. Procure gravar a distinção entre etremos relativos e etremos absolutos. Por eemplo, na figura a seguir, a função tem um mínimo relativo que é também mínimo absoluto no intervalo [a, b]. Contudo, o máimo relativo de f não é máimo absoluto em [a, b]. O próimo teorema afirma que, se uma função contínua tem como domínio um intervalo fechado, então ela deve ter tanto um mínimo absoluto como um máimo absoluto no intervalo. Pela figura, note que eles podem ocorrer em uma etremidade do intervalo

5 Ao procurar valores etremos de uma função em um intervalo fechado, tenha em mente que é preciso considerar os valores da função não só nas etremidades como também nos pontos críticos da função. Valem as seguintes diretrizes para achar etremos em um intervalo fechado. Teorema dos Valores Etremos Se f é contínua em [a, b], então f atinge um valor mínimo como um valor máimo em [a, b]. 5 8 Embora uma função contínua tenha apenas um valor mínimo e um valor máimo em um intervalo fechado, qualquer um desses valores pode ocorrer para mais de um valor de. Assim, no intervalo [-3, 3], a função f() = 9 toma o valor mínimo zero quando = -3 e quando = 3, conformea figura a seguir. 6 Diretrizes para Achar Etremos em um Intervalo Fechado Para achar os etremos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a, b], siga as etapas a seguir. 1. Calcule f em cada um de seus pontos críticos em (a, b).. Calcule f em cada etremidade, a e b. 3. O menor desses dois valores é o mínimo, e o maior deles é o máimo. 9 Eemplo 4: Ache os valores máimo e mínimo de no intervalo [0, 5]. f() = 6 + Comecemos determinando os pontos críticos da função. 7 f ' ( ) = 6 Calcular a derivada de f 6 = 0 Igualar a derivada a zero = 6 Somar 6 a ambos os membros = 3 Resolver em relação a 30 5

6 4. Aplicações de etremos Por aí vemos que o único ponto crítico de f é = 3. Como este número está no intervalo em questão, devemos testar os valores de f() neste número e nas etremidades do intervalo, conforme mostra a tabela abaio. Valor de Etremo: = 0 Ponto crítico: = 3 Etremo: = 5 f() f(0) = f(3) = -7 f(5) = -3 Eemplo 5: Em aulas anteriores, estudamos o caso de uma lanchonete cuja função lucro para hambúrgueres é P =, , Ache o nível de produção que gera lucro máimo. Conclusão Máimo Mínimo Aplicações de etremos Pela tabela, vemos que o mínimo de f no intervalo [0, 5] é f(3) = -7. Além disso, o máimo de f no intervalo [0, 5] é f(0) =. Estes resultados são confirmados pelo gráfico de f na figura a seguir. Comecemos igualando a zero o lucro marginal e resolvendoem relação a. ' P =, Achar o lucro marginal,44 = Igualar o lucro marginal a 0 =, Subtrair,44 de ambos os membros = unidades Ponto crítico Aplicações de etremos 4. Aplicações de etremos A determinação dos valores máimo e mínimo de uma função é uma das aplicações mais comuns do cálculo. Pela figura abaio, vê-se que o ponto crítico = corresponde ao nível de produção que gera lucro máimo

7 4. Aplicações de etremos Para achar esse lucro máimo, façamos = na função lucro. P =, (4.400) =,44(4.400) = $

Extremos e o Teste da Derivada Primeira

Extremos e o Teste da Derivada Primeira UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Extremos e o Teste

Leia mais

Funções Crescentes e Funções Decrescentes. Funções Crescentes e Funções Decrescentes. Função Crescente. Função Decrescente

Funções Crescentes e Funções Decrescentes. Funções Crescentes e Funções Decrescentes. Função Crescente. Função Decrescente UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Definição de Função

Leia mais

Funções Crescentes e Funções Decrescentes

Funções Crescentes e Funções Decrescentes UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Funções Crescentes

Leia mais

Concavidade e o Teste da Derivada Segunda

Concavidade e o Teste da Derivada Segunda UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Concavidade e o Teste

Leia mais

Concavidade e o Teste da Derivada Segunda. Concavidade e o Teste da Derivada Segunda. Definição de Concavidade:

Concavidade e o Teste da Derivada Segunda. Concavidade e o Teste da Derivada Segunda. Definição de Concavidade: UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Definição de Concavidade:

Leia mais

Problemas de Otimização

Problemas de Otimização UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Problemas de Otimização

Leia mais

Taxas de Variação: Velocidade e Funções Marginais. Taxas de Variação: Velocidade e Funções Marginais

Taxas de Variação: Velocidade e Funções Marginais. Taxas de Variação: Velocidade e Funções Marginais UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Taas de Variação:

Leia mais

Assíntotas. Assíntotas. Os limites infinitos para a função f(x) = 3/(x 2) podem escrever-se como

Assíntotas. Assíntotas. Os limites infinitos para a função f(x) = 3/(x 2) podem escrever-se como UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Assíntotas Os limites

Leia mais

Regra de l Hôpital. 1.Formas e limites indeterminados 2.Regra de l Hôpital

Regra de l Hôpital. 1.Formas e limites indeterminados 2.Regra de l Hôpital UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Regra de l Hôpital

Leia mais

Diferenciação Implícita

Diferenciação Implícita UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Diferenciação Implícita

Leia mais

Derivadas de Ordem Superior

Derivadas de Ordem Superior UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Derivadas de Ordem

Leia mais

lim f ( x) Limites Limites

lim f ( x) Limites Limites UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1. O ite de uma função

Leia mais

Antiderivadas e Integrais Indefinidas. Antiderivadas e Integrais Indefinidas

Antiderivadas e Integrais Indefinidas. Antiderivadas e Integrais Indefinidas UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Antiderivadas e Integrais

Leia mais

1. Integração por partes. d dx. 1. Integração por partes

1. Integração por partes. d dx. 1. Integração por partes UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração por Partes

Leia mais

Assíntotas. 1.Assíntotas verticais e limites infinitos 2.Assíntotas horizontais e limites no infinito 3.Assíntotas inclinadas

Assíntotas. 1.Assíntotas verticais e limites infinitos 2.Assíntotas horizontais e limites no infinito 3.Assíntotas inclinadas UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Assíntotas Prof.:

Leia mais

Gráficos de Funções Trigonométricas

Gráficos de Funções Trigonométricas UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Gráficos de Funções

Leia mais

A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função

A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função Suponhamos que a função y = f() possua derivada em um segmento [a, b] do eio-. Os valores da derivada f () também dependem de, ou seja, a derivada

Leia mais

Taxas de Variação: Velocidade e Funções Marginais

Taxas de Variação: Velocidade e Funções Marginais UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Taxas de Variação:

Leia mais

A Regra Geral da Potência

A Regra Geral da Potência UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I A Regra Geral da Potência

Leia mais

Integração por Partes

Integração por Partes UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração por Partes

Leia mais

Algumas Regras para Diferenciação

Algumas Regras para Diferenciação UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Algumas Regras para

Leia mais

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II. Aula nº 5 do plano de trabalho nº 5

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II. Aula nº 5 do plano de trabalho nº 5 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II Aula nº 5 do plano de trabalho nº 5 Resolver os eercícios 03, 0, 05, 0 e 6 das páginas 95 e 0.

Leia mais

Volumes de Sólidos de Revolução

Volumes de Sólidos de Revolução UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Volumes de Sólidos

Leia mais

AULA 16 Esboço de curvas (gráfico da função

AULA 16 Esboço de curvas (gráfico da função Belém, 1º de junho de 015 Caro aluno, Seguindo os passos dados você ará o esboço detalhado do gráico de uma unção. Para achar o zero da unção, precisamos de teorias que você estudará na disciplina Cálculo

Leia mais

Polinômios. 1.Introdução 2.Técnicas de fatoração 3.Fatoração de polinômios de terceiro grau ou de grau superior 4.Teorema do zero racional

Polinômios. 1.Introdução 2.Técnicas de fatoração 3.Fatoração de polinômios de terceiro grau ou de grau superior 4.Teorema do zero racional UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Polinômios Prof.:

Leia mais

Regras do Produto e do Quociente

Regras do Produto e do Quociente UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Regras do Produto

Leia mais

[ ] = 0, constante. Algumas Regras para Diferenciação. Algumas Regras para Diferenciação. d dx. A Regra da Constante:

[ ] = 0, constante. Algumas Regras para Diferenciação. Algumas Regras para Diferenciação. d dx. A Regra da Constante: UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. A regra a constante

Leia mais

Método de Newton. 1.Introdução 2.Exemplos

Método de Newton. 1.Introdução 2.Exemplos UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Método de Newton Prof.:

Leia mais

( ) ( ) 60 ( ) ( ) ( ) ( ) R i. Método de Newton. Método de Newton = Substituindo i por x, teremos: 1.Introdução 2.

( ) ( ) 60 ( ) ( ) ( ) ( ) R i. Método de Newton. Método de Newton = Substituindo i por x, teremos: 1.Introdução 2. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I R A = + i ( i ) n

Leia mais

Limites, derivadas e máximos e mínimos

Limites, derivadas e máximos e mínimos Limites, derivadas e máimos e mínimos Psicologia eperimental Definição lim a f ( ) b Eemplo: Seja f()=5-3. Mostre que o limite de f() quando tende a 1 é igual a 2. Propriedades dos Limites Se L, M, a,

Leia mais

Limites: Noção intuitiva e geométrica

Limites: Noção intuitiva e geométrica Eemplo : f : R {} R, f sen a Gráfico de f b Ampliação do gráfico de f perto da origem Limites: Noção intuitiva e geométrica f Apesar de f não estar definida em, faz sentido questionar o que acontece com

Leia mais

Integrais Impróprias

Integrais Impróprias UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integrais Impróprias

Leia mais

Continuidade. 1.Continuidade 2.Continuidade em um intervalo fechado 3.A função maior inteiro 4.Aplicação: juro composto

Continuidade. 1.Continuidade 2.Continuidade em um intervalo fechado 3.A função maior inteiro 4.Aplicação: juro composto UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Continuidade Prof.:

Leia mais

( ) ( ) Polinômios. Polinômios. a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0. O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinômio de grau n

( ) ( ) Polinômios. Polinômios. a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0. O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinômio de grau n UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA. Técnicas de fatoração O

Leia mais

Antiderivadas e Integrais Indefinidas

Antiderivadas e Integrais Indefinidas UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Antiderivadas e Integrais

Leia mais

Taxas Relacionadas. 1.Variáveis Relacionadas 2.Resolução de Problemas Sobre Taxas Relacionadas

Taxas Relacionadas. 1.Variáveis Relacionadas 2.Resolução de Problemas Sobre Taxas Relacionadas UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Taxas Relacionadas

Leia mais

Área e Teorema Fundamental do Cálculo

Área e Teorema Fundamental do Cálculo UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Área e Teorema Fundamental

Leia mais

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental 3 Limites Considere a função f definida por: Qual o domínio dessa função? Se 1, então f () é dada por: (2 + 3)( 1). 1 2 +

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I Cálculo Diferencial e Integral I Eame - Parte I - de Julho de 8 LERC, LEGI, LEE, LEIC-T Número: Nome: valores a) valores b) valores 3 4 valores 4 valores 5 a) 3 valores 5 b) 3 valores 6 valores páginas

Leia mais

MAT140 - Cálculo I - Máximos e Mínimos Locais e Globais, Pontos Críticos e o Teste da Derivada Primeira

MAT140 - Cálculo I - Máximos e Mínimos Locais e Globais, Pontos Críticos e o Teste da Derivada Primeira MAT140 - Cálculo I - Máximos e Mínimos Locais e Globais, Pontos Críticos e o Teste da Derivada Primeira 4 de novembro de 2015 Vimos que a derivada de uma função em um ponto é a inclinação da reta tangente

Leia mais

Regras do Produto e do Quociente. Regras do Produto e do Quociente

Regras do Produto e do Quociente. Regras do Produto e do Quociente UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Regras o Prouto e

Leia mais

de ponto para ponto. Por exemplo, consideremos o seguinte gráfico: (x 2, y 2 ) (x 4, y 4 ) x

de ponto para ponto. Por exemplo, consideremos o seguinte gráfico: (x 2, y 2 ) (x 4, y 4 ) x .3. Derivadas.3.1. Definição e Interpretação Geométrica Anteriormente já mostrámos como o coeficiente angular de uma recta - declive de uma recta - indica a taa à qual a recta sobe ou desce. para uma recta,

Leia mais

Continuidade. Continuidade

Continuidade. Continuidade UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Continuidade Antes

Leia mais

Derivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente.

Derivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente. Análise Matemática - 007/008.5.- Derivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente. Teorema.31 Derivada da Função Composta

Leia mais

1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: 22/08/16 a 26/08/2016

1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: 22/08/16 a 26/08/2016 1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: /08/16 a 6/08/016 1. Matéria dessa semana de acordo com o Plano de ensino oicial: Assíntotas Horizontais e Verticais. Continuidade. Material para estudar: Assíntotas

Leia mais

dy dx dt dt Taxas Relacionadas Taxas Relacionadas

dy dx dt dt Taxas Relacionadas Taxas Relacionadas UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Taxas Relacionadas

Leia mais

Unidade 6 Aplicações do estudo das derivadas

Unidade 6 Aplicações do estudo das derivadas Unidade 6 Aplicações do estudo das derivadas Máximos e mínimos de uma função Definição 6.. Dada a função f : I, um ponto x I é chamado de (i) ponto de máximo relativo (ou local) da função quando f ( x)

Leia mais

CAPÍTULO 16 REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS EM COMPACTOS

CAPÍTULO 16 REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS EM COMPACTOS CAPÍTULO 16 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS EM COMPACTOS 161 Introdução Esta aula está baseada no Capítulo 16 do segundo volume do livro de Cálculo do Guidorii Nesta aula, estamos

Leia mais

Estudar mudança no valor de funções na vizinhança de pontos.

Estudar mudança no valor de funções na vizinhança de pontos. Universidade Federal de Alagoas Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Curso de Arquitetura e Urbanismo Disciplina: Fundamentos para a Análise Estrutural Código: AURB006 Turma: A Período Letivo: 007- Professor:

Leia mais

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 9 30 de abril de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 9 30 de abril de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 9 3 de abril de Aula 9 Pré-Cálculo Cuidado! Se os eios coordenados são desenhados com escalas

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Assíntotas Oblíquas. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Grácos.

CÁLCULO I. 1 Assíntotas Oblíquas. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Grácos. CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 9: Grácos. Objetivos da Aula Denir e determinar as assíntotas oblíquas ao gráco de uma função, Utilizar o Cálculo Diferencial

Leia mais

Função Exponencial. 1.Definição 2.Propriedades 3.Imagem 4.Gráfico 5.Equações exponenciais 6.Inequações exponenciais

Função Exponencial. 1.Definição 2.Propriedades 3.Imagem 4.Gráfico 5.Equações exponenciais 6.Inequações exponenciais UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Função Eponencial Prof.:

Leia mais

( ) Função Exponencial. Função Exponencial. x = 0 f(0) = a 0 = 1. x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) x a. 1 a ) Na função exponencial f(x) = a x, temos:

( ) Função Exponencial. Função Exponencial. x = 0 f(0) = a 0 = 1. x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) x a. 1 a ) Na função exponencial f(x) = a x, temos: UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Função Eponencial. Propriedades

Leia mais

Capítulo Diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais

Capítulo Diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais Cálculo 2 - Capítulo 27 - Diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais Capítulo 27 - Diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais 27 - Teorema do Valor Médio 272 - Diferenciabilidade

Leia mais

Integração por Substituição

Integração por Substituição UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração por Substituição

Leia mais

(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos

(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos LIMITE DE FUNÇÕES REAIS JOSÉ ANTÔNIO G. MIRANDA versão preinar). Revisão: Limite e Funções Continuas Definição Limite de Seqüências). Dizemos que uma seqüência de números reais n convergente para um número

Leia mais

Derivadas e suas Aplicações

Derivadas e suas Aplicações Capítulo 4 Derivadas e suas Aplicações Ao final deste capítulo você deverá: Compreender taa média de variação; Enunciar a definição de derivada de uma função interpretar seu significado geométrico; Calcular

Leia mais

A Derivada e a Inclinação de um Gráfico

A Derivada e a Inclinação de um Gráfico UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I A Derivada e a Inclinação

Leia mais

Volume de um gás em um pistão

Volume de um gás em um pistão Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Volume de um gás em um pistão Suponha que um gás é mantido a uma temperatura constante em um pistão. À medida que o pistão é comprimido, o volume

Leia mais

Aproximações Lineares e Diferenciais. Aproximações Lineares e Diferenciais. 1.Aproximações Lineares 2.Exemplos 3.Diferenciais 4.

Aproximações Lineares e Diferenciais. Aproximações Lineares e Diferenciais. 1.Aproximações Lineares 2.Exemplos 3.Diferenciais 4. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Aproximações Lineares

Leia mais

Derivadas de Funções Trigonométricas. Derivadas de Funções Trigonométricas ( ) ( ) ( ) [ x

Derivadas de Funções Trigonométricas. Derivadas de Funções Trigonométricas ( ) ( ) ( ) [ x UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Derivaas e Fnções

Leia mais

Medida de Ângulos em Radianos

Medida de Ângulos em Radianos UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Medida de Ângulos

Leia mais

AULA 30/05/2017 MÁXIMOS E MÍNIMOS, ESTUDO COMPLETO DE FUNÇÕES, APLICAÇÃO DE DERIVADA

AULA 30/05/2017 MÁXIMOS E MÍNIMOS, ESTUDO COMPLETO DE FUNÇÕES, APLICAÇÃO DE DERIVADA AULA 30/05/2017 MÁXIMOS E MÍNIMOS, ESTUDO COMPLETO DE FUNÇÕES, APLICAÇÃO DE DERIVADA As derivadas têm inúmeras aplicações. Com o estudo da primeira e da segunda derivada podemos esboçar o gráfico de uma

Leia mais

A Derivada e a Inclinação de um Gráfico. A Derivada e a Inclinação de um Gráfico

A Derivada e a Inclinação de um Gráfico. A Derivada e a Inclinação de um Gráfico UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I A Derivada e a Inclinação

Leia mais

Cálculo diferencial. Motivação - exemplos de aplicações à física

Cálculo diferencial. Motivação - exemplos de aplicações à física Cálculo diferencial Motivação - eemplos de aplicações à física Considere-se um ponto móvel sobre um eio orientado, cuja posição em relação à origem é dada, em função do tempo, pela função s. st posição

Leia mais

UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática Mestrado em Ensino de Matemática

UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática  Mestrado em Ensino de Matemática UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática www.pg.im.ufrj.br/pemat Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 0 Etapa Questão. Considere f : [, ] R a função cujo gráfico

Leia mais

CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 5) 1 Extremos de Funções Escalares. Exemplos

CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 5) 1 Extremos de Funções Escalares. Exemplos Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires CDI-II Resumo das Aulas Teóricas (Semana 5) 1 Etremos de Funções Escalares. Eemplos Nos eemplos seguintes

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Primitivas. Objetivos da Aula. Aula n o 18: Primitivas. Denir primitiva de uma função; Calcular as primitivas elementares.

CÁLCULO I. 1 Primitivas. Objetivos da Aula. Aula n o 18: Primitivas. Denir primitiva de uma função; Calcular as primitivas elementares. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 8: Primitivas. Objetivos da Aula Denir primitiva de uma função; Calcular as primitivas elementares. Primitivas Em alguns problemas, é necessário

Leia mais

Universidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso

Universidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso Universidade Federal Fluminense Matemática I Professora Maria Emilia Neves Cardoso Notas de Aula / º semestre de Capítulo : Limite de uma função real O conceito de ite é o ponto de partida para definir

Leia mais

Substituição Trigonométrica

Substituição Trigonométrica UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Substituição Trigonométrica

Leia mais

PARTE 5 LIMITE. 5.1 Um Pouco de Topologia

PARTE 5 LIMITE. 5.1 Um Pouco de Topologia PARTE 5 LIMITE 5.1 Um Pouco de Topologia Vamos agora nos preparar para definir ite de funções reais de várias variáveis reais. Para isto, precisamos de alguns conceitos importantes. Em primeiro lugar,

Leia mais

Aula 26 A regra de L Hôpital.

Aula 26 A regra de L Hôpital. MÓDULO - AULA 6 Aula 6 A regra de L Hôpital Objetivo Usar a derivada para determinar certos ites onde as propriedades básicas de ites, vistas nas aulas 3, 4, e 5, não se aplicam Referência: Aulas 3, 4,

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos

Leia mais

Ficha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial (soluções) 2.Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy

Ficha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial (soluções) 2.Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy Ficha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial soluções).teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy. Seja f) = 3 e. Então f é contínua e diferenciável em R. Uma vez que f) = +, f0) = conclui-se do Teorema do

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 12: Extremos relativos e absolutos. Método do Intervalo Fechado Objetivos da Aula Definir e determinar Extremos Absolutos e Relativos de

Leia mais

Exercício 1. Exercício 2. Exercício 3. Considere a função f que para valores de x é de nida pela relação f(x) = x(sin /x).

Exercício 1. Exercício 2. Exercício 3. Considere a função f que para valores de x é de nida pela relação f(x) = x(sin /x). E Eercício 1 Considere a função f que para valores de é denida pela relação f() = (sin /). 1.1 Mostre que a função f é contínua em R\{}. 1.2 Sabendo que f é contínua no ponto = determine o valor de f().

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I 1 o Sem. 2015/16 - LEAN, LEMat, MEQ FICHA 8

Cálculo Diferencial e Integral I 1 o Sem. 2015/16 - LEAN, LEMat, MEQ FICHA 8 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I o Sem. 05/6 - LEAN, LEMat, MEQ FICHA 8 Regra de Cauchy. Estudo de funções. a. a) b 0 é uma indeterminação do tipo

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Aproximações Lineares. Objetivos da Aula. Aula n o 16: Aproximações Lineares e Diferenciais. Regra de L'Hôspital.

CÁLCULO I. 1 Aproximações Lineares. Objetivos da Aula. Aula n o 16: Aproximações Lineares e Diferenciais. Regra de L'Hôspital. CÁLCULO I Prof Marcos Diniz Prof André Almeida Prof Edilson Neri Júnior Prof Emerson Veiga Prof Tiago Coelho Aula n o 6: Aproimações Lineares e Diferenciais Regra de L'Hôspital Objetivos da Aula Denir

Leia mais

(x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) x

(x 2,y 2 ) (x 4,y 4 ) x 2.3. Derivadas 2.3.1. Definição e Interpretação Geométrica Anteriormente já mostrámos como o coeficiente angular de uma recta - declive de uma recta - indica a taa à qual a recta sobe ou desce. para uma

Leia mais

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE JUSSARA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA SUELAINE ALVES DE JESUS

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE JUSSARA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA SUELAINE ALVES DE JESUS UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE JUSSARA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA SUELAINE ALVES DE JESUS MÁXIMOS E MÍNINOS DE FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL E SUAS APLICAÇÕES JUSSARA GO 011 Suelaine

Leia mais

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 7 5 DE MARÇO DE 2018

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 7 5 DE MARÇO DE 2018 ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 7 5 DE MARÇO DE 08 Condições Suficientes de Diferenciabilidade Teorema Seja f(z) = u(, y) + iv(, y). Se u e v têm derivadas parciais contínuas em torno

Leia mais

Funções Exponenciais

Funções Exponenciais UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Funções Exponenciais

Leia mais

AULA 13 Aproximações Lineares e Diferenciais (página 226)

AULA 13 Aproximações Lineares e Diferenciais (página 226) Belém, de maio de 05 Caro aluno, Nesta nota de aula você aprenderá que pode calcular imagem de qualquer unção dierenciável num ponto próimo de a usando epressão mais simples que a epressão original da.

Leia mais

Concavidade e pontos de inflexão Aula 20

Concavidade e pontos de inflexão Aula 20 Concavidade e pontos de inflexão Aula 20 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 22 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica

Leia mais

Aula 12. Interpolação Parte 1

Aula 12. Interpolação Parte 1 CÁLCULO NUMÉRICO Aula 12 Interpolação Parte 1 INTERPOLAÇÃO Cálculo Numérico 3/57 MOTIVAÇÃO A seguinte tabela relaciona densidade da água e temperatura: Temperatura ( o C) 20 25 30 35 40 Densidade (g/m

Leia mais

Frações Parciais e Crescimento Logístico

Frações Parciais e Crescimento Logístico UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Frações Parciais e

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral II 1 o Teste (Versão A)

Cálculo Diferencial e Integral II 1 o Teste (Versão A) Cálculo Diferencial e Integral II 1 o Teste (ersão A) LEIC-TP, LETI, LEE, LEGI 11 de Abril de 015 Justifique adequadamente todas as respostas. (5,0) 1. Seja = {(, y, z) [ 1, 1] [0, 1] R 3 : 0 z, 0 y 1}

Leia mais

Funções Trigonométricas

Funções Trigonométricas UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Funções Trigonométricas

Leia mais

Derivadas de Funções Trigonométricas

Derivadas de Funções Trigonométricas UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Derivaas e Funções

Leia mais

Zero de Funções ou Raízes de Equações

Zero de Funções ou Raízes de Equações Zero de Funções ou Raízes de Equações Um número ξ é um zero de uma função f() ou raiz da equação se f(ξ). Graficamente os zeros pertencentes ao conjunto dos reais, IR, são representados pelas abscissas

Leia mais

Material de Apoio. Roteiro para Esboçar uma Curva 1

Material de Apoio. Roteiro para Esboçar uma Curva 1 Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática Disciplina: Cálculo M I Prof a Yane Lísle Material de Apoio Roteiro para Esboçar uma Curva A lista a seguir pretende servir como um guia

Leia mais

5.7 Aplicações da derivada ao estudo das funções.

5.7 Aplicações da derivada ao estudo das funções. Capítulo V: Derivação 0.. 4. 7. tg( ) 0 tg( π ( + + ) sen( ) + ) sen( ) Resolução: cos( ) Repare que não eiste sen( ). + 5. ( e + ) 6. 0 π ( + cos( )) cos( ) sen( ) sen( ) Mas, e como 0, então 0 + + +

Leia mais

Capítulo 1 Funções reais de uma variável 1.3 Derivadas de funções definidas implicitamente

Capítulo 1 Funções reais de uma variável 1.3 Derivadas de funções definidas implicitamente 11-1-13 1.3 Derivadas de funções definidas implicitamente Uma equação do tipo f(,y) = nem sempre permite obter eplicitamente y como função de. Por eemplo, y 1 y 1 não é uma função y 1 y 1 y 1 y 1 3 1.3

Leia mais

Inequações Exponenciais e Logarítmicas. Inequações Exponenciais e Logarítmicas. Exemplos:

Inequações Exponenciais e Logarítmicas. Inequações Exponenciais e Logarítmicas. Exemplos: UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Inequações Eponenciais e

Leia mais

Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites

Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites 7.1. Noção Intuitiva de ite Considere a função f(), em que f() = 2 + 1. Para valores de que se aproima de 1, por valores maiores que 1 (Direita) e por valores menores

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização:

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO Realização: Fortaleza, Fevereiro/2010 1. LIMITES 1.1. Definição Geral Se os valores de f(x) puderem

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 6 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 7 SINAL DE UMA

Leia mais

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos. 5º Teste de avaliação versão A.

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos. 5º Teste de avaliação versão A. Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Compleos 5º Teste de avaliação versão A Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para

Leia mais

Gabarito Primeira Prova Unificada de Cálculo /2. Engenharia e Engenharia Química. ), (1c) lim 12 x 3 x

Gabarito Primeira Prova Unificada de Cálculo /2. Engenharia e Engenharia Química. ), (1c) lim 12 x 3 x MUniversidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Gabarito Primeira Prova Unificada de Cálculo - 0/ a Questão: Calcule: (a Engenharia e Engenharia Química 4 (,

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... 5 GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... 5 IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 7 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 7 SINAL DE

Leia mais