Extremos e o Teste da Derivada Primeira. Extremos e o Teste da Derivada Primeira
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- Sarah Figueira Botelho
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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1. Etremos relativos Etremos e o Teste da Derivada Primeira Prof.: Rogério Dias Dalla Riva 4 Etremos e o Teste da Derivada Primeira 1. Etremos relativos 1.Etremos relativos.o Teste da Derivada Primeira 3.Etremos Absolutos 4.Aplicações de Etremos Definição de Etremos Relativos Seja f uma função definida em c. 1. f(c) é um máimo relativo de f se eiste um intervalo (a, b) contendo c, tal que f() f(c) para todo em (a, b).. f(c) é um mínimo relativo de f se eiste um intervalo (a, b) contendo c, tal que f() f(c) para todo em (a, b). Se f(c) é um etremo relativo de f, dizemos que ocorre um etremo relativo em = c Etremos relativos 1. Etremos relativos Na aula anterior, vimos como utilizar a derivada para determinar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente. Nesta aula, estudaremos os pontos em que uma função passa de crescente a decrescente, ou vice-versa. Em tais pontos, a função tem um etremo relativo. Os etremos relativos de uma função incluem os mínimos relativos e os máimos relativos da função. Assim é que a função mostrada na figura a seguir tem dois etremos relativos o ponto à esquerda é um máimo relativo e o ponto à direita é um mínimo relativo. Para funções contínuas, os etremos relativos devem ocorrer em pontos críticos da função, conforme mostrado na figura abaio
2 1. Etremos relativos Ocorrência de Etremos Relativos Se f tem mínimo relativo ou máimo relativo quando = c, então c é um ponto crítico de f; isto é, ou f (c) = 0 ou f (c) não é definida. 7 O Teste da Derivada Primeira para Etremos Relativos 1. No intervalo (a, b), se f () é negativa à esquerda de = c e positiva à direita de = c, então f(c) é um mínimo relativo.. No intervalo (a, b), se f () é positiva à esquerda de = c e negativa à direita de = c, então f(c) é um máimo relativo. 3. No intervalo (a, b), se f () tem o mesmo sinal à esquerda e à direita de = c, então f(c) não é etremo relativo de f. 10 O resultado anterior implica que, na pesquisa de etremos relativos de uma função contínua, basta testar os pontos críticos da função. Constatado que c é um ponto crítico de uma função f, o Teste da Derivada Primeira para etremos relativos permite-nos classificar f(c) como um mínimo relativo, um máimo relativo, ou nenhum dos dois. 8 A figura acima eibe uma interpretação gráfica do Teste da Derivada Primeira. 11 O Teste da Derivada Primeira para Etremos Relativos Seja f contínua no intervalo (a, b), no qual c é o único ponto crítico. Se f é diferenciável no intervalo (eceto possivelmente no próprio c), então f(c) pode ser classificada como um mínimo relativo, um máimo relativo, ou nenhum dos dois, como segue. 9 Eemplo 1: Ache todos os etremos relativos da função f() = Comecemos determinando os pontos críticos de f. ' f ( ) = Calculando a derivada primeira = 0 Igualando a 0 a derivada primeira 6( 6) 0 Pondo em evidência o fator comu = m 6( 3)( + ) = 0 Fatorando = e = 3 Pontos críticos 1
3 Como f () é definida para todo, os únicos pontos críticos de f são = - e = 3. Com esses números, formamos os intervalos de teste (-, -), (-, 3) e (3, ). A tabela abaio mostra o teste dos três intervalos. Intervalo (-, -) (-, 3) (3, ) Valor de teste = -3 = 0 = 4 Sinal de f () f (-3) = 36 > 0 f (0) = -36 < 0 f (4) = 36 > 0 Conclusão Crescente Decrescente Crescente A figura anterior mostra o gráfico de f. Para achar as coordenadas y dos etremos relativos, substituímos, na função, os valores das coordenadas. Assim é que o máimo relativo é f(-) = 58 e o mínimo relativo é f(3) = -67. No Eemplo 1, ambos os pontos críticos originaram etremos relativos. No próimo eemplo, apenas um dos dois pontos críticos dará um etremo relativo Com auílio do Teste da Derivada Primeira, podemos concluir que o ponto crítico - dá um máimo relativo [f () muda de sinal, de positivo para negativo], e o ponto crítico 3 dá um mínimo relativo [f () muda de sinal, de negativo para positivo], como é mostrado na figura a seguir. Eemplo : Ache todos os etremos relativos da função Pela derivada da função, f() = 4 3. f () = = (4 3), vemos que a função tem apenas dois pontos críticos: = 0 e = ¾. Estes números definem os intervalos de teste (-, 0), (0, ¾) e (¾, ), que são testados na tabela a seguir Intervalo (-, 0) (0, ¾) (¾, ) Valor de teste = -1 = ½ = 1 Sinal de f () f (-1) = -7 < 0 f (½) = -¼ < 0 f (1) = 1 > 0 Conclusão Decrescente Decrescente Crescente Pelo Teste da Derivada Primeira, vê-se que f tem mínimo relativo quando = ¾, conforme a figura a seguir. O ponto crítico = 0 não dá etremo relativo
4 As epressões mínimo relativo e máimo relativo descrevem o comportamento local de uma função. Para indicar o comportamento global da função em todo um intervalo, podemos aplicar as epressões máimo absoluto e mínimo absoluto. 19 Eemplo 3: Ache todos os etremos relativos da função Pela derivada da função, f() = 3 /3. pode-se ver que f (1) = 0 e que f não é definida para = 0. Assim, a função tem dois pontos críticos, = 1 e = 0. Estes números definem os intervalosde teste (-, 0), (0, 1) e (1, ). 1 3 ' ( 1) f ( ) = =, Definição de Etremos Absolutos Seja f definida em um intervalo I que contém c. 1. f(c) é mínimo absoluto de f em I se f(c) f() para todo em I.. f(c) é máimo absoluto de f em I se f(c) f() para todo em I. O mínimo absoluto e o máimo absoluto de uma função em um intervalo são às vezes chamados simplesmenteo mínimo e o máimo de f em I. 3 Testando estes intervalos, concluímos que f tem máimo relativo em (0, 0) e mínimo relativo em (1, -1), conforme mostra a figura a seguir. Procure gravar a distinção entre etremos relativos e etremos absolutos. Por eemplo, na figura a seguir, a função tem um mínimo relativo que é também mínimo absoluto no intervalo [a, b]. Contudo, o máimo relativo de f não é máimo absoluto em [a, b]. O próimo teorema afirma que, se uma função contínua tem como domínio um intervalo fechado, então ela deve ter tanto um mínimo absoluto como um máimo absoluto no intervalo. Pela figura, note que eles podem ocorrer em uma etremidade do intervalo
5 Ao procurar valores etremos de uma função em um intervalo fechado, tenha em mente que é preciso considerar os valores da função não só nas etremidades como também nos pontos críticos da função. Valem as seguintes diretrizes para achar etremos em um intervalo fechado. Teorema dos Valores Etremos Se f é contínua em [a, b], então f atinge um valor mínimo como um valor máimo em [a, b]. 5 8 Embora uma função contínua tenha apenas um valor mínimo e um valor máimo em um intervalo fechado, qualquer um desses valores pode ocorrer para mais de um valor de. Assim, no intervalo [-3, 3], a função f() = 9 toma o valor mínimo zero quando = -3 e quando = 3, conformea figura a seguir. 6 Diretrizes para Achar Etremos em um Intervalo Fechado Para achar os etremos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a, b], siga as etapas a seguir. 1. Calcule f em cada um de seus pontos críticos em (a, b).. Calcule f em cada etremidade, a e b. 3. O menor desses dois valores é o mínimo, e o maior deles é o máimo. 9 Eemplo 4: Ache os valores máimo e mínimo de no intervalo [0, 5]. f() = 6 + Comecemos determinando os pontos críticos da função. 7 f ' ( ) = 6 Calcular a derivada de f 6 = 0 Igualar a derivada a zero = 6 Somar 6 a ambos os membros = 3 Resolver em relação a 30 5
6 4. Aplicações de etremos Por aí vemos que o único ponto crítico de f é = 3. Como este número está no intervalo em questão, devemos testar os valores de f() neste número e nas etremidades do intervalo, conforme mostra a tabela abaio. Valor de Etremo: = 0 Ponto crítico: = 3 Etremo: = 5 f() f(0) = f(3) = -7 f(5) = -3 Eemplo 5: Em aulas anteriores, estudamos o caso de uma lanchonete cuja função lucro para hambúrgueres é P =, , Ache o nível de produção que gera lucro máimo. Conclusão Máimo Mínimo Aplicações de etremos Pela tabela, vemos que o mínimo de f no intervalo [0, 5] é f(3) = -7. Além disso, o máimo de f no intervalo [0, 5] é f(0) =. Estes resultados são confirmados pelo gráfico de f na figura a seguir. Comecemos igualando a zero o lucro marginal e resolvendoem relação a. ' P =, Achar o lucro marginal,44 = Igualar o lucro marginal a 0 =, Subtrair,44 de ambos os membros = unidades Ponto crítico Aplicações de etremos 4. Aplicações de etremos A determinação dos valores máimo e mínimo de uma função é uma das aplicações mais comuns do cálculo. Pela figura abaio, vê-se que o ponto crítico = corresponde ao nível de produção que gera lucro máimo
7 4. Aplicações de etremos Para achar esse lucro máimo, façamos = na função lucro. P =, (4.400) =,44(4.400) = $
Extremos e o Teste da Derivada Primeira
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