Biomatemática - Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital (ICBS UFAL) - Material disponível no endereço

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1 1. Introdução Universidade Federal de Alagoas Instituto de Ciências e Biológicas e da Saúde BIOB-003 Biomatemática Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital - Agora que já entendemos o que é uma derivada, podemos partir para a etapa de calculá-la, o que chamamos de derivação. Derivar uma função é uma tarefa relativamente simples, que deve seguir algumas regras gerais que apresentarei aqui. - Cada uma das regras apresentadas aqui pode ser demonstrada matematicamente, e algumas demonstrações são na verdade bem simples! Não iremos nos preocupar com todas as demonstrações em sala de aula, já que nosso tempo é curto; mas basta recorrer ao livro do Batschelet para acompanhá-las com facilidade. 2. Ponto de partida - Como vimos na definição do que é uma derivada na aula passada, encontrar uma derivada é encontrar um limite. Dada uma função y = f(x), sua derivada em x1 será: y lim x 2 x 1 x - Vamos desdobrar um pouco, e dizer que: y 2 y 1 lim = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 - E agora vamos substituir alguns termos, dizendo que: x1 = x, x2 = x + h, e, conseqüentemente, Δx = h - Estamos apenas dizendo que a diferença entre x1 e x2 vale h. - Encontrar uma derivada é, então, encontrar o seguinte limite: lim h 0 f(x + h) f(x) h

2 3. Encontrando a derivada de y = x 2 - Na prática, para encontrarmos uma derivada precisamos apenas seguir um conjunto de regras que serão apresentadas adiante, o que é relativamente simples. Mas para compreendermos de onde estas regras saíram, vamos deduzir uma delas em alguns passos usando como exemplo a função potência y = x 2. - A função é: teremos então: - Passo à passo, vamos lá: - E o limite de uma função é: y = f(x) = x 2 f(x + h) f(x) lim h 0 h - Colocando a nossa função no formato f(x + h): f(x + h) = (x + h) 2 = x 2 + 2xh + h 2 - E substituindo isso no limite que queremos encontrar: f(x + h) f(x) h = x2 + 2xh + h 2 x 2 h = 2xh + h2 - Vamos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por h, e - Então queremos saber: 2x + h lim 2x + h h 0 - Se h tende à zero, então tudo o que sobre é: - Ou seja, a nossa derivada é: 2x h y = f (x) = (x 2 ) = 2x

3 - A generalização do que acabamos de fazer é uma regrinha que nos permitirá encontrar a derivada de qualquer função polinomial: (x n ) = nx n 1 4. As regras - Para derivarmos uma função qualquer, só precisamos seguir algumas regras, que nos permitem encontrar rapidamente o limite da função quando o h tende a zero. As quatro primeiras regras (em negrito) são as mais importantes para a resolução de problemas biológicos, e serão as únicas que vamos aplicar em exercícios e em prova. (c) = 0 (x n ) = nx n 1 (c f(x)) = c f (x) (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) (sen x) = cos x (cos x) = sen x (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) - Para seguirmos adiante e apresentar outras três regras, precisamos pensar um pouco sobre a idéia de uma função composta. Tanto as funções compostas quanto as três regras a seguir não serão usadas em nossos exercícios e provas.

4 5. Funções compostas - Uma função composta é, literalmente, uma função de uma função. Podemos representar uma função deste tipo dizendo: y = f(u(x)) - Por exemplo: podemos desmembrar a função y = sen 2 x em duas partes, e dizer que u(x) = sen x, e que f(u) = u 2 - A partir das funções compostas, podemos demonstrar as três últimas regras que nos ajudam a encontrar uma derivada. Veja o livro para as demonstrações. 6. Mais três regras Exercício 1 - A derivada de uma função composta: (f(u(x))) = f (u) u (x) - A derivada do quociente de duas funções: ( f(x) g(x) ) = g(x) f (x) f(x) g (x) g(x) 2 - Por fim, a derivada de uma função inversa: dx dy = 1 dy/dx Neste primeiro exercício, vamos partir do exercício resolvido da aula anterior (aquele com o cálculo da taxa média de crescimento de uma planta aquática) e destrinchar passo a passo como derivar uma função qualquer. Percebam que encontrar uma derivada é um simples exercício de se aplicar uma ou mais regras, e depois substituir os valores de x para se encontrar a taxa instantânea desejada. O exercício realizado foi: Um pesquisador determinou que a população de uma planta aquática invasora cresce em um lago recém ocupado de acordo com a seguinte equação: N = N0 + 2t + 5t 2

5 N é o número de indivíduos (sendo N0 o número inicial) e t é o tempo medido em dias Após a introdução de três plantas em um lago, quantos indivíduos devemos encontrar após 7 dias (ou seja, quando t=7)? 1.2. Esboce o gráfico do crescimento populacional desta espécie, considerando apenas valores inteiros de tempo e obedecendo ao domínio D = {t 0 t 7} 1.3. Qual a taxa média de crescimento populacional entre t = 2 e t = 5? A primeira e a segunda pergunta são bem simples, basta substituir os valores. Na terceira, vocês calcularam uma taxa média, substituindo os valores de tempo e resolvendo: Δy = Δx 5 2 = 37 Como podemos ver, a taxa média depende de um intervalo específico de tempo, e sempre representará um erro, pois representa a média de várias taxas que ocorrem naquele intervalo de tempo. Uma derivada representa uma taxa instantânea no tempo, e nos dá uma resposta muito mais precisa do que está acontecendo com a população em um momento específico. Imaginem, então, uma quarta questão que pedisse: 1.4. Calcule a taxa instantânea de crescimento populacional da planta no tempo t = 3. Passo 1: calculando a derivada da função. - Temos que usar as regras de derivação para encontrar a derivada da função. Neste caso, precisamos das quatro primeiras regras: - A função é: (c) = 0 (x n ) = nx n 1 (c f(x)) = c f (x) (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) N = N 0 + 2t + 5t 2

6 A quarta regra nos diz que podemos simplesmente encontrar a derivada de cada pedaço da nossa função, então a vida fica bem simples: - A derivada de N0, uma constante, é zero, por causa da primeira regra. - A derivada de 2t é 2 vezes a derivada de t, por causa da terceira regra: (2t) = 2(t) - E a derivada de t é, segundo a segunda regra: - Ou seja, a derivada de 2t é: (t ) = (t 1 ) = 1t 1 1 = 1t 0 = 1 (2t) = 2 - Por fim, para 5t 2 o raciocínio é o mesmo que acabamos de fazer: (5t 2 ) = 5(t 2 ) = 5(2t 2 1 ) = 10t - O resultado final, então, é que a derivada da função é: N = t Passo 2: calculando a taxa instantânea desejada. Uma taxa instantânea, por definição, varia a cada momento do tempo (exceto para as funções lineares), então para encontrarmos a taxa que queremos, devemos substituir o valor de x adequado. - Neste caso, a pergunta foi sobre a taxa no tempo t = 3. Então: N = = = 32 - Então a taxa instantânea de crescimento no tempo t = 3 é de 32 indivíduos. Significa que naquele momento do tempo 32 indivíduos são adicionados à população. Exercício 2 Após ingerir um alimento com 5 gramas de glicose, um organismo começou a absorvêlo segundo a função: M = 5 0,03t 2 Onde M é a massa de glicose ingerida, e t o tempo em horas. A velocidade com a qual a glicose é absorvida pelo organismo é chamada de taxa de reação.

7 2.1. Esboce um gráfico da massa de glicose em relação ao tempo, para o domínio {t 0 t 10}, considerando apenas os valores inteiros de t. Nada de complicado, basta substituir os valores, e obter o M para cada tempo. O gráfico ficaria assim: Qual a taxa instantânea de reação em t = 5 horas? Novamente, temos que calcular uma derivada. Vou omitir os passos, já que são semelhantes aos da questão anterior. (5 0,03t 2 ) = 0 0,03 2t = 0,06t Para t = 5: M = 0,06 5 = 0,3 Ou seja, a taxa instantânea de reação quando t = 5 é de 0,3 gramas de glicose. (a taxa é negativa porque temos um decréscimo) Exercício 3 Um fragmento de mata com 545 km 2 sofre um decréscimo em sua área seguindo a equação A = A0 7 t 7 t 3 (onde A é a área e t o tempo em anos) Qual a taxa média de perda de área para o intervalo de tempo t = 1 e t = 3? Δy = = 98 Δx 3 1

8 Tamanho da população 3.2. Qual a taxa instantânea de perda de área no tempo t = 2? Exercício 4 A = 7 21t 2 A = = 91 A população de uma bactéria está sendo criada em um meio de cultura que gera um crescimento descrito pela equação: N = N0 + 10t + 4t 2 Onde N é o tamanho da população, N0 é o tamanho inicial, e t é o tempo em horas. Considere a inoculação de um único indivíduo no meio de cultura, e responda: 4.1. Qual a taxa média de crescimento populacional entre os tempos t = 2 e t = 5? Δy = Δx 5 2 = Esboce o gráfico da função para o domínio D = {t 0 t 5} N t Tempo 4.3. Qual a taxa instantânea de crescimento populacional no tempo t = 5?

9 N = t = = 50 Exercício 5 A população de um protozoário está sendo criada em laboratório, em condições nas quais seu crescimento pode ser descrito pela equação: N = N0 + 5t + 3t 2 Onde N é o tamanho da população, N0 é o tamanho inicial, e t é o tempo em horas. Considere uma população inicial de cinco indivíduos, e responda: 5.1. Qual a taxa média de crescimento populacional entre os tempos t = 2 e t = 5? Δy = = 26 Δx Esboce o gráfico da função para o domínio D = {t 0 t 5} N t Qual a taxa instantânea de crescimento populacional no tempo t = 5? N = t = 35 Exercício 6 A população de um inseto em um silo de armazenamento de careais cresce de acordo com a equação: N = N0 + 50t + 3t 2 Onde N é o tamanho da população, N0 é o tamanho inicial, e t é o tempo em meses. Considere uma população que começou com 8 indivíduos, e responda: 6.1. Qual a taxa média de crescimento populacional entre os tempos t = 2 e t = 5? y ( ) = = 71 x (5 2)

10 6.2. Esboce o gráfico da função para o domínio D = {t 0 t 5} N t Qual a taxa instantânea de crescimento populacional no tempo t = 5? N = t = 80 Exercício 7 Um lago de 2300 m 2 está diminuindo de tamanho devido ao processo de erosão que ocorre em suas margens. Sua redução segue a equação: A = A0 23t 2t 3 Onde A é a área do lago, A0 é a área inicial e t é o tempo em meses Qual a taxa média de redução da área do lago para o intervalo de tempo t = 3 e t = 7? y ( ) = = 181 x (7 3)

11 7.2. Esboce o gráfico da função para o domínio D = {t 0 t 10} N t Qual a taxa instantânea de redução de área do lago no tempo t = 10? N = t 2 = 623