- Vamos começar fixando o valor de a em 1, e atribuindo alguns valores diferentes para n, com o domínio D = {x x 0}.

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1 Universidade Federal de Alagoas Instituto de Ciências e Biológicas e da Saúde BIOB- Biomatemática Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital 1. Definição. - Uma função potência é apenas ligeiramente diferente da função linear especial que estudamos na aula anterior, que seria apenas um caso particular de n = 1 da função: - y = ax n - Nesta função, a e n são constantes. - O valor de a continua dando uma idéia da inclinação. - Já o valor de n tem um grande impacto na forma da curva que veremos graficamente ao plotar a função. 2. Atribuindo valores. - Uma boa maneira de se entender o comportamento e funcionamento geral de um função é brincar um pouco com seus valores. - Basta definir valores para as constantes, atribuir valores de x, ver quais os valores de y resultantes, e traçar os gráficos. O ideal é manter uma constante fixa e variar valores da outra, de forma a se visualizar o efeito de cada constante na função. - Vamos começar fixando o valor de a em 1, e atribuindo alguns valores diferentes para n, com o domínio D = {x x } n = 2 2 n = n = 1/

2 Agora vamos fazer o contrário: fixar o valor de n em 2, e usar dois diferentes valores de a a = 2 a = Também podemos visualizar a função com domínios que incluem valores negativos de x, desde que o valor de n seja maior do que 1 (de outra forma, teríamos uma raiz de número negativo!). - Por exemplo, a função y = 5x Ou a função y = 5x

3 . Animais esféricos. - O que limita a forma e o tamanho de um animal? - Relação superfície/volume é um dos fatores fundamentais. - Considere um animal esférico... - A sua superfície seria dada pela fórmula: S = 4πr 2 - E o seu volume seria: V = (4/)πr - Como isto afetaria seu metabolismo? - Qualquer interação com o meio (temperatura, troca de substâncias, etc) se dá pela superfície, para então afetar o volume. 4. E de várias outras formas. - Não precisamos nos restringir às esferas! - Podemos dividir o corpo de qualquer animal em vários segmentos menores (como pequenos cubos, por exemplo), e determinar dimensões lineares. - O volume de um animal é dado pela fórmula: V = s i - Se aumentarmos o tamanho de todas as dimensões lineares por um fator c, então teremos um novo volume: V = c V - Já sua superfície aumenta como: S = c 2 S - E temos novamente a relação de uma superfície que cresce ao quadrado e um volume que cresce ao cubo. - Conseqüências biológicas. - Trocas gasosas e de nutrientes. - Consumo energético e força muscular. - Troca de temperatura e regulação da temperatura corporal. i

4 Exercício 1 Imagine um organismo esférico (como uma bactéria, por exemplo). O seu volume e a sua superfície são, cada um, uma função potência do seu raio. Para a função do volume, a constante que define a inclinação da curva é igual a (4/) π, e o expoente é. Para a superfície, a constante de inclinação é 4 π, e o expoente é Qual a equação que descreve o volume em função do raio? E qual a equação que descreve a superfície em função do raio? Esta é uma função potência, então deve obedecer ao formato: y = ax n O valor de a é a constante que multiplica a variável x, e o valor de n é o expoente ao qual x é elevado (e o x, neste caso, é o raio). As equações, então, são: V = (4/)πr, para o volume S = 4πr 2, para a superfície 1.2. Imagine uma bactéria de raio igual a μm (micrômetros). Qual a sua superfície? E qual o seu volume? Quais serão os novos valores de sua superfície e de seu volume caso ela dobre de tamanho em relação ao raio? Nos dois casos, basta substituir o valor do raio nas equações. Primeiro, fazemos isto com o raio de μm: V = (4/)π = 11,9 μm S = 4π 2 = 11,9 μm 2 Os dois valores são iguais para o raio. Quando a bactéria dobra de tamanho, basta mudar seu raio para 6 e refazer a conta: V = (4/)π6 = 94,7 μm S = 4π6 2 = 452, μm Calcule a relação superfície/volume da bactéria antes e após sua mudança de tamanho. Esta relação muda à medida que a bactéria cresce? Por que? Agora basta calcular a relação superfície/volume, que é simplesmente uma divisão. Para o raio a relação é: S/V = 11,9/11,9 = 1 E para o raio 6 a relação é: S/V = 452,/94,2 =,5 Isto acontece porque na medida em que o raio aumenta, a relação superfície/volume diminui, já que o volume cresce mais rapidamente do que a superfície (um é elevado ao cubo, e o outro ao quadrado).

5 Volume e Superfície Exercício 2 Uma célula de formato esférico teve seu raio determinado em 2μm, e sabemos que seu volume e sua superfície podem ser determinados, cada um, por uma função potência. Para a função do volume, a constante que define a inclinação da curva é igual a (4/) π, e o expoente é. Para a superfície, a constante de inclinação é 4 π, e o expoente é Quais equações determinam o volume e a superfície da célula em função do raio? O enunciado já diz tudo, então basta escrever as equações, lembrando que a forma geral das funções potências é y = ax n, onde a é a constante que define a inclinação e n é o expoente. Para o volume: V = 4 π r, ou então y = 4 π x Para a superfície: S = 4 π r 2, ou então y = 4 π x Trace um gráfico mostrando o aumento de volume e da superfície em função do raio da célula para o domínio D = {x 1 x 4}, considerando apenas valores inteiros de x. Basta substituir os valores na equação e traçar o gráfico do volume em função do raio: Raio Volume Superfície Raio