Biomatemática - Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital (ICBS UFAL) - Material disponível no endereço

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1 Universidade Federal de Alagoas Instituto de Ciências e Biológicas e da Saúde BIOB-3 Biomatemática Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital 1. Começando pelos exemplos. - Existem vários exemplos reais de situações que podem ser expressas por funções exponenciais. Vamos, então, começar a pensar em alguns destes exemplos, para mais adiante definir exatamente do que se trata esta função Divisão celular. - Como cresce uma população de bactérias? Ou uma cultura de células em uma placa de petri? Ou mesmo um tumor crescendo dentro de um organismo? - Em todas estas situações, sabemos que o que acontece está associado ao fenômeno de divisão celular: uma célula se divide, dando origem a outras duas; estas agora podem, cada uma, dar origem a outras duas, e assim sucessivamente. - O resultado é um crescimento que chamamos de exponencial, no qual quanto maior a quantidade de células, maior o incremento na próxima geração. É bem diferente de um aumento linear, por exemplo. - Matematicamente, podemos representar esta situação da seguinte maneira: N = 2 t, t ε IN - N representa o tamanho da população (neste caso, o número de células), e t representa o tempo, sendo que cada unidade de tempo representa o tempo necessário para que ocorra uma divisão celular. Por fim, o domínio da variável t está restrito aos números naturais (, 1, 2, 3,...).

2 - Para compreendermos completamente o funcionamento desta função, basta substituir alguns valores de t, observar os valores de N equivalentes e traçar um gráfico: Crescimento em porcentagem. - Durante nossa segunda aula, aprendemos a lidar com porcentagens para lidarmos, por exemplo, com aumentos sucessivos do peso de um animal. - O aumento de peso de um animal no final de um intervalo de tempo (, 1, 2, 3, 4,...) segue a seqüência: - w, wq, wq 2, wq 3, wq 4,... - Onde q = 1 + (p/1) - Este exemplo nos apresenta uma seqüência: uma função na qual o domínio é o conjunto dos números naturais IN, e a imagem um conjunto de valores ordenados correspondente. - Neste caso, temos a função: y = wq n, n ε IN 1.3. Meia vida. - Mudando para um exemplo completamente diferente, um outro exemplo prático com uma função exponencial vem da física, e do conceito de decaimento radioativo. - A idéia, em resumo, é a seguinte: um elemento radioativo decai com o tempo, transformando-se em um elemento não radioativo. O tempo necessário para que metade dos átomos de um conjunto transforme-se em seus equivalentes não-radioativos, é chamado de meia vida.

3 - O isótopo radioativo de carbono conhecido como carbono 14, por exemplo, tem grande interesse para nós biólogos, pois permite a datação de objetos de madeira com milhares de anos de idade! - Nitrogênio atmosférico é convertido neste isótopo radioativo, que é absorvido pelas plantas; sua meia-vida é de 56 anos, quando metade dos átomos transforma-se em Carbono A representação matemática é de novo uma função exponencial, mas que neste caso tem um expoente negativo (lembre-se de que a n = 1 a n): N = N x 2 -t, t ε IN - No caso do C 14, cada unidade de t equivale a 56 anos. Graficamente, temos uma redução da quantidade de C 14 (expresso em proporção) ao longo do tempo: 2. Função exponencial. - Agora que já visualizamos alguns exemplos práticos de crescimento e até de decréscimo exponencial, podemos finalmente observar a forma generalizada da função e compreendê-la sem problemas: y = aq x, q >, x ε IR - Neste caso, a variável independente é o expoente de uma seqüência, diferente do que acontece com as funções que já vimos antes: - Função linear: y = ax + b - Função potência: y = ax n

4 3. Seqüências. - Uma seqüência é um caso particular de uma função, no qual o domínio consiste de números inteiros consecutivos e a imagem de valores ordenados correspondentes. - Seqüência geométricas: - aq n-1, aq n, aq n+1 valor anterior e do posterior. - Sequências aritméticas: - Os valores intermediários são sempre a média geométrica do - b, a + b, 2a + b, 3a + b,... valor anterior e do posterior. 4. Funções inversas - a(n-1) + b, an + b, a(n +1) + b - Os valores intermediários são sempre a média aritmética do - Literalmente, invertemos quem são as variáveis: o x se torna dependente e o y se torna independente. - Exemplo: para o crescimento celular, representado pela função N = 2 t (ou seja, y = 2 x ), eu posso me perguntar em qual momento do tempo nós nos encontramos quando temos uma dada quantidade de células. - Ou seja, é dado o valor de y e queremos saber o valor de x! Estamos invertendo a lógica de quem é a variável dependente e de quem é independente. Exercício 1 Estudando em laboratório o crescimento da bactéria Escherichia coli, um pesquisador conseguiu determinar seu tempo de duplicação (o tempo necessário para uma célula se dividir, dando origem a dois indivíduos) em 3 minutos. Assuma uma situação na qual o crescimento de uma população desta bactéria ocorra sem limites (ou seja, os recursos são ilimitados) e responda:

5 1.1. Qual a equação que descreve o crescimento de E. coli em relação ao tempo nesta situação? Se o crescimento ocorre de forma que cada bactéria dá origem a outras duas, então precisamos de uma equação na qual o tamanho populacional em um determinado momento no tempo seja igual ao dobro do tamanho de meia hora atrás (já que meia hora é o tempo necessário para termos uma nova geração). Como o intervalo de tempo é sempre de meia hora, podemos pensar no tempo como uma variável que começa como e que assume números inteiros positivos. Desta forma, o tempo 1 seria equivalente a meia hora após o começo do crescimento, o tempo 5 seria equivalente a duas horas e meia, e assim por diante. A função capaz de descrever a situação descrita acima é a exponencial. Sua forma geral é: y = aq x. Neste caso, podemos chamar y de N (para representar o tamanho da população), e x de t (para representar o tempo, em períodos de meia hora). O valor de a é o ponto inicial da função (ou seja, o tamanho inicial da população), o valor de y quando o x é zero, e neste caso vamos chamá-lo N. N = N 2 t 1.2. Quantas bactérias devemos encontrar em uma cultura que começou com 3 indivíduos e cresceu por 5 horas? Aqui só precisamos substituir valores na função que descrevemos acima. Se ela começou com 3 indivíduos, então este é o nosso N. Se ela cresceu por cinco horas, então 1 unidades de tempo se passaram, e nosso valor de t é 1. N = 3 21 = 372 indivíduos 1.3. Esboce o gráfico do crescimento desta bactéria a partir da função que você descreveu na questão 1.1 para o domínio {x x 5}, considerando apenas os valores inteiros de x e uma população inicial de apenas 1 indivíduo. Se a população inicial é de um indivíduo, nosso N é 1, e desaparece da função. Para esboçar este gráfico, basta calcular os valores de N para cada t, de a 5. O gráfico deverá ficar mais ou menos assim:

6 Exercício Imagine um fragmento de mata atlântica de 15 km 2 e que perde, anualmente, 15% de sua área por desmatamento Qual a equação que descreve o tamanho do fragmento ao longo do tempo? Estamos novamente lidando com uma função exponencial, mas com um caso particular que trata de porcentagens. A lógica é a mesma do exercício anterior, com a diferença de que temos que pensar no q da função exponencial como um fator que representa a porcentagem - que neste caso é de decréscimo. Nosso primeiro passo é, então, calcular o valor de q. Se vocês retornarem ao início da disciplina e derem uma olhada na fórmula geral para se calcular uma porcentagem, verão que ela é uma função exponencial na qual o valor de q é (1 + p/1). Como temos um decréscimo percentual, isto quer dizer que o nosso p é negativo, e que neste caso q = (1 + p/1) = (1 15/1) =,85 Sabemos que o tamanho inicial é de 15 km 2. A equação, então será: y = a q x y = 15,85 x 2.2. Esboce o gráfico desta equação para o domínio D = {x x 5}, considerando apenas valores inteiros de x. Basta calcular a equação acima, substituindo o x com os valores, 1, 2, 3, 4 e 5. Como a equação não é linear, devemos substituir todos os valores, e não apenas um ponto inicial e outro final. O gráfico fica assim:

7 Exercício O isótopo radioativo de carbono C 14 (chamado de carbono 14 ) tem uma meia-vida de 56 anos, e é bastante útil na determinação da idade de fósseis de plantas e artefatos arqueológicos que contenham partes de madeira. A meia-vida representa o período de tempo necessário para que metade dos átomos de um conjunto sofra decaimento radioativo, tornando-se C 12, neste caso Qual a equação que determina a quantidade de átomos de C 14 em uma amostra de fóssil de planta ao longo do tempo? Considere que a amostra possui, inicialmente, 15 moles de C 14. Temos uma função exponencial que mostra um decréscimo na quantidade de carbono em uma amostra de fóssil. Como o que esperamos, neste caso, é que a quantidade de carbono cai pela metade a cada período de 56 anos, temos duas maneiras diferentes de representar a função: podemos usar um expoente negativo ou tratar a questão toda como um decréscimo percentual. Matematicamente, não há diferença alguma entre os dois tratamentos, e vou apresentar ambos apenas para fins didáticos. Solução com decréscimo percentual: Esta é a solução que considero mais intuitiva: basta pensar que temos um decréscimo de 5% a cada ciclo de tempo. Se temos um decréscimo de 5%, isto significa um valor de q: q = (1+p/1) = (1 5/1) = 1-,5 =,5 A equação é exponencial, então: y = a q x y = a,5 x O valor inicial da quantidade de carbono é de 15 moles, então: y = 15,5 x

8 Ou, se preferirmos a notação usando N e t: Solução com expoente negativo: N = 15,5 t Nesta solução, que é a maneira mais comum de mostrar o decaimento radioativo, basta lembrarmos-nos desta regrinha de potências: Então podemos escrever a equação assim: a n = 1 a n N = 15 x 2 -t 3.2. Quanto de C 14 deveria ser encontrado naquele mesmo fóssil após se passarem 28 anos? Basta substituir os valores na equação, com atenção para o fato de que t é medido em períodos de 56 anos. Então, precisamos primeiro encontrar o valor de t contido nestes 28 anos. É uma simples divisão: t = = 5 Substituindo: y = 15,5 x y = 15,5 5 y =,469 moles de C 14 Exercício 4 Estudando a população de um inseto praga dentro de um silo de armazenamento de grãos, um pesquisador estimou a sua abundância total em 8 indivíduos. Ele então aplicou um inseticida que deveria causar a mortalidade de 7% da população de insetos por dia de uso contínuo Qual a equação que descreve a abundância de insetos por dia de uso do inseticida? q = (1 7 1 ) =.3 y = 8.3 x

9 Abundância de insetos 4.2. Esboce o gráfico desta equação para o domínio D = {x x 5}, considerando apenas valores inteiros de x. Exercício 5 Estudando a população de uma espécie de primata ameaçada de extinção, um pesquisador estimou que seu tamanho total estava diminuindo em 17% por ano. Considere uma população inicial de 55 indivíduos, e responda: 5.1. Qual a equação descreve o tamanho desta população em função do tempo? Nesta questão, apenas para os resultados ficarem coerentes com a ideia de número de indivíduos, arredondei todos os resultados relevantes para o número inteiro abaixo. y = a q x Então: q = (1 + Tempo (dias) p 17 ) = (1 1 1 ) =,83 y = 55,83 x 5.2. Quantos indivíduos devem ser encontrados nesta população após 1 anos? y = 55,83 1 = 85 indivíduos (arredondado)

10 Número de indivíduos 5.3. Esboce o gráfico desta função para o domínio D = {x x 5}. Substituindo os valores (e arredondando): x y Tempo (anos)