CADERNO DE EXERCÍCIOS 1D

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1 CADERNO DE EXERCÍCIOS 1D Ensino Médio Ciências da Natureza I Questão Conteúdo 1 Teorema de Pitágoras Área de círculo Equação do º grau Área de círculo Habilidade da Matriz da EJA/FB H16 H1 H 3 Aceleração média H4 4 Leis de Newton e força de atrito H3 1

2 1. Um projetista de utensílios domésticos criou um suporte para copos que tem uma área revestida com tecido impermeável. Na figura 1, apresenta-se esse suporte e a região coberta pelo círculo é a região em que há o revestimento impermeável. Figura 1 Para construir esse suporte, inicialmente o projetista criou um quadrado de diagonal igual a 8,49 cm e, a partir do quadrado, ele determinou qual seria a região coberta com o tecido. Acompanhe nas imagens o passo a passo até a finalização do modelo do suporte. 1º passo º passo 3º passo 4º e último passo Se o círculo que será revestido tem o diâmetro igual à medida do lado do quadrado, qual é a quantidade necessária de tecido impermeável para colocar nessa parte do suporte? Observação: adote π = 3,14

3 . Considere que o suporte mencionado no exercício 1, teve uma ótima aceitação no mercado de utensílios e o projetista resolveu produzir uma nova versão que serviria para copos de chope. Para produzir esse novo produto, o projetista iniciou seus trabalhos a partir do quadrado já utilizado para fazer o primeiro suporte, aumentando nessa nova versão a medida do lado em x centímetros. O novo quadrado, utilizado para confeccionar o suporte para copos de chope, tem área igual a 100 cm². Observe os desenhos. x Medida aumentada para produzir o suporte 1 suporte produzido x x Suporte para copo de chope Medida aumentada para produzir o suporte A parte hachurada representa a região que aumentou no suporte. A partir dos desenhos e das informações apresentadas, determine a área da região circular, do novo suporte, que também será revestida com um tecido impermeável. Para tanto, é 3

4 importante que você considere que a medida do lado do quadrado utilizado para confeccionar o primeiro suporte é igual a 6 cm. Observação: lembre-se de que o círculo tem diâmetro igual à medida do lado do quadrado utilizado para fazer o segundo suporte. - 4

5 3. Leia atentamente as situações descritas a seguir Situação 1 Testes de um novo veículo mostraram que nas arrancadas de 0 a 100 km/h houve pouca perda de potência. Foram necessários 11,9 segundos para o veículo chegar a essa velocidade. Situação Partindo do repouso, um avião demora 0 s para percorrer os.000 m da pista e deixar o solo com velocidade de 300 km/h. Situação 3 Um motociclista observa o velocímetro de sua moto que indica 80 km/h. Ele resolve acelerar e depois de 5 s sua nova velocidade é de 160 km/h. Situação 4 A partir da altura de,5 m, atira-se uma pequena bola de chumbo verticalmente para baixo, com velocidade de módulo,0 m/s. Desprezando-se a resistência do ar, após 0,5 s, a bola atinge o solo com velocidade de 7 m/s. Realize os cálculos necessários e indique as situações em que os veículos adquirem a maior e a menor aceleração média. 5

6 4. Uma corda de massa desprezível pode suportar uma força tensora máxima de 300 N sem se romper. Um trabalhador puxa uma pedra utilizando esta corda, que está esticada horizontalmente, conforme mostrado na ilustração, aplicando a força máxima. O coeficiente de atrito cinético entre a pedra e o piso vale 0,5 e a aceleração da gravidade no local é igual a 10 m/s. 600 N Diante do cenário apresentado, indique V para verdadeiro e F para falso nas afirmações a seguir. 1. ( ) a massa da caixa possui valor igual a 60 kg.. ( ) a força normal tem intensidade superior a 600 N. 3. ( ) a força de atrito cinético entre a pedra e o piso vale 15 N. 4. ( ) a máxima aceleração que se pode imprimir à caixa é de 7,5 m/s. 5. ( ) se a corda puxa a pedra com uma força de 300 N, a pedra puxa a corda com uma força de 150 N. 6

7 7

8 Gabarito comentado 1. Para saber qual é a área do tecido impermeável, devemos calcular a área do círculo. Para tanto, inicialmente vamos calcular a medida do lado do quadrado, já que sabemos que o diâmetro do círculo tem a medida igual ao lado do quadrado. Devemos lembrar que, no enunciado do exercício, foi mencionado que a diagonal desse quadrado tem medida igual a 8,49 cm. Conforme podemos observar na imagem a seguir, ao traçar a diagonal de um quadrado, obtemos um triângulo retângulo. Para saber a medida do lado do quadrado, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras. L L d L L d² = L² + L² (8,49)² = L² + L² 7,08 = L² 7,08 36,04 = L² L 6 L² Portanto, vamos considerar que o lado do quadrado tem medida igual de 6,0 cm. Se o lado do quadrado mede 6,0 cm, o diâmetro do círculo, como mencionado no enunciado, também mede 6,0 cm. Vamos agora calcular a área do círculo. Para tanto, utilizaremos a seguinte expressão: Ac = πr² π = 3,14 raio = 3 cm Lembre-se: o raio de um círculo tem medida igual à metade do diâmetro, por isso, neste caso, o raio mede 3 cm. 8

9 Ac = 3,14.3² Ac = 3,14.9 Ac = 8,6 Portanto, para revestir o círculo, serão necessários 8,6 cm² de tecido impermeável. Observações: Em todos os cálculos realizados consideramos os valores com apenas casas decimais. Logo, se, ao realizar o cálculo, forem utilizadas mais que duas casas decimais, poderão existir pequenas diferenças entre os resultados apresentados no gabarito e os resultados encontrados por você.. Para encontrar a medida do tecido que revestirá o suporte para copos, devemos fazer algumas interpretações. Primeiro vamos observar o desenho a seguir: 1 suporte produzido Se essa parte representa o primeiro suporte construído, a medida do lado desse quadrado é igual a 6 cm. Conforme informado no enunciado do exercício, a área do quadrado utilizado para confeccionar o novo suporte é igual a 100 cm², e a medida do lado do quadrado é igual a medida do lado do quadrado utilizado para produzir o primeiro suporte aumentado de uma medida x. Logo, teremos: 6 x 6 1 suporte produzido x 9

10 Se a área de um quadrado é calculada multiplicando-se a medida de seus lados, a área desse quadrado pode ser calculada da seguinte maneira: A = (6 + x). ( 6 + x) Sabemos que a área é igual a 100 cm². 100 = ( 6 + x). ( 6 + x) Para determinar o valor de x, e assim encontrar a medida total do lado desse quadrado, vamos aplicar a distributiva. 100 = ( 6 + x). ( 6 + x) 100 = x + 6x + x² 100 = x + x² 0 = x² + 1x = x² + 1x - 64 Chegamos a uma equação do º grau. Para encontrar o valor da medida do lado do quadrado, devemos resolvê-la. Inicialmente, identificaremos os coeficientes da equação. 0 = x² + 1x 64 a = 1 b = 1 c = 64 x = b a Δ Δ b² 4.a.c x = x = 1 1 (-1)²- 4.1.( ( - 64) 64) x =

11 x = x = x = = x = 16 Obtivemos os valores x = 4 e x = 16, vamos verificar qual deles representa a medida x do lado do quadrado. O quadrado tem a medida de lado 6 + x. Substituiremos a incógnita x pelos valores encontrados = = 10 Como estamos falando de medida, devemos considerar que o valor da incógnita é x = 4, pois ao substituir o valor desconhecido por 16, encontramos um valor negativo que não pode ser considerado como medida de lado de um quadrado. Agora, já sabemos que o novo quadrado utilizado para confeccionar o º suporte, tem lado igual a 10 cm suporte produzido 10 4 Se o quadrado tem lado igual a 10 cm, o diâmetro do círculo também é igual a 10 cm. Basta agora calcular a área do círculo que será revestido. Ac = π. r² Ac = 3,14.5² 11

12 Ac = 3,14. 5 Ac = 78,5 Portanto, para confeccionar o suporte para chope, serão necessários 78,5 cm² de tecido impermeável. 3. Utilizando a expressão a seguir, determinaremos a aceleração média para as situações analisadas. a = V t Situação 1 A variação de velocidade foi de 0 a 100 km/h. Dessa maneira v = v final v inicial v = = 100 km/h A variação de velocidade foi de 100 km/h que, transformados em m/s, fornecem como valor 100 km/h 7,8 m/s Observação: a regra básica para realizar esta transformação é a divisão do valor em km/h por 3,6 obtendo assim o resultado em m/s. Para mais informações sobre este procedimento, releia no material didático Temas de Estudo o capítulo Parado ou em movimento? Então, temos que: v = 7,8 m/s e t = 11,9 s que foi o tempo necessário para o veículo atingir a velocidade de 100 km/h (7,8 m/s). Teremos, então, para a aceleração: a = V t a = 7,8 m/s 11,9 s a,3 m/s 1

13 Situação A variação de velocidade foi de 0 (repouso) a 300 km/h em 0 s. Dessa maneira v = v final v inicial v = = 300 km/h A variação de velocidade foi de 300 km/h, que transformados em m/s, fornecem como valor 300 km/h 7,8 m/s Então, temos que: v = 83,3 m/s e t = 0 s que foi o tempo necessário para o avião atingir a velocidade de 300 km/h (83,3 m/s). Teremos, então, para a aceleração: a = V t a = 83,3 m/s 0 s a 4, m/s Situação 3 A variação de velocidade foi de 80 km/h a 160 km/h em 5 s. Dessa maneira: v = v final v inicial v = = 80 km/h A variação de velocidade foi de 80 km/h, que transformados em m/s, fornecem como valor 80 km/h, m/s Então, temos que: v =, m/s e t = 5 s Teremos, então, para a aceleração: 13

14 a = V t a =, m/s 5 s a 4,4 m/s Situação 4 A variação de velocidade foi de m/s a 7 m/s em 0,5 s. Dessa maneira: v = v final v inicial v = 7 = 5 m/s A variação de velocidade foi de 5 m/s. Observe, que nesta situação, não é necessário realizar a transformação, pois os valores das velocidades inicial e final já foram expressos em m/s. Então, temos que: v = 5 m/s e t = 0,5 s Teremos, então, para a aceleração: a = V t a = 5 m/s 0,5 s a 10 m/s Reunindo as informações de todos os cenários, temos o quadro a seguir: Situação 1 (carro) a =,3 m/s Situação (avião) a = 4, m/s Situação 3 (moto) a =4,4 m/s Situação 4 (bola) a = 10 m/s Comparando as quatro situações, observa-se que quem adquire a maior aceleração é a bola (10 m/s ) e quem adquire a menor aceleração é o carro (,3 m/s ). 14

15 4. Na ilustração a seguir foram indicadas as forças atuantes na pedra quando puxada. Força normal Força de atrito 600 N Força tensora Força da gravidade 1. ( V ) a massa da caixa possui valor 60 kg. Foi indicado na ilustração o valor 600 N, que corresponde ao peso P (força de atração gravitacional) da pedra. Utilizando a expressão P = m.g onde P = 600 N e g = 10 m/s, teremos: P = m.g 600 =m.10 m = 600/10 = 60 kg. ( F ) a força normal tem intensidade superior a 600 N. A pedra só possui movimento na direção horizontal. Dessa maneira, as forças atuantes na direção vertical se equilibram. Dessa maneira Força normal = Força da gravidade Força normal = 600 N 3. ( F ) a força de atrito cinético entre a pedra e o piso vale 15 N. Pela expressão F at =.N, determinamos o valor da força de atrito onde é o coeficiente de atrito cinético entre a pedra e o piso e vale, de acordo com o enunciado, 0,5 ; e N é a força normal de valor 600 N. Teremos: F at =.N 15

16 F at = 0,5.600 F at = 150 N 4. ( F ) a máxima aceleração que se pode imprimir à caixa é de 7,5 m/s. Para determinar a aceleração, utilizamos a ª lei de Newton: F r = m.a Onde m = 60 kg. A força resultante (Fr) pode ser obtida a partir de todas as forças que atuam na pedra como podemos visualizar a seguir. Força normal = 600 N Força de atrito = 150 N 600 N Força tensora = 300 N Força da gravidade = 600 N Considerando que as forças normal e gravidade se anulam (estão em sentidos contrários e possuem o mesmo valor), a força resultante será dada por: Força resultante = Força tensora Força de atrito Força resultante = N Força resultante = 150 N Com as informações da força resultante e da massa, determinamos a aceleração. F r = m.a 150 = 60.a a = 150/60 a =,5 m/s 5. ( F ) se a corda puxa a pedra com uma força de 300 N, a pedra puxa a corda com uma força de 150 N. Esta afirmação está relacionada à 3ª lei de Newton. Se a corda puxa a pedra com uma força de 300 N, a pedra puxa a corda com uma força igual e no sentido contrário de 300 N. 16

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