Aula 2 Reflexão da luz e espelhos planos e esféricos

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Aurora Sabala Palhares
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1 Aula 2 Reflexão da luz e espelhos planos e esféricos 1

2 Última aula Propagação retilínea Refração da luz Lei de Snell-Descartes 2

3 Princípio da preguiça mínima ação A B * Ar Espelho θ i θ r Suponha a seguinte situação. Uma fonte A emite um feixe de luz em direção a um espelho perfeitamente plano, conforme ilustra a figura ao lado. O feixe chega de alguma forma ao ponto B, depois de ter refletido no espelho. Sabemos da propagação retilínea da luz. Porém, qual caminho o feixe fez: o representado pela linha verde, vermelha, ou laranja? Existe um princípio físico que nos ajuda a entender qual caminho a luz percorre: o chamado princípio de mínima ação. Basicamente, este princípio nos diz que os fenômenos naturais tendem a ser aqueles que minimizam o gasto de energia. No caso da luz, isso se traduz em um trajeto econômico e mais rápido. Isto é, o caminho percorrido pela luz entre A e B é o mais rápido possível (menor tempo). 3

4 Princípio da preguiça mínima ação h A B * Ar Espelho θ i θ r Consideremos que os pontos A e B estão a uma mesma distância do espelho, h. Chamamos de i o ângulo de incidência e r o ângulo de reflexão. Vamos utilizar o feixe verde para estudo. Chamando a velocidade da luz no ar de v, temos que o tempo para o feixe chegar no espelho é: v. cos( i ) ta h Já o tempo para chegar no ponto B é: v. cos( r ) tb h O caminho que a luz percorre é aquele no qual t A + t B é mínimo. Isto é: t A v tb (cos( i ) cos( r )) h deve ter o menor valor possível! 4

Princípio da preguiça mínima ação Precisamos notar que os ângulos θ i e θ r são menores que 90 - isso implica que os cossenos desses ângulos terão valores entre 0 e 1.

5 Princípio da preguiça mínima ação Precisamos notar que os ângulos θ i e θ r são menores que 90 - isso implica que os cossenos desses ângulos terão valores entre 0 e 1. De um resultado da geometria, podemos afirmar que a soma de θ i + θ r é constante, uma vez que o arco AB não muda. Vamos dizer que: Isso significa que queremos minimizar a soma: Se desenharmos o gráfico dessas funções, teremos isto: i r cos( ) cos( ) i i Tentem notar que a soma das funções cosseno é mínima exatamente no ponto θ i = α/2. Disso tiramos que θ r = α/2. Portanto, acabamos de encontrar que: i r Isso foi resultado do princípio de mínima ação! α/2 α cos (α - θ i ) cos (θ i ) i 5

6 Lei da reflexão A B * O que acabamos de encontrar é chamado de lei da reflexão. Ela se traduz na seguinte frase: o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. h Nós podemos obter esse resultado aplicando a lei de Snell-Descartes (que usamos até então para refrações): n1sen ( i) n2sen( r ) Ar θ i θ r Como o feixe incidente e o refletido estão no mesmo meio, temos que n 1 = n 2. Fazendo isto na expressão acima, reencontramos que: Espelho i r 6

7 Reflexão da luz em superfícies planas 7

8 Reflexão da luz em superfícies curvas A lei da reflexão vale inclusive para superfícies curvas, sejam elas cilindros, esferas, ou qualquer outro formato: 8

9 Espelhos planos Espelhos planos são muito comuns no dia-a-dia, porém, outras superfícies e materiais também apresentam alta reflexão, como mostra a figura acima. O campo de visão de um espelho plano não é difícil de determinar (veja figura ao lado, abaixo). 9

10 Relação entre objetos e imagens d d =d θ i θ r Além disso, a imagem tem MESMO TAMANHO e MESMA ORIENTAÇÃO que o objeto, e a distância dessa imagem ao espelho é IGUAL à distância do objeto ao espelho. Para situarmos a imagem de um objeto (pontual) em um espelho, traçamos ao menos duas retas (feixes de luz), e depois prolongamos elas para trás do espelho. Utilizando a lei de reflexão podemos obter imagens de pontos ou objetos num espelho plano. Observe na figura ao lado a imagem P do objeto representado pelo ponto P. A imagem está atrás do espelho, mas os raios de luz não provem realmente deste ponto (P ) por isso, chamamos essa imagem de VIRTUAL. Não há nenhuma energia radiante atrás do espelho e não se pode projetar ou registrar essa imagem! 10

11 Composição de espelhos planos Um espelho plano forma apenas uma imagem de um objeto. Porém, se colocarmos espelhos planos próximos de tal maneira que o ângulo entre eles seja menor do que 180, veremos uma curiosa e bela multiplicação de imagens. A quantidade de imagens formadas para espelhos planos com ângulo de separação α é: n No caso em que α 0, teremos, pela fórmula, que serão formadas infinitas imagens 11

12 Espelhos esféricos Eixo principal Ângulo de abertura Espelhos esféricos são calotas esféricas polidas cuja superfície refletora pode ser côncava ou convexa. Na figura ao lado temos alguns elementos dos espelhos esféricos que servem de guia para traçar imagens. C é o centro de curvatura do espelho. V é o vértice do espelho, localizado no centro a calota. f é a distância focal, ponto médio entre C e V. R é o raio de curvatura do espelho. 12

13 Espelhos côncavos Espelhos côncavos possuem a face interna espelhada, e são usados em espelhos para maquiagem, instrumentos de medicina e odontologia, entre outros. São também usados em museus de ciência para demonstrações. 13

14 Toda luz que incide em um espelho paralelamente ao eixo principal reflete-se numa mesma direção passando pelo foco principal Todo raio de luz que incide em um espelho passando pelo foco principal reflete-se paralelamente ao eixo principal Todo raio de luz que incide sobre o vértice do espelho reflete-se de forma simétrica ao eixo principal Todo raio de luz que incide em um espelho passando pelo centro de curvatura reflete-se sobre si mesmo 14

15 Relação entre objetos e imagens 15

16 Relação entre objetos e imagens 16

17 Relação entre objetos e imagens 17

traseiros de ônibus, espelhos de controle em supermercados,

18 Espelhos convexos Espelhos convexos possuem a face externa espelhada, e são usados em retrovisores de carros, espelhos traseiros de ônibus, espelhos de controle em supermercados, entre outros. Bolas de árvore de natal se comportam como espelhos convexos 18

Todo raio de luz que incide sobre o vértice do espelho reflete-se de forma simétrica ao eixo principal Todo raio de luz que incide em um espelho convexo cuja projeção passa pelo centro de curvatura

19 Todo raio de luz que incide sobre o vértice do espelho reflete-se de forma simétrica ao eixo principal Todo raio de luz que incide em um espelho convexo cuja projeção passa pelo centro de curvatura reflete-se sobre si mesmo Todo raio de luz que incide em um espelho convexo cuja projeção incide sobre foco principal reflete-se paralelamente ao eixo principal Toda luz que incide em um espelho convexo paralelamente ao eixo principal reflete-se numa mesma direção cuja projeção passa pelo foco principal 19

Uma razão para isto é que o pontos principais do espelho são virtuais.

20 Relação entre objetos e imagens Em espelhos convexos a imagem é sempre menor. Uma razão para isto é que o pontos principais do espelho são virtuais. Por isso, muitas vezes é fácil identificar um espelho convexo só pela imagem. Na figura abaixo, qual dos lados corresponde e ele? 20

21 Equações de Gauss para espelhos y = tamanho do objeto y = tamanho da imagem O estudo analítico dos espelhos esféricos é feito em um sistema de referência, denominado referencial de Gauss. Nele as posições do objeto e de sua imagem podem ser caracterizadas por abscissas, bem como as respectivas alturas podem ser associadas às ordenadas. As equações de Gauss para as distâncias e tamanhos de objetos do vértice são: f = distância focal p = distância do objeto ao vértice p' = distância da imagem ao vértice 1 f 1 p 1 p' y ' p' y p Convenção de sinais p > 0 se o objeto está ao lado da luz incidente, chamamos de objeto real p > 0 se a imagem está ao lado da luz incidente, chamamos de imagem real p < 0 se a imagem está do outro lado da luz incidente, chamamos de imagem virtual f > 0 se o foco está ao lado da luz incidente, trata-se do caso do espelho côncavo f < 0 se o foco está do outro lado da luz incidente, trata-se do caso do espelho convexo y > 0 se o objeto está acima do eixo principal, y < 0 se está abaixo y' > 0 se a imagem está acima do eixo principal, y < 0 se está abaixo Se y e y têm sinais opostos, a imagem é invertida, se não, a imagem é dita direita 21

22 Espelhos tipo olho-de-gato Certamente vocês já reparam no olho brilhante dos gatos durante a noite. E, talvez, já tenha visto em fotos antigas (usando o flash) o fenômeno do olho vermelho, como na imagem acima (a direita). Há sim diferenças quanto a fisiologia do olho felino (e, em geral, de animais que caçam de noite) e o olho humano. Mas no fundo trata-se de um mesmo fenômeno: reflexão. A razão da reflexão dos olhos de animais parecer de determina cor é específica de cada animal (espécie ou raça). Já a razão do reflexo vermelho em fotos dos olhos humanos é simples: trata-se do reflexo do sangue e músculos (vermelhos) presentes no fundo de nossos olhos! 22

23 Espelhos tipo olho-de-gato Existe de fato um espelho produzido que se chama olho-de-gato. É constituído basicamente por uma esfera refratora e um espelho esférico sobre parte da superfície da esfera conforme representado na figura ao lado. Se a distância focal da superfície refratora sobre a qual a luz incide vinda de fora do olho-de-gato for igual ao diâmetro da esfera, então um raio luminoso refletido por este espelho e posteriormente refratado ao sair do olho, se propaga fora do olho na mesma direção original de incidência, em sentido contrário, transladado por uma distância menor do que o diâmetro da esfera, conforme representado na figura ao lado. Desta forma, se um feixe luminoso incide sobre o olhos-de-gato, ele acaba por retornar sobre si mesmo. E se este sistema for efetivamente o olho de um animal em um local com pouca iluminação, poderemos então ver a luz de uma fonte que retorna do olho do animal. O efeito é tanto mais importante quanto menos iluminada é a região onde o olhos-de-gato se encontra, retrorrefletindo a luz da fonte potente. 23

24 Exemplos 24

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