Biomatemática - Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital (ICBS UFAL) - Material disponível no endereço

Transcrição

1 Universidade Federal de Alagoas Instituto de Ciências e Biológicas e da Saúde BIOB-003 Biomatemática Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital 1. Como prever a natureza? (ou: apresentando uma função) 1.1. Visão inicial do que é uma função. - Podemos pensar em uma função como uma relação matemática entre duas ou mais variáveis (mais adiante veremos uma definição mais rigorosa). - Pode descrever: o efeito da quantidade de gás carbônico na atmosfera sobre a temperatura global, a eficiência de um antibiótico em reduzir uma população de bactérias, o quanto uma população cresce com o passar do tempo, etc. - A descrição de funções matemáticas faz parte de uma etapa bastante importante da produção do conhecimento científico: a construção de modelos. - Um modelo é uma representação de alguma coisa no mundo real. Na primeira aula, por exemplo, vimos um modelo de distribuição, que tentava descrever como certas variáveis ambientais determinariam a distribuição de um organismo. - Podemos pensar em modelos mais simples ou mais complexos: tudo depende do nosso objetivo ao construí-lo. - Modelos podem tanto descrever e como prever fenômenos biológicos. - Uma descrição matemática é sempre mais precisa do que uma descrição verbal, o que torna mais fácil comparar o modelo com o mundo real. - Uma previsão pode ter valor prático fantástico e, novamente, uma previsão descrita matematicamente é bastante precisa. 1.2 Um exemplo simples (e hipotético!). - Como o grau de isolamento de uma ilha pode afetar o grau de endemismo? - Espécies endêmicas são aquelas que só existem em uma região geográfica específica. - Note que o conceito é relativo: uma espécie pode ser endêmica do continente americano, e outra ser endêmica e Maceió.

2 Proporção de espécies endêmicas (%) - Vamos começar com uma descrição verbal do modelo, que expressa o que esperamos encontrar. Imagine um cenário no qual temos um grande continente, e várias ilhas de tamanho semelhante a diferentes distâncias dele. Será que podemos esperar alguma relação entre a proporção de espécies endêmicas de uma ilha e a sua distância com o continente? - Do ponto de vista evolutivo, a resposta é sim, pois a distância está diretamente relacionada com o grau de isolamento de uma ilha, e o grau de isolamento deve estar relacionado com os processos de especiação. - Formulando, então, nosso modelo verbal: quanto maior a distância de uma ilha para o continente, maior a proporção de espécies endêmicas naquela ilha. - Da forma que está, nosso modelo já é relativamente útil, e pode ser comparado com o mundo real para sabermos se realmente funciona. Mas uma formulação matemática nos permite ir além, e pensar, por exemplo, em o quanto a distância afeta a proporção de espécies endêmicas! - Uma das maneiras mais simples é assumir uma relação linear entre as variáveis; podemos, por exemplo, dizer que a cada quilômetro de distância do continente, uma ilha tem 2% de espécies endêmicas. - Isto pode ser expresso em uma equação bem simples: s = 2 d. - s é o número de espécies, e d a distância. - Representando graficamente Distância do continente (em Km) - A equação descreve o fenômeno e cria a possibilidade de se prever o que acontece com a variável dependente quando encontramos um determinado valor da independente.

3 2. Conjuntos - Um conjunto é uma coleção finita ou infinita de elementos (ou membros). - Podemos pensar em um conjunto de espécies que pertencem ao mesmo gênero, um conjunto de ambientes em um mesmo bioma, um conjunto (e este seria infinito!) de temperaturas que pertence ao nicho ecológico de uma espécie, etc Notação - Representamos os conjuntos por letras maiúsculas do alfabeto, com os seus elementos entre chaves e separados entre si por vírgulas. -, IN e IR representam, respectivamente, os conjuntos Vazio, dos Números Naturais e dos Números Reais. - Se um elemento a pertence a um conjunto T, então podemos dizer que: a ε T - Se um conjunto A contém apenas elementos de um conjunto B, então: A B - Representação gráfica diagrama de Venn: B A Figura 2: Diagrama de Venn da relação A está contido em B Variáveis - Para representar conjuntos grandes, pode ser bem conveniente condensar a informação em variáveis que representem os elementos do conjunto. - A notação geral tem este formato: D = {x x > 5} - Que é o mesmo que dizer que o conjunto D tem como elementos todos os números menores do que 5.

4 - Em alguns casos particulares, temos o conjunto solução, que condensa seus elementos ao apresentar uma equação que os contêm. - {x x 2 = 4} = {2, -2} - Um bom exemplo biológico de um conjunto representado por variáveis é (novamente) o nicho ecológico. - N = {t 15 t 25} - Que é o mesmo que dizer que o conjunto N (que neste caso representa parte do nicho ecológico de um organismo) contem todos os valores que a variável t (que neste caso representaria valores de temperatura) pode assumir entre 15 e Note que este é um conjunto infinito, pois podemos medir a temperatura com a precisão que desejarmos! - Uma versão ligeiramente mais complexa de um conjunto representando nicho: - N = {(t, p) 22 t 34, 1300 p 2500} - Agora acrescentamos mais uma variável (neste caso, precipitação) União e interseção - Ao considerar conjuntos diferentes, podemos considerar tanto sua união (ou seja, a junção de seus elementos) quanto sua interseção (ou seja, os elementos que eles têm em comum. - A união pode ser representada como A U B, e, graficamente: A U B A B Figura 3: Diagrama de Venn da união.

5 - A interseção pode ser representada como A B, e, graficamente: A B A B Figura 4: Diagrama de Venn da interseção. 3. Produto de conjuntos - Se considerarmos as combinações de todos os elementos de dois conjuntos, estamos falando de seu produto cartesiano. Um exemplo prático (para um conjunto finito) pode ser visto com a combinação de dois gametas e a determinação do tipo sanguíneo no sistema ABO. - Considere que cada gameta pode ser representado como um conjunto com os seguintes elementos: S = {a, b, o} - A combinação entre dois gametas (que serão, então, pares ordenados em um plano cartesiano) pode ser encarada como o produto cartesiano de seus conjuntos. - Neste caso, o produto poderá ser representado por extenso da seguinte maneira: S x S = {(a, a), (a, b), (a, o), (b, a), (b, b), (b, o), (o, a), (o, b), (o, o) } - No caso de um conjunto finito, como o acima, pudemos representar todas as combinações de elementos. O mesmo não poderia ser feito com dois conjuntos infinitos. - Vamos voltar a pensar em uma representação do nicho ecológico de uma espécie, considerando duas variáveis, temperatura e precipitação: - A = {t 30 < t < 40 } e B = {p 2000 > p > 3000 } - A combinação também pode ser representada por pares ordenados em dois eixos, mas o conjunto A x B é infinito, pois as variáveis são contínuas. Sua representação ficaria assim: A x B = {(t, p) 30 < t < 40, 2000 > p > 3000 }

6 4. Relações - Dado o produto cartesiano de dois conjuntos, A e B, uma relação seria um subconjunto de A x B. Ou seja, ao invés de considerarmos todas as combinações possíveis de elementos, pensamos em apenas algumas delas. - Por que pensar em algumas combinações e não em outras? Isto pode ser interessante se algumas tiverem significado biológico, enquanto outras não. Veja o exemplo a seguir: - Temos um conjunto de neurônios, N = {a, b, c, d, e, f} a b d c e f - Do produto cartesiano N x N, apenas um subconjunto R representa as ligações entre os neurônios, pois estas são unidirecionais. Não nos interessa, então, todas as combinações, mas apenas aquelas que significam a transmissão de impulso nervoso. Ou seja, não nos interessa, por exemplo, a combinação entre os neurônios a e e, pois eles não estão ligados diretamente. Por outro lado, sabemos que a transmite impulso para o neurônio d, então esta combinação nos interessa. Neste caso, tomando a figura acima como base, a relação que nos interessa seria: - R = {(a,b), (a,d), (c,a), (b,d), (b,c), (c,d), (d,e), (c,f), (d,f), (f,e)} 5. Funções - Mas, afinal, o que é exatamente uma função? - Na prática, é um caso especial de relação, na qual cada elemento x (a variável independente) de um conjunto A (o domínio) está associado a exatamente um único elemento y (a variável dependente) de um conjunto B (a imagem).

7 Exercício 1 Ao estudar uma espécie de inseto que é uma importante praga do cultivo de cana de açúcar, um pesquisador tentou determinar alguns componentes de seu nicho ecológico. Ele pôde determinar que esta espécie sobrevive em locais com temperaturas médias entre 20 e 32 graus Celsius, e com precipitação anual entre 900 e 2100 mm. 1. Considerando o intervalo destas duas variáveis como, cada um, um conjunto matemático, escreva, usando a notação da teoria dos conjuntos, o seu produto cartesiano. Existem algumas pequenas variações na notação, mas a resposta correta deve ser algo mais ou menos assim: P = { (t, p) 20 < t < 32, 900 < p < 2100 } Perceba que os dois conjunto são infinitos (a temperatura, por exemplo, pode ter valores como 20, 20.2, , etc.), então não há maneira de representar cada par de valores! 2. Agora represente o produto acima graficamente, usando o plano cartesiano. Como estamos tratando de dois conjuntos infinitos, seria impossível mostrar individualmente todas as combinações de valores de temperatura e precipitação. A melhor forma de representar o produto entre estes conjuntos, então, é mostrar a área onde estas combinações (que são pontos em um sistema cartesiano;) estão contidas. t p

8 Exercício 2 Considere o sistema que define os três grupos sanguíneos dos seres humanos, conhecido como sistema ABO. Um gameta, seja ele masculino ou feminino, pode conter um dos três alelos do conjunto A = {a, b, o}. 1. Descreva, usando a notação da teoria dos conjuntos, o produto cartesiano A x A, que representa todas as combinações possíveis do encontro de um gameta masculino com um feminino. Um produto cartesiano apresenta todas as combinações possíveis entre os elementos de dois conjuntos. Ele pode ser infinito, quando os elementos são contínuos (como intervalos de valores), ou finito, quando temos um número finito de elementos nos dois conjuntos. No caso desta questão temos dois conjuntos finitos, com três elementos, então seu produto cartesiano representa as combinações entre eles (e, biologicamente falando, estamos nos referindo às combinações entre gametas). A sua representação correta, usando a notação da teoria dos conjuntos, é esta: A x A = {(a,a), (a,b), (a,o), (b,a), (b,b), (b,o), (o,a), (o,b), (o,o)} 2. Desenhe a representação gráfica deste produto no plano cartesiano. O gráfico deveria representar em um sistema de coordenadas cartesianas o produto acima. Algo mais ou menos assim:

9 Exercício 3 C 1 C 2 H 1 H 2 P 1 P 2 P 3 A figura acima representa uma teia trófica: uma representação de um ecossistema na qual estão evidenciadas as relações tróficas entre sete espécies: três espécies de plantas (P1, P2 e P3), duas espécies de herbívoros (H1 e H2) e duas espécies de carnívoros (C1 e C2). As setas indicam as direções destas relações, e partem de quem serve de fonte de alimento para quem se alimenta (por exemplo, a espécie de planta P1 serve de alimento para a espécie de Herbívoro H1) Dado o conjunto de espécies deste ecossistema, E = {P1, P2, P3, H1, H2, C1, C2}, escreva, usando a notação de conjuntos, o subconjunto R que é uma relação no produto cartesiano E x E, e representa apenas as interações tróficas mostradas na figura. A resposta aqui é bem direta: R = {(P1, H1), (P2, H1), (P2, H2), (P3, H2), (H1, C1), (H2, C1), (H2, C2), (C2, C1)} A ordem no qual cada par ordenado é apresentado não faz diferença, e quem vem primeiro (o alimento ou quem se alimenta) também tanto faz. O importante, aqui, é notar que as interações possuem uma direção específica, então cada par existente (i.e., cada par ligado por setas) deve aparecer apenas uma vez no conjunto. Lembrem-se: o pedido foi uma relação, que é um subconjunto do produto cartesiano (este sim mostraria todas as combinações) Represente graficamente, usando o plano cartesiano, o subconjunto R definido na etapa 1 deste exercício. O Gráfico deveria mostrar os dois conjuntos de espécies como eixos do plano cartesiano, e marcar aqueles pares que fazem parte da relação. Perceba que um eixo deve representar as espécies que servem de alimento, e outro as espécies que se alimentam, e que a relação de um par de espécies só deve aparecer uma vez. O resultado deve ser mais ou menos assim:

10