A função do 2º grau. Na aula anterior, estudamos a função do. Nossa aula

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1 A UA UL LA A função do º grau Introdução Na aula anterior, estudamos a função do 1º grau ( = a + b) e verificamos que seu gráfico é uma reta. Nesta aula, vamos estudar outra função igualmente importante: a função do º grau. Ela é representada pela fórmula: = a² + b + c onde as letras a, b e c são números conhecidos e a é diferente de zero. Veja alguns eemplos de funções do º grau: = ² = 3² + 9 = ²² = ² + 6 Nossa aula O objetivo desta aula é investigar os gráficos dessas funções, que são sempre uma curva: a parábola. Acompanhe os próimos eemplos para ter noção da forma de uma parábola. EXEMPLO 1 Imagine um forte antigo, com canhões preparados para atirar em navios inimigos que se aproimassem:

2 Um navio se aproima e um canhão dá um tiro. A trajetória da bala segue muito aproimadamente essa curva, chamada parábola. Se não houvesse a resistência do ar, a bala do canhão descreveria eatamente uma parábola. A U L A EXEMPLO Um menino, em cima de um muro, rega as plantas com uma mangueira. Visualizando o jato d água, você terá uma idéia clara da forma dessa curva. A parábola Os eemplos mostraram, aproimadamente, a forma da parábola. Agora, vamos construir uma delas com maior precisão. Escolhemos então a função: = ² + 6 O domínio dessa função é o conjunto de todos os números reais. Vamos atribuir a alguns valores e calcular os valores correspondentes de. Observe: se = 0 então = 0² = 0 se = 0,5 então = 0,5² ,5 =,75 se = 1 então = 1² = 5 se = 1,5 então = 1,5² ,5 = 6,75 Esse trabalho continua e nos permite organizar uma tabela com diversos pontos. Mostramos abaio a tabela correspondente a alguns valores de entre 0 e 6 e os valores calculados para. Assinalando no gráfico cartesiano cada um desses pontos, você tem uma primeira idéia do comportamento dessa função. Veja: 0 0 0,5, ,5 6, ,5 8, ,5 8, ,5 6, ,5,

3 A U L A Para visualizar melhor o gráfico da função = ² + 6, podemos aumentar a nossa tabela para obter mais pontos. O resultado você vê na figura a seguir, que já mostra o gráfico da nossa função entre = 0 e = É bom lembrar que esse desenho é apenas parte do gráfico da nossa função. Para valores de menores que 0 ou maiores que 6 os valores calculados para serão sempre negativos (eperimente) e, portanto, o gráfico continuará abaio do eio dos. Veja: par bola 0 6 A concavidade Vamos fazer uma outra eperiência para observar a parábola em uma outra posição. Tomemos como eemplo a função: = ² 3 Agora, vamos organizar nossa tabela. Atribuímos a valores entre e 4 e calculamos os valores correspondentes de. Você compreenderá, um pouco mais tarde, a razão da escolha desses valores para.

4 De qualquer forma, sugerimos que confira nossos cálculos, observe a marcação dos pontos e a construção do gráfico: A U L A 3 4 Esse gráfico tem eatamente a mesma forma daquele que encontramos no eemplo anterior, com uma diferença: está em outra posição. Dizemos que essa parábola tem a concavidade voltada para cima, enquanto a do eemplo anterior tem a concavidade voltada para baio. Antes de construir o gráfico da função = a² + b + c, é possível saber como será a sua concavidade. Basta observar o sinal do coeficiente a: l Se a > 0 (a positivo), a concavidade estará voltada para cima: a > 0 concavidade voltada para cima. l Se a < 0 (a negativo), a concavidade estará voltada para baio: a < 0 concavidade voltada parabaio.

5 A U L A As raízes As raízes de uma função são os pontos onde seu gráfico corta o eio dos. Na função do º grau = a² + b + c, se = 0 obtemos a equação a² + b + c = 0. Podemos, então, ter três casos: l A equação tem duas raízes diferentes. A parábola, então, corta o eio dos em dois pontos distintos. 1 fig A: a fun o tem duas ra zes: e. 1 l A equação tem apenas uma raiz. A parábola é, então, tangente ao eio dos. 1 fig B: a fun o tem uma œnica raiz:. 1 l A equação não tem raiz. A parábola, então, não corta o eio dos. fig C: a fun o n o tem ra zes. EXEMPLO 3 Tomemos como eemplo a função: = ² Para construir seu gráfico assinalando poucos pontos, devemos inicialmente verificar se a função possui raízes. Vamos então resolver a equação ² = 0 usando a fórmula que aprendemos na Aula 5: = - (- 6) ± Ö(- 6)² = 6 ± Ö36-3 = 6 ± Ö4 = 6 ± As raízes da nossa função são, portanto: 1 = 6 - = 6 + = 4 = = 8 = 4 _ 1 = _ = 4

6 Descobrimos que o gráfico da nossa função corta o eio dos nos pontos = e 1 = 4 e sabemos também que a parábola terá concavidade voltada para cima porque a = 1 (positivo). Basta, então, para construir a tabela, atribuir a outros valores próimos aos que já temos. É muito importante atribuir a o valor + 1, porque ele fica bem no meio das raízes e vai determinar o ponto mais baio da parábola: A U L A RAÍZES 1 = 1 + = = O vértice No gráfico que acabamos de construir, o ponto V = (3, 1) é o vértice da parábola. Ele é o ponto mais baio da parábola quando a > 0. a > 0 v rtice No gráfico da função = ² + 6, que você viu no início da aula, o ponto (3, 9) é também o vértice da parábola, que fica no ponto mais alto do gráfico, porque a < 0: v rtice a < 0

7 A U L A Para a construção do gráfico de uma função do º grau, o vértice é seu ponto mais importante. É possível encontrá-lo de forma bastante simples. Chamando de v a abscissa do vértice da parábola = a² + b + c c, temos: v =- b a Além disso, se a função possui raízes e 1, podemos encontrar a abscissa do vértice determinando o seu ponto médio, ou seja: v = 1 + Esses resultados serão demonstrados no Apêndice, no final da aula, mas você já pode usá-los para construir de forma rápida e eficiente o gráfico de uma função do º grau. A imagem Como você já sabe, a imagem de uma função é o conjunto dos valores de que correspondem aos valores de no domínio. Recorde essa noção observando o gráfico: imagem < < 1 gráfico da função gr fico da fun o 1 Para determinar a imagem de uma função do º grau (cujo domínio é o conjunto de todos os números reais), precisamos conhecer seu vértice. Se a > 0, então o vértice é o ponto mais baio de seu gráfico, e neste caso, a imagem da função fica assim: Observando o gráfico anterior e chamando de a v ordenada do vértice da parábola, a imagem será o conjunto de todos os valores de tais que ³ v. imagem gráfico da função gr fico da fun o Se a < 0, ocorre o contrário: a concavidade estará voltada para baio e a imagem v1 será o conjunto dos nú- meros reais tais que v. 1 dom nio < < 1

8 EXEMPLO 4 Consideremos a função = ² + 5. Sabemos que ela tem concavidade voltada para cima, pois a = 1. A U L A Para fazer um esboço de seu gráfico, determinamos seu vértice. Primeiro, precisamos encontrar sua abscissa: = - v Substituímos então esse valor de na função para encontrar a ordenada do vértice: Portanto, o vértice é o ponto (, 1) e, como a concavidade está voltada para cima, o gráfico tem este aspecto: b a = - (- 4). 1 = = ² = 1 v imagem 1 v rtice A imagem da função é então o conjunto dos valores de tais que ³ 1. - b a Apêndice Vamos mostrar agora porque a abscissa do vértice da função do º grau é. Observe as transformações na função: elas criam um quadrado perfeito: = a² + b + c = a² + b + b² - b² + c 4a 4a æ = a ² + è b + b² ö + c - a 4a² ø b² 4a æ = a + b ö² + è aø 4ac - b² 4a

9 A U L A Veja que se a é positivo, a æ + bö² é sempre positivo ou nulo. Então, para è aø obter o ponto mais baio da parábola, fazemos + b b = 0, ou seja, = -. Para a 4ac - a b esse valor de, temos =, que é chamado de valor mínimo da 4a função. Da mesma forma, se a é negativo, a æ + é sempre negativo ou nulo. è aø Então, para obter o ponto mais alto dessa parábola, fazemos + b a = 0, ou seja, = - b 4ac - b Para essa valor de, temos = que é chamado de valor a 4a máimo da função. 1 + Se eistem raízes e 1, a abscissa do vértice da parábola é o valor. De fato, representando por D (delta) o número b² 4ac temos: bö² + = 1 1 æ ö ( + ) = 1 - b - D -b + D 1 + è a a ø = 1 æ - b - ÖD - b + ÖD ö è a ø = = 1. (-b) a = =- b a Portanto, a média das raízes é também a abscissa do vértice da parábo- Procure agora fazer os eercícios propostos. la. Eercícios Eercício 1 Faça o gráfico da função = ². Sugestão: Organize uma tabela atribuindo a os valores, 1, 0, 1 e. Eercício Observe o eemplo e faça um pequeno esboço do gráfico das funções calculando o vértice da parábola e verificando sua concavidade. Eemplo: = ² vértice { = - b (-6) v = - a. 1 = 3 = 3² = = - v

10 3 A U L A a) = ² b) = ² c) = ² + Eercício 3 Faça o gráfico das funções determinando as raízes e o vértice da parábola. a) = ² b) = ² Eercício 4 Determine as imagens das funções do Eercício 3. Eercício 5 Faça o gráfico e determine a imagem da função = ( 3)².