1 a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis

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1 Módulo de Função Quadrática Gráfico de uma Função Quadrática a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis

2 Função Quadrática Gráfico de uma Função Quadrática Eercícios Introdutórios Eercício. Determine a concavidade da parábola e o número de zeros reais de cada uma das funções abaio. a) = 0 +. b) = +. c) = + +. Eercício. Determine as raízes, o vértice e o pontos de interseção com eio das ordenadas das seguintes funções a) = + b) = + c) = + d) = + e) = + Eercício. Analise os gráficos do eercício anterior e determine os respectivos eios de simetria em cada parábola. Eercício. Esboce um gráfico e determine uma função que tenha eio de simetria igual =, valor máimo igual a e que uma de suas raízes seja igual a. Eercício. Observe o gráfico abaio de uma parábola e conclua a sua respectiva lei da função. Eercícios de Fiação Eercício. Observe o gráfico abaio cujo ponto destacado é o vértice da função. Qual a lei que representa essa função? Eercício. Todos os elementos do domínio da função = (m + ) (m ) + m têm imagens positivas. Sendo assim, qual o menor valor inteiro que m pode assumir? Eercício 0. Esboce um gráfico e determine uma lei para uma função que tenha eio de simetria a reta =, suas raízes distem 0 unidades entre si e a intersecção com o eio seja no ponto (0, ). Eercício. A parábola da figura abaio representa o gráfico da função f () = +. Qual o valor da área do retângulo sombreado abaio? Eercício. Determine o conjunto imagem em cada função abaio observando o domínio definido. Eercício. Qual a o conjunto imagem da função = 0 +? Eercício. A função = k + k tem como conjunto imagem ] ; 0], qual o valor de k? a) = + com D f = R. b) = + com D f = R. c) = + com D f = [, 0]. matematica@obmep.org.br

3 Eercícios de Aprofundamento e de Eames. Eercício. Seja f : [0, ] R uma função real tal que f () = ( )( ). Qual o conjunto imagem dessa função? Eercício. Na figura abaio temos o gráfico de f () = +. Os pontos A e B estão nesse gráfico e o segmento horizontal AB tem comprimento. Qual é a distância de AB ao eio das abscissas? A B Eercício. Se a função real de variável real, definida por f () = a + b + c, é tal que f () =, f () = e f () =, então qual o valor de f ()? Eercício. A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eio de simetria vertical, como ilustrado na figura. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 0 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máima do projétil, de 00 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 0 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado? matematica@obmep.org.br

4 Respostas e Soluções.. A concavidade da parábola é determinada pelo sinal de a e o número de raízes reais pelo sinal do, sendo assim: a) Como a = a parábola tem concavidade volta para cima e o = (0) = > 0 determina dois zeros reais distintos. b) Como a = a parábola tem concavidade volta para baio e o = () () () = > 0 determina dois zeros reais distintos. c) Como a = a parábola tem concavidade volta para cima e o = () = 0 determina dois zeros reais iguais (ou apenas um zero real).. a) Zeros: e Vértice: V = e V = Intersecção com o eio das ordenadas: (0; ). b) Zeros: e Vértice: V = e V = Intersecção com o eio das ordenadas: (0; ). 0 c) Zeros: e 0 Vértice: V = e V = Intersecção com o eio das ordenadas: (0; 0). d) Zeros: e Vértice: V = 0 e V = Intersecção com o eio das ordenadas: (0; ). e) Zero: Vértice: V = e V = 0 Intersecção com o eio das ordenadas: (0; ). 0 matematica@obmep.org.br

5 . Destacando que o eio de simetria é a reta perpendicular ao eio que passa pela abscissa v, teremos que: a) =. b) =. c) =. d) = 0. e) =.. Como a distância entre a raiz dada e o eio de simetria é, a outra raiz é igual a. Ainda do enunciado, podemos concluir que o vértice da parábola possui as coordenadas V(, ). Utilizando a fatoração = a( )( ) = a( ())( ) = a( + )( ) a =. A função procurada é = ( + )( ) = + + e o esboço do gráfico é. Do gráfico dado, podemos concluir que =, = e o ponto (0, ) pertence a função. Agora, utilizando a fatoração = a( )( ) A função fica = a( ( ))( ) = a(0 + )(0 ) a =. = ( + )( ) = +.. Observe que essa função é delimitada inferiormente e seu valor mínimo é V = a V = b ac a V = (0) 00 V = V =. Por fim, Im = [, + [.. Sendo Im =] ; 0], temos a < 0 e V = 0. Daí, podemos escrever V = 0 V = a V = b ac a 0 = ( ) k k k k = k = ± k = ±. Por fim, como a < 0, terminamos com k =.. Observe que que as coordenadas do vértice V são (, ) e assim podemos concluir (pelo eio de simetria) que a segunda raiz é igual a. Sendo assim, = 0 e = e utilizando a fatoração A função fica = a( )( ) = a( 0)( ) = a()( ) a =. = ( 0)( ) =. matematica@obmep.org.br

6 . Como a função é sempre positiva temos que a > 0 e < 0. Assim, seguimos com < 0. Traçando as respectivas funções obtemos todos os gráficos a seguir, ficando a) a Im = [, ]. b ac < 0 [ (m )] (m + )m < 0 (m ) (m + m) < 0 (m ) (m + m) < 0 m m + m m < 0 m < m > m >. Por fim, o menor inteiro é m =. 0. Do enunciado, temos que V =, as raízes são = e = e o ponto (0, ) pertence à função. Sendo assim, aplicando a fatoração b) a Im = ], ]. = a( )( ) = a( ())( ). = a(0 + )(0 ) a =.. A função fica = ( + )( ) =. Além disso, o gráfico fica c) a Im = [ ], 0... O ponto de interseção com o eio Y é o (0, ) e a função volta a ter imagem quando =. Assim o retângulo tem comprimento, altura e área = u.a matematica@obmep.org.br

7 . (Etraído do vestibular da ESPM (SP) 0) Esboçando o gráfico, obtemos: A função é = a( (0))( 0) 00 = a(0 + 0)(0 0) a =. = ( + 0)( 0), e, por fim, a altura do lançamento é o termo independente da função, ou seja, c = 0. Assim, concluímos que Im = [, ].. (Adaptado do Eame de Acesso do PROFMAT 0) Observe que a abscissa do vértice V =, o que permite concluir que os etremos do segmento dado são os pontos (, ) e (, ), com =. Substituindo = ou = na lei dada, encontramos = = e essa é a distância do segmento dado ao eio das abscissas.. (Adaptado do vestibular da UECE 0) Fazendo as devidas substituições, teremos a + b + c = a + b + c = () a + b + c = a + b + c = () a + b + c = a + b + c =. () Ao proceder com as subtrações () () e () () ficaremos com a + b = a + b =, sistema que resulta em a =, b = e c =. Portanto, f () = + f () = + =.. (Adaptado do vestibular da FUVEST 0) Podemos concluir que uma das raízes é 0 e que a abscissa V = 0, portanto, a outra raiz é 0, com coordenadas de V dadas por (0, 00). Sendo assim, aplicando a fatoração = a( )( ) Elaborado por Tiago Miranda e Cleber Assis Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com matematica@obmep.org.br